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2023-2024学年四川省绵阳南山中学实验学校高二上学期数学期末模拟四含答案
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这是一份2023-2024学年四川省绵阳南山中学实验学校高二上学期数学期末模拟四含答案，文件包含四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期数学期末模拟四Word版含解析docx、四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高二上学期数学期末模拟四Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分）
1. 直线的倾斜角是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
2. 在空间直角坐标系中，，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间两点间的距离公式可得.
【详解】因为，
所以，
所以，
即，解得.
故选：C
【点睛】本题考查了空间两点间的距离公式，属于基础题.
3. 椭圆中以为弦的中点的弦所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先设弦的两端点为，，由题意得到，，两式作差，求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.
【详解】设以为弦的中点的弦的两端点为，，
所以，
又因为弦为椭圆中的弦，
所以，两式作差得，
整理得：，
即，
因此所求直线方程为：，即，
【点睛】本题主要考查椭圆的中点弦所在直线方程的问题，熟记点差法，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.
4. 2019年1月1日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动.市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可以找事件的反面，即小王和小李都被选中的概率，然后用1减去，得到结果.
【详解】设小王和小李都被选中为事件，则，则小王和小李至多一人被选中的概率为，故选D.
【点睛】对于至多，至少之类的概率题，可以找其反面概率，然后用1减去后得到结果，古典概型.属于简单题.
5. 已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（ ）
A. B. 24C. D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长．
【详解】由题意抛物线准线为，，∴，解得．
∴，，∴的周长为．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出值．
6. 如果椭圆和双曲线的离心率互为倒数，那么就称这组椭圆与双曲线互为“有缘曲线”．已知椭圆的方程为，中心在原点、焦点在轴上的双曲线是椭圆的“有缘曲线”，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为椭圆：，故，则，故（分别为椭圆的半实轴、半虚轴、半焦距，离心率），则双曲线的离心率，因为双曲线的中心在原点、焦点在轴上，所以（分别为双曲线的的半实轴、半虚轴、半焦距），即，所以=，所以双曲线的渐近线方程为，故选A．
7. 过抛物线焦点的直线交于，两点，线段中点M到轴距离为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义结合中点公式，可得焦点弦长度.
【详解】
如图所示，
由抛物线，得，
设，，
由线段中点M到轴距离为，
可知，
所以，
又由抛物线定义可知，
故选：B.
8. 已知点，，若圆上存在点P（不同于点A，B）使得，则实数r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为，圆心距为3，由两圆相交的性质可得，由此求得的范围．
【详解】根据直径对的圆周角为，
结合题意可得以AB为直径的圆和圆有交点，
因为点P（不同于点A，B），显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．
而以AB为直径的圆的方程为，两个圆的圆心距为3，
故|，求得，
故选：A．
二、多选题（每小题5分）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 过两点的直线方程为
B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
C. 过点且与直线相互平行的直线方程是
D. 经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】由x2＝x1或y2＝y1时，式子无意义可判断A；求解直线与两个轴交点坐标，计算面积可判断B；设平行的直线为，代入点坐标求解可判断C；过原点的直线在两个坐标轴上截距也相等，分析可判断D.
【详解】对A，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故A不正确；
对B，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴交点坐标为，故围成的三角形的面积是×4×4＝8，故B正确；
对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；
对D，斜率为-1以及过原点的直线在两个坐标轴上截距都相等，故经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误.
故选：BC
10. 已知曲线C：（m，），则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，且，则曲线C是椭圆
B. 若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C. 若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D. 曲线C可以是抛物线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的特征即可判断答案.
【详解】若，则，曲线C：表示焦点在y轴上的椭圆，
若，则，曲线C：表示焦点在x轴上的椭圆.故A,B正确；
对C，若，则，曲线C: 表示焦点在x轴上的双曲线.故C正确；
对D，抛物线的标准方程为：.故D错误.
故选：ABC.
11. 已知双曲线：的一条渐近线过点，点F为双曲线C的右焦点，那么下列结论中正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为
B. 双曲线C的一条渐近线方程为
C. 若点F到双曲线C渐近线的距离为，则双曲线C的方程为
D. 设O为坐标原点，若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出判断A，B；求出值判断C；由求出点的坐标计算判断D作答.
【详解】显然经过点的双曲线的渐近线方程为，
即有，解得，双曲线C的离心率，A正确；
双曲线C的一条渐近线方程为，B正确；
双曲线C的半焦距，即，由选项B知，，
解得，因此双曲线的方程为，C正确；
为坐标原点，若,，得，则，D错误.
故选：ABC
12. 如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 异面直线成角为
C. 直线与面所成角的正弦值
D. 当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三角形，故B错误；由向量法可判断C正确；转化顶点，易证平面，利用正、余弦定理求出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断D项.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，，故A正确；
因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直线成角为，故B项错误；
以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与面所成角为，
则，故C项正确；
当点为中点时，，易得，平面，又平面，所以，，平面，所以平面，即平面，，，
所以，，的外接圆半径为，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确.
