2023-2024学年西藏自治区拉萨市中学高二上学期期末联考试题数学含答案

这是一份2023-2024学年西藏自治区拉萨市中学高二上学期期末联考试题数学含答案，共27页。试卷主要包含了 直线与圆的位置关系是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡指定位置上.
3.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2. 平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A B. C. D.
3. 两条平行直线与之间距离为（ ）
A. B. C. 7D.
4. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
5. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
7. 若方程表示焦点在y轴上双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则在基底下的坐标为（ ）
A B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 若＝(3x，−5，4)与＝(x，2x，−2)的夹角为钝角，则x的取值可能为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
11. 已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆M内B. 圆M关于对称
C. 半径为1D. 直线与圆M相切
12. 已知椭圆：，则下列各选项正确的是（ ）
A. 若的离心率为，则
B. 若，的焦点坐标为
C. 若，则的长轴长为6
D. 不论取何值，直线都与没有公共点
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）
13. 双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为_________.
14. 如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是__________.
15. 第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为，小圆台的两底面半径和高分别为，则该几何体的体积为_________．
16. 已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为_________.
四、解答题（本题共6小题，17题10分，18—22题每题12分，共70分.）
17. 已知点；
（1）求过点且与平行直线方程；
（2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程．
18. 已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长.
19. 正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积．
20. 已知.
（1）当时，与相交于两点，求直线的方程；
（2）若与相切，求的值.
21. 如图，长方体中，，M，N分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
22. 已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点.
（1）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围；
（2）当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围.2023—2024学年第一学期拉萨市高中期末联考
高二数学试题
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡指定位置上.
3.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由两点的斜率计算公式计算即可.
【详解】由题意，，所以直线的斜率为.
故选：A.
2. 平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个平面垂直，两个平面的法向量也垂直，求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：D
3. 两条平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】因为直线与平行，
整理：，代入平行直线距离公式，
则.
故选：D
4. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心坐标与半径，再计算出圆心到直线的距离，即可判断.
【详解】圆圆心，半径，
又圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交.
故选：A
5. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角.
【详解】
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为,，
则,所以.
故选：C
6. 以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求解．
【详解】根据题意，可设抛物线的方程为，
由抛物线的定义知，即，
所以抛物线方程为．
故选：C．
7. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可.
【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线，
可变形为.
所以有，即，解得.
故选：A.
8. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则在基底下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和空间向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意得，
，，
所以，即，
所以
.
故选：B
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用线线、线面、面面关系可判断ABC，举反例可判断D.
【详解】对于A，若，则，或与异面，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，如下图，在长方体中，，则，，或与相交，故D错误.
故选：BC.

10. 若＝(3x，−5，4)与＝(x，2x，−2)的夹角为钝角，则x的取值可能为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，分析可得两个向量不共线，由向量数量积的计算公式可得且不反向，解可得的取值范围，分析选项可得答案.
【详解】根据题意，若与共线，则有，
无解，即两个向量不会共线，
若与的夹角为钝角，必有，
解可得：，分析选项：、2、3符合，
故选：ABC.
11. 已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆M内B. 圆M关于对称
C. 半径为1D. 直线与圆M相切
【答案】CD
【解析】
【分析】化出圆的标准方程后，再逐项验证.
【详解】解：圆的标准方程为：，
圆心为，半径为1，
A.因为，所以点在圆M外，故错误；
B.因为，即圆心不在直线上，故错误；
C.由圆标准方程知，半径为1，故正确；
D.因为圆心为到直线的距离为，与圆M的半径相等，故直线与圆M相切，故正确；
故选：CD
12. 已知椭圆：，则下列各选项正确的是（ ）
A. 若的离心率为，则
B. 若，的焦点坐标为
C. 若，则的长轴长为6
D. 不论取何值，直线都与没有公共点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，分焦点在轴上和焦点在轴上讨论即可判断；对于B，根据得出的焦点在轴上，再由平方关系即可判断；对于C，根据，可以得出，根据长轴长的定义即可判断；对于D，首先求出的范围，然后在方程中，令，得出矛盾，由此即可判断.
