2022-2023学年云南省大理下关第一中学教育集团高二上学期段考（二）数学试题（B卷）（解析版）

2022-2023学年云南省大理下关第一中学教育集团高二上学期段考（二）数学试题（B卷）

一、单选题

1．已知集合，下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的交、并、补运算进行判断.

【详解】因为，所以，故A错；

，故B错；，故D错.

故选：C.

2．若复数z＝3－4i的模为a，虚部为b，则a＋b等于（　　）

A．5＋4i B．5－4i C．1 D．9

【答案】C

【分析】求出，，进而可得.

【详解】依题意得，虚部，所以.

故选：C.

3．等差数列中，公差等于（    ）

A．2 B．3 C．-1 D．-3

【答案】D

【解析】设，利用即可求解.

【详解】设，则，

所以公差等于，

故选：D

【点睛】本题主要考查了利用定义求等差数列的公差，属于基础题.

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】若，则成立，逆命题不成立，可得出结论.

【详解】当时，，

所以“”是“”的充分条件，

当时，或，，

所以“”是“”的不必要条件，

即“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

5．直线被圆截得的弦长为（      ）

A．4 B． C． D．

【答案】B

【分析】先由圆的一般方程写出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线m的距离d，则弦长等于.

【详解】∵，∴，∴圆的圆心坐标为，半径为，又点到直线的距离，∴直线被圆截得的弦长等于.

【点睛】本题主要考查圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于基础题型.

6．为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，其中老年教师有18人，则样本容量

A．54 B．90 C．45 D．126

【答案】B

【解析】根据分层抽样的概念即可求解．

【详解】依题意得，解得，即样本容量为90. 故选B

【点睛】本题考查分层抽样的应用，属基础题．

7．方程的根所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，逐一分析各个选项，结合零点存在性定理，即可得答案.

【详解】设，

因为，根据零点存在性定理，可得的零点在区间内.

故选：C

8．已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】A

【分析】由等比数列的性质可得，代入已知式子计算可得所求.

【详解】解：由等比数列的性质可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，

∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，

又等比数列各项均为正数，∴a3＋a5＝5，选项A正确

故选：A.

9．已知平面截球O所得截面圆半径为，该球面上的点到平面的距离最大值为3，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件求出球的半径即可.

【详解】依题意得：截面圆半径，设球的半径为，则球心到截面圆的距离.如图，由勾股定理得：，解得，所以球的表面积为.

故选：C.

10．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可设双曲线的右焦点F(c,0),渐近线的方程为,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得c=，可得答案.

【详解】解：由题意可设双曲线的右焦点F(c,0),渐进线的方程为，

可得d==b=2a，可得c==，

可得离心率e=，

故选C.

【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.

11．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n的值为

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【分析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，可设这堆货物总价为万元，从而可得到，利用错位相减法可求出的表达式，结合可求出答案．

【详解】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，

，

两式相减得

，

则,

解得，

故选D.

【点睛】利用错位相减求和是解决本题的关键，考查了学生利用数列知识解决应用问题的能力，属于中档题．

12．已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的奇偶性、单调性，将不等式等价转化为，进而利用三角函数的性质及不等式恒成立的意义得到的取值范围.

【详解】由，为奇函数，增函数，

恒成立，即，

，即

当时，，

当时，成立，

当时，.

综上实数的取值范围是．

故选：.

二、填空题

13．抛物线的焦点坐标是______．

【答案】

【详解】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为.

14．数列的前项和，则的通项公式___________.

【答案】

【分析】根据求得，当时，利用求得的表达式，验证首项是否适合，即可得答案.

【详解】由题意数列的前项和，则，

当时，，

不适合上式，

故的通项公式，

故答案为：

15．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ .

【答案】7

【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.

【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒

∴ ，

∴由余弦定理可得 ，

，

∵，即 ，

∴ ,解得,

故答案为：7

16．已知定圆：，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果的序号为___．

【答案】①②④⑥

【详解】当点A在在圆M内，，，则点的轨迹是以为焦点的椭圆，当点在圆上时，由于，线段的中垂线交直线于，点的轨迹为一个点；点在圆外时，，，则点的轨迹是以为焦点的双曲线；当点与重合时，为半径的中点，点的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，其中正确的命题序号为①②④⑥.