故选：ACD
三、填空题（每小题5分）
13. 若直线与直线平行，则实数a的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况.
【详解】由题意得,即,解得或.
当时，两直线方程都为：，两直线重合;
当时，两直线方程分别为：,两直线平行.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用两直线的平行求参数，属基础题，易错点是忽视重合的情况的排除.
14. 如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，，则等于____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用向量的几何运算结合平行四边形法则可得答案.
【详解】由图可得.
故答案为：.
15. 已知直线，，圆，则直线截圆所得弦长的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出直线所过定点，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，可由勾股定理求出此时的弦长.
【详解】由直线得，
则，所以直线l恒过，
因为，所以点在圆内部，
由题圆心为，半径，
设圆心到直线直线l的距离为，由勾股定理可得：
，
所以圆心到直线直线l距离最大时弦长的最小，此时,
由图像可知圆心到直线直线l的距离最大值为，
所以的最小值为.
故答案为：
16. 已知抛物线的焦点为，平行轴的直线与圆交于两点（点在点的上方）， 与交于点，则周长的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得，从而得出的周长为，考查直线与圆相切和过圆心，得出、、不共线时的范围，进而得出周长的取值范围．
【详解】如下图所示：
抛物线的焦点，准线为，过点作，垂足为点，
由抛物线的定义得，圆的圆心为点，半径长为，
则的周长，
当直线与圆相切时，则点、重合，此时，；
当直线过点时，则点、、三点共线，则．
由于、、不能共线，则，所以，，即，
因此，的周长的取值范围是，故答案为．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
四．解答题
17. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值和第25百分位数；
（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率．
【答案】（1），第25百分位数为30
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1可求的值，判断第25百分位数在第二组，设为，列方程可求解；
（2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可.
【小问1详解】
,
因为第一组的频率为，，
第二组的频率为，，
所以第25百分位数在第二组，设为，则，
所以第25百分位数为30.
【小问2详解】
年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为，
用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，
设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，，
从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种，
其中2名年龄都在内的样本事件有种，
所以两名幸运市民年龄都在内的概率为．
18. 已知圆的圆心在轴上，且经过点．
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）求圆的标准方程；
（3）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据已知得到线段中点的坐标及的斜率，根据垂直关系得出垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求解；
（2）设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；
（3）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.
【小问1详解】
设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
小问2详解】
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由（1）得直线的方程为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为.
【小问3详解】
由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，
即；
综上直线的方程为或.
19. 为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据独立事件概率的求法计算即可得出结果；
（2）根据独立事件概率的求法分别求出有0个、1个家庭回答正确的概率，利用间接法即可求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【小问1详解】
记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
【小问2详解】
有0个家庭回答正确的概率
，
有1个家庭回答正确的概率
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
20. 已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．
（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；
（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
分析】
（1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为，从而可求抛物线的方程．
（2）设，利用导数求出两点处的切线方程，从而可求的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得，从而可得的交点的纵坐标为定值，故的交点在定直线上．
【详解】（1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为，
到准线的距离为，则且.
由抛物线的定义可知，，所以，
由梯形中位线可得，所以，可得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）证明：设，由，得，则，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，解得，
即直线的交点坐标为.
因为过焦点，
由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为，
代入抛物线中，得，
所以，故，所以的交点在定直线上．
【点睛】关键点点睛：抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到准线的距离问题，对于焦点在轴上的抛物线的切线问题，可以利用导数来求切线方程，从而简化运算．
21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，E为棱PD的中点，F是线段PC上一动点．
（1）求证：平面平面PAB；
（2）若直线BF与平面ABCD所成角的正弦值为时，求点C到平面AEF的距离．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用已知条件求出的值，然后利用空间向量法可求得点C到平面AEF的距离.
【小问1详解】
证明：因为，，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，因此，平面平面.
【小问2详解】
因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，为的中点，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，因为，
所以点C到平面AEF的距离为：.
22. 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．
【答案】(1) ；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. 椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.
再结合韦达定理即可得的值.
试题解析：（1）由已知得：，，所以
又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.
（2）椭圆方程化为.
设T点的坐标为，则直线TF的斜率.
当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是
当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.
将代入椭圆方程得：.
其判别式.
设，
则.
因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.
所以，解得.
此时四边形OPTQ的面积
.
【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.
一、单选题（每小题5分）
1. 直线的倾斜角是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
2. 在空间直角坐标系中，，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间两点间的距离公式可得.
【详解】因为，
所以，
所以，
即，解得.
故选：C
【点睛】本题考查了空间两点间的距离公式，属于基础题.
3. 椭圆中以为弦的中点的弦所在的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先设弦的两端点为，，由题意得到，，两式作差，求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.
【详解】设以为弦的中点的弦的两端点为，，
所以，
又因为弦为椭圆中的弦，
所以，两式作差得，
整理得：，
即，
因此所求直线方程为：，即，
【点睛】本题主要考查椭圆的中点弦所在直线方程的问题，熟记点差法，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.
