云南省下关一中教育集团2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

下关一中教育集团2023~2024学年高二年级上学期段考（一）

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.复数的虚部是实部的2倍，则实数（    ）

A.1    B.3    C.5    D.7

3.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.“”是“直线与圆相交”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

6.甲､乙､丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为，关于该组数据，下列说法正确的是（    ）

A.中位数为3    B.极差为6

C.第40百分位数为4    D.方差为4.75

10.下列说法正确的是（    ）

A.直线的倾斜角的取值范围是

B.点关于直线的对称点为

C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为

D.直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为

11.已知，两直线，且，则下列说法正确的是（    ）

A.    B.

C.的最小值为    D.的最小值为9

12.如图，在正方体中，点为的中点，点为线段上的动点（不含端点），则下列命题正确的是（    ）

A.存在点，使得平面

B.存在点，使得平面

C.对任意点

D.对任意点，过点的平面截正方体表面得到的图形始终是梯形

第II卷（非选择题，共90分）

注意事项：

第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数是奇函数，则__________.

14.若直线过点且与平行，则直线的一般方程为__________.

15.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱为一“堑堵”，其中，且该“堑堵”外接球的表面积为，则该“堑堵”的高为__________.

16.点在曲线上，则的取值范围为__________.

四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

在中，设所对的边分别为，且满足.

（1）求角；

（2）若，求的面积.

18.（本小题满分12分）

某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数）不低于0.8，“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值；

（2）为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在的市民人数；

（3）假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由.

19.（本小题满分12分）

已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点的直线与圆相交于两点，若为直角三角形，求直线的方程.

20.（本小题满分12分）

与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲､乙､丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲､丙两个家庭都回答错误的概率是.乙､丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响.

（1）分别求乙､丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

（2）求甲､乙､丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

21.（本小题满分12分）

如图甲，在直角梯形中，是的中点，是与的交点.将沿折起到.的位置，如图乙.

（1）证明：平面.；

（2）若二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.

22.（本小题满分12分）

已知点，圆的半径为1.

（1）若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；

（2）若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.

下关一中教育集团2023~2024学年高二年级上学期段考（一）

数学参考答案

第I卷（选择题，共60分）

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

【解析】

1.由不等式，分解因式可得，解得，则，所以，故选C.

2.的虚部是实部的2倍，，解得，故选D.

3.由，得，所以，因为，所以，所以，所以，故选A.

4.如图，令，以为邻边作平行四边形，则，即为，对角线相等，所以平行四边形为矩形，则在方向上的投影向量，即为在方向上的投影向量，故选.

5.直线与圆相交，显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件，故选B.

6.设甲､乙､丙三人用，由题意可知：传球的方式有以下形式，，，所求概率为，故选B.

7.在时取得最大值，即，可得，所以，又因为在上单调递增，所以且，解得，当时，，所以的最大值为，故选C.

8.因为，令，其中，因为函数在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，即，故，则，所以，，则，A错B对；无法确定与1的大小，故与0的大小无法确定，CD都错，故选A.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

【解析】

9.将这组数据从小到大排列为，所以中位数为，故A错误；极差为，故B正确；因为数据共有8个，所以，所以第40百分位数是4，故C正确；设平均数为，方差为，则，，故D正确，故选BCD.

10.对：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A正确；对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；对：设直线与轴交点为，则与轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故C错误；对D：设直线的倾斜角为，则，故，故D正确，故选ABD.

11.，两直线，且，即，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为，故选AC.

12.对于，如图，分别取的中点，由

且，面，而面，则面，

又且，面，而面，则面，

因为，且面，

所以面面，又总与面相交于点，

所以不存在这样的点使得面，即不存在这样的点使得平面，故错误；

对于，如图，在正方体中，由在面上的射影为，则，又在面上的射影为，则，又，且面，所以面，当，即为中点时，平面，所以存在这样的点，使得平面，故B正确；

对于C，如图所示，在正方体中，有面面，又，且面，则面，所以点和点到面的距离相等，所以，故C正确；

对于，如图，过点的平面截正方体表面得到四边形，且与不平行，所以四边形始终是梯形，所以正确，故选.

第II卷（非选择题，共90分）

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13.因为，故，因为为奇函数，故，时，，整理得到，故.

14.因为直线的斜率是：，且直线与平行，直线的斜率也为-2，故直线的方程是：，整理得.

15.如图，将三棱柱补成长方体，则三棱柱的外接球即为长方体的外接球，设球的半径为，该“堑堵”的高为，由题意可得解得，所以该“堑堵”的高为.

16.如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，表示点到直线距离的5倍.由点到直线的距离公式得，所以直线与圆相离，的最小值为的最大值为，则的取值范围为.

四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

解：（1）因为，

由余弦定理得，

即

所以.又，

所以.

（2）由余弦定理得：，则，

，解得，

所以.

18.（本小题满分12分）

解：（1）依题意得：，得.

（2）由频率分布直方图知，评分在的市民人数为；

评分在的市民人数为；

评分在的市民人数，

故应选取评分在的市民人数为.

（3）由频率分布直方图可得满意程度平均分为

，

则满意指数，故该市“创卫”工作需要进一步整改.

19.（本小题满分12分）

解：（1）由题意，设圆心，由于圆与轴相切，

半径，

又圆过点，解得，

圆方程为.

（2）由圆方程易知直线的斜率存在，

故设，即，

设到的距离为，

则，

为直角三角形，，

或，

故直线的方程为或.

20.（本小题满分12分）

解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，

则，

即，

所以，

所以乙､丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.

（2）有3个家庭回答正确的概率为

有2个家庭回答正确的概率为

所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

21.（本小题满分12分）

（1）证明：在图甲中，因为是的中点，，

故四边形为正方形，所以，

即在图乙中，，

又平面，

所以平面.

又，所以四边形是平行四边形，

所以，所以平面.

（2）解：由已知，平面平面，

又由（1）知，，

所以为二面角的平面角，

所以，

如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

，

设平面的一个法向量为，

因为，

令，

故平面的一个法向量为，

又，

设直线与平面所成角的平面角为，

从而，

故直线与平面所成角的正弦值为.

22.（本小题满分12分）

解：（1）由题意得圆标准方程为，

当切线的斜率存在时，设切线方程为，

由，解得：，

当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意；

所以切线的方程为或.

（2）由圆心在直线上，设，

设点，由，

得：，

化简得：，

所以点在以为圆心，2为半径的圆上.

又点在圆上，所以圆与圆有交点，

则，即，

解得：或.