西藏自治区拉萨市部分学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学（理）试卷(含答案)

这是一份西藏自治区拉萨市部分学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学（理）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知,,则直线AB的斜率为( )
A.B.C.D.
2．平面的法向量为,平面的法向量为,若,则( )
A.B.C.D.
3．两条平行直线与之间的距离为( )
A.B.C.7D.
4．直线与圆的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
5．如下图所示,在正方体中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线与EF所成的角的大小为( )
A.B.C.D.
6．以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3,则抛物线的方程是( )
A.B.C.D.
7．若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．如图,在平行六面体中,,,,点P在上,且,则在基底下的坐标为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知m,n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列说法中正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,,则D.若,,,则
10．若与的夹角为钝角,则x的取值可能为( )
A.1B.2C.3D.4
11．已知圆,则下列说法正确的是( )
A.点在圆M内B.圆M关于对称
C.半径为1D.直线与圆M相切
12．已知椭圆,则下列各选项正确的是( )
A.若E的离心率为,则
B.若,E的焦点坐标为
C.若,则E的长轴长为6
D.不论m取何值,直线都与E没有公共点
三、填空题
13．双曲线的焦点到渐近线的距离为5,则该双曲线的渐近线方程为________.
14．如图,正四棱柱中,设,,点P在线段上,且,则直线与平面PBD所成角的正弦值是________.
15．第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办,中国国家队以201金,111银,71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首.此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”,由花材和花器两部分组成,如图1.其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解,由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成,可以近似看作由大,小两个圆台拼接而成的组合体,如图2.已知大圆台的两底面半径和高分别为2cm,4cm,12cm,小圆台的两底面半径和高分别为2cm,3cm,6cm,则该几何体的体积为________.
16．已知圆与圆内切,且圆的半径小于6,点P是圆上的一个动点,则点P到直线距离的最大值为________.
四、解答题
17．已知点,,;
（1）求过点A且与BC平行的直线方程;
（2）求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程.
18．已知椭圆的两焦点为,,P为椭圆上一点,且
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）斜率为的直线过椭圆C的右焦点,交椭圆A,B两点,求AB线段的长.
19．正四棱锥中,,,其中O为底面中心,M为PD上靠近P的三等分点.
（1）求证:平面ACP;
（2）求四面体的体积.
20．已知,.
（1）当时,与相交于A,B两点,求直线AB的方程;
（2）若与相切,求a的值.
21．如图,长方体中,,M,N分别是AB,的中点.
（1）求证:平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
22．已知双曲线的离心率为e,点A的坐标是,O为坐标原点.
（1）若双曲线E的离心率,求实数m的取值范围;
（2）当时,设过点A的直线与双曲线的左支交于P,Q两个不同的点,线段PQ的中点为M点,求的面积的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意,,所以直线AB的斜率为.
故选:A.
2．答案：D
解析：因为,所以,解得.
故选:D
3．答案：D
解析：因为直线与平行,
整理:,代入平行直线距离公式,
则.
故选:D
4．答案：A
解析：圆的圆心,半径,
又圆心C到直线l的距离,
所以直线l与圆C相交.
故选:A
5．答案：C
解析：以D为坐标原点,DA为x轴,为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体棱长为2,则,,,
,,,
设异面直线与EF所成的角为,,
则,所以.
故选:C
6．答案：C
解析：根据题意,可设抛物线的方程为,
由抛物线的定义知,即,
所以抛物线方程为.
故选:C.
7．答案：A
解析：因为方程表示焦点在y轴上的双曲线,
可变形为.
所以有,即,解得.
故选:A.
8．答案：B
解析：由题意得,
,,,,
所以,即,
所以
.
故选:B
9．答案：BC
解析：对于A,若,,则,或m与n异面,故A错误;
对于B,若,,则,故B正确;
对于C,若,,,则,故C正确;
对于D,如下图,在长方体中,,,,则,,或与相交,故D错误.
故选:BC.
10．答案：ABC
解析：根据题意,若与共线,则有,
无解,即两个向量不会共线,
若与的夹角为钝角,必有,
解可得:,分析选项:,2,3符合,
故选:ABC.
11．答案：CD
解析：圆的标准方程为:,
圆心为,半径为1,
A.因为,所以点在圆M外,故错误;
B.因为,即圆心不在直线上,故错误;
C.由圆的标准方程知,半径为1,故正确;
D.因为圆心为到直线的距离为,与圆M的半径相等,故直线与圆M相切,故正确;
故选:CD
12．答案：BCD
解析：对于A,当椭圆的焦点在x轴上时,此时,,;
但当椭圆的焦点在y轴上时,此时,,,,解得,
综上,若E的离心率为,则或,故A错误;
对于B,若,则E的焦点在y轴上,,,,即E的焦点坐标为,故B正确;
对于C,若,则E的焦点在x轴上,,所以E的长轴长为,故C正确;
对于D,由题意方程表示椭圆E,所以,
在中令,得,即,
结合可知,,这与矛盾,
这表明了不论m取何值,直线都与E没有公共点,故D正确.
故选:BCD.
13．答案：(或)
解析：双曲线的一条渐近线方程为,一个焦点坐标为,
因为双曲线的焦点到渐近线的距离为5,
所以,
解得,,
所以该双曲线的渐近线方程为.
故答案为:(或)
14．答案：/
解析：以D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
设平面PBD的法向量为,
则,
令,则,故,
设直线与平面PBD所成角大小为,
则,
故答案为:
15．答案：
解析：根据圆台的体积公式,
可得(),
故答案为:
16．答案：2
解析：根据题意,圆化为标准方程为,
其圆心为,半径,,
又由圆与圆内切,且圆的半径小于6,则有,解得,
圆心到的距离,
点P是圆上一个动点,则点P到直线距离的最大值为.
故答案为:2
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）直线BC的斜率:,
故过点A且与BC平行的直线方程斜率.
且故直线方程为:,即.
（2）过点且在轴和轴上截距相等的直线方程,
当截距为0时,直线过原点,直线方程为:,即;
当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为:,
代入,得,,
故直线方程为即.
综上得:直线方程为或
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,,
,.
,
所以椭圆C的标准方程为.
（2）斜率为的直线过椭圆C的右焦点
所以直线方程为:,联立椭圆C的方程得:
,化简得:
设,,则,
故.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在正四棱锥中O为底面中心,连接AC,BD,
则AC与BD交于点O,且,平面ABCD,平面ABCD,
所以,又,AC,平面ACP,所以平面ACP.
（2）因为,,所以,
又M为PD上靠近P的三等分点,所以,
则.
20．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）当时,,
则用与作差得:
,
化简得:,
即直线AB的方程为
（2）,
,,,
半径,半径,
当两圆外切时,,解得,
当两圆内切时,,解得.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接MN,如图所示,
正方形中,M,N分别是AB,的中点,
有且,所以四边形为平行四边形,则有且,
又长方体中且,则且,
所以四边形为平行四边形,得,
平面,平面,所以平面
（2）以D点为原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,则,,,
,,
设平面的一个法向量为,则有,
令,则,即,
是平面的一个法向量,,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,,
,,解得
（2）由（1）可知,,,双曲线E的方程为
设,,过点A的直线方程为
由可得
,
由,解得
故