云南省下关第一中学2023-2024学年高二下学期3月段考（一）数学试卷(含答案)

这是一份云南省下关第一中学2023-2024学年高二下学期3月段考（一）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集,集合,,则阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2．若复数,则( )
A.1B.C.D.
3．已知是各项均为正数的等比数列的前n项和,若,,则( ).
A.21B.81C.243D.729
4．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上,且球的表面积为,,则此直三棱柱的高是( )
A.1B.2C.D.4
5．已知点A,B是椭圆上关于原点对称的两点,,分别是椭圆C的左,右焦点,若,则( )
A.1B.2C.4D.5
6．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,若,则外接圆的半径长为( )
A.B.1C.D.
7．已知,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知平面向量,,,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则向量在上的投影向量为
D.若,则向量与的夹角为锐角
10．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象的一条对称轴方程为
C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D.函数在区间上单调递增
11．某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有( )
A.病人甲体温的极差为0.3 ℃
B.病人乙的体温比病人甲的体温稳定
C.病人乙体温的众数、中位数与平均数都为36.4 ℃
D.病人甲体温的上四分位数为36.4 ℃
12．点P是直线上的一个动点,A,B是圆上的两点.则( )
A.存在P,A,B,使得
B.若PA,PB均与圆O相切,则弦长AB的最小值为
C.若PA,PB均与圆O相切,则直线AB经过一个定点
D.若存在A,B,使得,则P点的横坐标的取值范围是
三、填空题
13．如图,直线l是曲线在处的切线,则___________.
14．设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢,按交通部门的规定车厢宽度为2m,则车厢的最大容积是_______m3
15．设为等差数列的前n项和,若,,则的最小值为______.
16．如图,已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A,B两点,点A关于坐标原点O对称的点为C,且,则该双曲线的离心率为______.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程;
（2）求函数的极值.
18．如图,在四边形中,,,,.
（1）求;
（2）求BD.
19．如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,,,平面平面ABCD,,平面ABCD.
（1）证明:.
（2）若,求直线EF与平面AEB所成角的正弦值.
20．记数列的前n项和为.已知,且满足___________.
从①记,且有;
②;
③中选出一个能确定的条件,补充到上面横线处,并解答下面的问题.
（1）求的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
21．已知抛物线的焦点为,抛物线的焦点为,且.
（1）求p的值;
（2）若直线l与交于M,N两点,与交于P,Q两点,M,P在第一象限,N,Q在第四象限,且,证明:为定值.
22．己知函数,.
（1）若不等式恒成立,求实数a的取值范围;
（2）判断函数的零点的个数
参考答案
1．答案：A
解析：由题知图中阴影部分表示的集合为,
又,得,
又,则,
所以.
故选:B.
2．答案：B
解析：由.故选:B
3．答案：C
解析：,因为,所以,,又,故,设公比是q,则,两式相除得:,解得:或(舍去),故.故选:C
4．答案：D
解析：设外接圆得圆心为,半径为r,直三棱柱得高为h,
直三棱柱外接球得球心为O,半径为R,
则,且平面ABC,
由正弦定理得,所以,
因为,所以,
所以,所以,
即直三棱柱得高为4.
故选:D.
5．答案：C
解析：因为,,
所以四边形是平行四边形.
所以.
由椭圆的定义得.
所以.
故选:C
6．答案：B
解析：由可得,再由余弦定理可得:,
故,因为,所以则.故选:B.
7．答案：D
解析：方法一:,,,即,.
方法二,即,,,.
故选:D.
8．答案：D
解析：因为,可得函数为偶函数,
当时,则,可得,
构建,则,
令,解得;令,解得;
所以在上单调递减,在上单调递增,
可得,
即在上恒成立,故在上单调递增,
又因为,且,
所以,即.
故选:D.
9．答案：AB
解析：对于A,若,则解得,故A正确;
对于B,若,可得,即,解得,故B正确;
对于C,若,,
则向量在上的投影向量为,故C错误;
对于D,若,则,所以,
但当时,,此时同向,其夹角为,故D错误.
故选:AB.
10．答案：ABC
解析：，函数的最小正周期为，故A正确；
由，得，当时，，故B正确；
由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确.
因为，，函数在上不单调，故D错误.故选ABC.