【点睛】求点的轨迹问题，主要方法有直接法、定义法、坐标相关法、参数法等，本题利用几何图象中的等量关系找出动点需要满足的条件，根据常见曲线的定义衡量其符合哪种曲线的定义，根据定义要求，写出曲线方程.本题由于点A为圆面上任意一点，所以需要讨论点A在圆心、圆内、圆上、圆外几种情况讨论研究，给出相应的轨迹方程.

三、解答题

17．已知抛物线的顶点为，焦点坐标为．

（1）求抛物线方程；

（2）过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求线段的值．

【答案】（1）．（2）

【解析】（1）由题得，解之即得抛物线的方程；（2）设直线方程为，利用弦长公式求解.

【详解】解：（1）∵焦点坐标为

∴，，

∴抛物线的方程为．

（2）设直线方程为，设，，

联立

消元得，

∴，，，

∴

．

∴线段的值为．

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

18．已知数列是等比数列，公比，若，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1） ；（2）.

【分析】（1）利用已知条件建立方程组，求出数列的首项和公比，进一步求出数列的通项公式．

（2）利用（1）的结论，进一步利用等差数列的前n项和公式求出结果．

【详解】（1）由已知得

则或（舍去）.

所以 .

（2）因为.

所以数列是首项为2，公差为-1的等差数列.

设数列的前项和为 ,

所以.

【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．

19．20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：

(1)求频率直方图中a的值；

(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；

(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．

【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3

【详解】（1）据直方图知组距=10，

由，解得

（2）成绩落在中的学生人数为

成绩落在中的学生人数为

（3）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、、，

则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：

其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：

故所求概率为

20．如图，四棱锥中，，，，平面CDP，E为PC中点.

(1)证明：平面PAD；

(2)若平面PAD，，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取PD中点F，连接EF，AF，先证明,从而得证.

（2）由平面PAD，可得，取CD中点O，连接PO，BO，证明平面ABCD，，从而以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）取PD中点F，连接EF，AF

则且

又且

所以且

由四边形ABEF是平行四边形，则

又平面，平面

所以平面PAD

（2）因为平面PAD∴

又∵，，∴

取CD中点O，连接PO，BO

∵平面CDP∴，又∵∴平面ABCD

又∵，∴

以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图坐标系

则，，，

∴，

设为平面PAB的一个法向量.

则令则

显然为平面PAD的一个法向量

设为二面角的平面角，则

所以

所以二面角的正弦值

21．若数列的前项和满足.

(1)求证：数列是等比数列；

 (2)设，求数列的前项和.

【答案】（1）详见解析（2）

【分析】试题分析：

(1)由已知数列递推式求得首项，且当时，有，结合原式作差得到，即 ，从而证得为等比数列．

(2)求出，再通过裂项相消法求数列的前项和．

试题解析：

证明：当时，，计算得出，

当时，根据题意得，，所以 ，即

，即

数列是首项为-2，公比为2的等比数列

由（1）知，

，1

则

22．已知椭圆：，点在曲线上，短轴下顶点为，且短轴长为2.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点作直线与椭圆的另一交点为，且与所成的夹角为，求的面积.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【分析】（Ⅰ）将点代入椭圆方程，得关于，的方程，由已知求得，代入方程求解，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）由题意可得PA的斜率为，由题意可知直线l的倾斜角为或，当直线l的倾斜角为时，直接求解与，再由三角形面积公式求解；当直线的倾斜角为时，写出直线l的方程，与椭圆方程联立求解B的横坐标，进一步求得，再由三角形面积公式求解.

【详解】（Ⅰ）将点代入椭圆的方程得，

由短轴长为2，知，

故，

则椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题意可得的斜率为，即的倾斜角为，

当与直线所成夹角为时，易知直线的倾斜角为或.

①当直线的倾斜角为时，

，，

则；

②当直线的倾斜角为时，

直线的方程为，

即，

联立方程，得，

则，

故.

，

，

综上可得的面积为或.

【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题.