【详解】对于A，当椭圆：的焦点在轴上时，此时；
但当椭圆：的焦点在轴上时，此时，解得，
综上，若的离心率为，则或，故A错误；
对于B，若，则的焦点在轴上，，即的焦点坐标为，故B正确；
对于C，若，则的焦点在轴上，，所以的长轴长为，故C正确；
对于D，由题意方程表示椭圆，所以，
在中令，得，即，
结合可知，，这与矛盾，
这表明了不论取何值，直线都与没有公共点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）
13. 双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为_________.
【答案】 （或）
【解析】
【分析】写出双曲线 的一条渐近线方程和一个焦点坐标，根据双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，求得b即可.
【详解】解：双曲线 的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为 ，
因为双曲线 的焦点到渐近线的距离为5，
所以，
解得
所以该双曲线的渐近线方程为y=
故答案为： （或）
14. 如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值.
【详解】以坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
设直线与平面所成角大小为，
则，
故答案为：
15. 第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为，小圆台的两底面半径和高分别为，则该几何体的体积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆台的体积公式求解即可.
【详解】根据圆台的体积公式，
可得（），
故答案为：
16. 已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据两圆内切求出圆的半径，再求圆心到直线距离d 即可得解.
【详解】根据题意，圆：化为标准方程为，
其圆心为，半径，，
又由圆与圆内切，且圆的半径小于6，则有，解得，
圆心到的距离，
点是圆上一个动点，则点到直线：距离的最大值为.
故答案为：2
四、解答题（本题共6小题，17题10分，18—22题每题12分，共70分.）
17. 已知点；
（1）求过点且与平行的直线方程；
（2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用直线平行的斜率关系和直线的点斜式方程求解即可；
（2）分类讨论截距是否为0进行求解即可.
【小问1详解】
直线的斜率： ，
故过点且与平行的直线方程斜率.
且故直线方程：，即.
小问2详解】
过点且在轴和轴上截距相等的直线方程,
当截距为0时, 直线过原点，直线方程为：，即；
当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：，
代入得，
故直线方程为即.
综上得：直线方程为或
18. 已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长.
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可;
（2）利用弦长公式求解即可.
【小问1详解】
，
，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
斜率为的直线过椭圆的右焦点
所以直线方程为：，联立椭圆的方程得：
，化简得：
设，则，
故.
19. 正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，则与交于点，由正四棱锥的性质得到，平面，则，即可得证；
（2）首先求出，再由为上靠近的三等分点，得到，所以.
【小问1详解】
在正四棱锥中为底面中心，连接，，
则与交于点，且，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为，，所以，
又为上靠近的三等分点，所以，
则.
20. 已知.
（1）当时，与相交于两点，求直线的方程；
（2）若与相切，求的值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）两圆相交，两个方程作差即为交点弦所在直线方程.
（2）两圆相切，分内切与外切分别讨论求参数a的值.
【小问1详解】
当时，，
则用与作差得：
，
化简得：，
即直线的方程为
【小问2详解】
，
,，
半径，半径，
当两圆外切时，，解得，
当两圆内切时，，解得.
21. 如图，长方体中，，M，N分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明，得证平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
【小问1详解】
连接，如图所示，
正方形中，M，N分别是，的中点，
有且，所以四边形为平行四边形，则有且，
又长方体中且，则且，
所以四边形为平行四边形，得，
平面，平面，所以平面
【小问2详解】
以点为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
，，
设平面的一个法向量为，则有，
令，则，即，
是平面的一个法向量，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22. 已知双曲线的离心率为e，点A的坐标是，O为坐标原点.
（1）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围；
（2）当时，设过点A的直线与双曲线的左支交于P，Q两个不同的点，线段的中点为M点，求的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率公式得出，进而解得实数m的取值范围；
（2）先得出双曲线E的方程，再联立直线和双曲线方程，利用韦达定理得出，再由的范围得出的取值范围.
【小问1详解】
，
，，解得
【小问2详解】
由（1）可知，，双曲线E的方程为
设，过点A的直线方程为
由可得
，
由，解得
故