11．答案：BC
解析：对于选项A：病人甲体温的最大值为36.6 ℃，最小值为36.2 ℃，故极差为0.4 ℃，故A错误；对于选项B：病人乙的体温波动较病人甲的小，极差为0.2 ℃，也比病人甲的小，因此病人乙的体温比病人甲的体温稳定，故B正确；对于选项C：病人乙体温按照从小到大的顺序排列为36.3 ℃，36.3 ℃，36.4 ℃，36.4 ℃，36.4 ℃，36.5 ℃，36.5 ℃，病人乙体温的众数、中位数都为36.4 ℃，病人乙体温的平均数为，故C正确；对于选项D：病人甲体温按照从小到大的顺序排列为36.2 ℃，36.2 ℃，36.4 ℃，36.4 ℃，36.5 ℃，36.5 ℃，36.6 ℃，又，病人甲体温的上四分位数为上述排列中的第6个数据，即36.5 ℃，故D错误.故选BC.
12．答案：BCD
解析：由图可知,当直线PA,PB与圆相切且点P在y轴上时最大,
此时,,,,
所以最大时是锐角,故A错;
,所以,
则当最小时,弦长AB最小,,所以,故B正确;
设点,A,B是以PO为直径的圆上的两点,圆的方程为,
即①,又A,B是圆②上的两点,
所以直线AB的方程为②-①:,过定点,故C正确;
若存在A,B,使得,则,
当直线PA,PB与圆相切时,最大,对应的余弦值最小,
当直线PA,PB与圆相切,且时,,,
因为,所以,则,故D正确.
故选:BCD.
13．答案：7
解析：直线l过点,,直线l斜率,
又直线l是在处的切线,,又,
.
故答案为:7.
14．答案：16
解析：设长方体车厢的长为xm,高为hm,则,即,
,即,解得,.
车厢的容积为().当且仅当且,即时等号成立.
车厢容积的最大值为.
15．答案：
解析：设等差数列的公差为,,,
,,
联立解得:,所以,
则,
令,,
时,,单调递增,时,,单调递减,
可得时,函数取得极小值即最小值,
时,取得最小值,.
故答案为:.
16．答案：
解析：如图,设直线AB与x轴交于点D,取AB的中点M,连接AC,OM,
由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点,则,
所以.由直线AB的斜率,得,
则直线OM的斜率.
设,,则,
两式相减,得,化简得,即,
所以该双曲线的离心率.故答案为:
17．答案：（1）为
（2）极大值为,极小值为.
解析：（1）依题可知
故点处的切线斜率,
所以,
故切线方程为,
即
（2）由,
令,得或,
当变化时,,的变化情况如下表:
的极大值为,极小值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）中,;
（2）,,
所以,
所以.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）如图,取BC的中点G,连接DG,FG,BD,
,,
,且,
四边形ABCD是菱形,,
为等边三角形,
,
,且,
又,平面DFG.
平面DFG,.
（2）设,
四边形ABCD是菱形,,
平面ABCD,AC,平面ABCD,
,,
平面平面ABCD,,平面平面,
平面ABCD,
以O为原点,OA,OB所在的直线分别为x,y轴,以过O平行于ED的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
,,,,
易知,,,.
设平面EAB的法向量为,,,,则
,令,则,
,
故直线EF与平面AEB所成角的正弦值为.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）选择条件①,解析如下:
因为,,所以,则,
故,得,即,即条件②,
以下解析与选择条件②解析相同,见下方解析;
选择条件②,解析如下:
因为,
所以当时,,得;
当时,,
所以,
则,即,
经检验:当时,,
所以,
所以是以,的等差数列,
故;
不能选择条件③,理由如下:
因为,所以数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列,
又因为,所以数列的奇数项可以确定,
但数列的任一偶数项都未知,故数列的偶数项无法确定,
因此数列不确定,故条件③不能选.
（2）由（1）得,
所以,
则,
两式相减,得,
所以.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知,,
所以,
解得.
（2）由（1）知,.
设直线,,,,,
根据题意结合图形可知,且.
联立,得,
则,
同理联立,得,
则.
由可得,,
又,,
所以,
即,化简得,即,
又因为,,所以,
再由,得.
联立,解得,
所以,,.
故,
所以为定值.
22．答案：（1）;
（2）当或时,函数无零点;当时,函数有一个零点.
解析：（1）因为,,
①若,因为,所有,
所以,不符合题意;
②若,由,
令,因为,设方程两根为,,
则,,不妨设,
当时,在上,,单调递增,,不合题意;
所以,故,即,这时,在上,,单调递减,
所以恒成立;综上,a的取值范围是;
（2）当时,因为,所有,所以,函数无零点;
当时,(i)若,则,即,
由（1）知,在上单调递增,上单调递减,,
由,可知,
又,
所以存在使,所以当时,有一个零点;
(ii)若,即时,则在上单调递减,,无零点;
综上,当或时,函数无零点;
当时,函数有一个零点.
x
1
+
0
0
+
极大值
极小值