4. 2019年1月1日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动.市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可以找事件的反面，即小王和小李都被选中的概率，然后用1减去，得到结果.
【详解】设小王和小李都被选中为事件，则，则小王和小李至多一人被选中的概率为，故选D.
【点睛】对于至多，至少之类的概率题，可以找其反面概率，然后用1减去后得到结果，古典概型.属于简单题.
5. 已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（ ）
A. B. 24C. D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长．
【详解】由题意抛物线准线为，，∴，解得．
∴，，∴的周长为．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出值．
6. 如果椭圆和双曲线的离心率互为倒数，那么就称这组椭圆与双曲线互为“有缘曲线”．已知椭圆的方程为，中心在原点、焦点在轴上的双曲线是椭圆的“有缘曲线”，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为椭圆：，故，则，故（分别为椭圆的半实轴、半虚轴、半焦距，离心率），则双曲线的离心率，因为双曲线的中心在原点、焦点在轴上，所以（分别为双曲线的的半实轴、半虚轴、半焦距），即，所以=，所以双曲线的渐近线方程为，故选A．
7. 过抛物线焦点的直线交于，两点，线段中点M到轴距离为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义结合中点公式，可得焦点弦长度.
【详解】
如图所示，
由抛物线，得，
设，，
由线段中点M到轴距离为，
可知，
所以，
又由抛物线定义可知，
故选：B.
8. 已知点，，若圆上存在点P（不同于点A，B）使得，则实数r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为，圆心距为3，由两圆相交的性质可得，由此求得的范围．
【详解】根据直径对的圆周角为，
结合题意可得以AB为直径的圆和圆有交点，
因为点P（不同于点A，B），显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．
而以AB为直径的圆的方程为，两个圆的圆心距为3，
故|，求得，
故选：A．
二、多选题（每小题5分）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 过两点的直线方程为
B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
C. 过点且与直线相互平行的直线方程是
D. 经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】由x2＝x1或y2＝y1时，式子无意义可判断A；求解直线与两个轴交点坐标，计算面积可判断B；设平行的直线为，代入点坐标求解可判断C；过原点的直线在两个坐标轴上截距也相等，分析可判断D.
【详解】对A，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故A不正确；
对B，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴交点坐标为，故围成的三角形的面积是×4×4＝8，故B正确；
对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；
对D，斜率为-1以及过原点的直线在两个坐标轴上截距都相等，故经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误.
故选：BC
10. 已知曲线C：（m，），则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，且，则曲线C是椭圆
B. 若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C. 若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D. 曲线C可以是抛物线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的特征即可判断答案.
【详解】若，则，曲线C：表示焦点在y轴上的椭圆，
若，则，曲线C：表示焦点在x轴上的椭圆.故A,B正确；
对C，若，则，曲线C: 表示焦点在x轴上的双曲线.故C正确；
对D，抛物线的标准方程为：.故D错误.
故选：ABC.
11. 已知双曲线：的一条渐近线过点，点F为双曲线C的右焦点，那么下列结论中正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为
B. 双曲线C的一条渐近线方程为
C. 若点F到双曲线C渐近线的距离为，则双曲线C的方程为
D. 设O为坐标原点，若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出判断A，B；求出值判断C；由求出点的坐标计算判断D作答.
【详解】显然经过点的双曲线的渐近线方程为，
即有，解得，双曲线C的离心率，A正确；
双曲线C的一条渐近线方程为，B正确；
双曲线C的半焦距，即，由选项B知，，
解得，因此双曲线的方程为，C正确；
为坐标原点，若,，得，则，D错误.
故选：ABC
12. 如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 异面直线成角为
C. 直线与面所成角的正弦值
D. 当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】易证平面，故三棱锥体积为定值；易得，为等边三角形，故B错误；由向量法可判断C正确；转化顶点，易证平面，利用正、余弦定理求出的外接圆半径，将所求问题转化为圆柱外接球问题，进而判断D项.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，，故A正确；
因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直线成角为，故B项错误；
以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与面所成角为，
则，故C项正确；
当点为中点时，，易得，平面，又平面，所以，，平面，所以平面，即平面，，，
所以，，的外接圆半径为，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确.
故选：ACD
三、填空题（每小题5分）
13. 若直线与直线平行，则实数a的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况.
【详解】由题意得,即,解得或.
当时，两直线方程都为：，两直线重合;
当时，两直线方程分别为：,两直线平行.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用两直线的平行求参数，属基础题，易错点是忽视重合的情况的排除.
14. 如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，，则等于____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用向量的几何运算结合平行四边形法则可得答案.
【详解】由图可得.
故答案为：.
15. 已知直线，，圆，则直线截圆所得弦长的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出直线所过定点，判断定点在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，可由勾股定理求出此时的弦长.
【详解】由直线得，
则，所以直线l恒过，
因为，所以点在圆内部，
由题圆心为，半径，
设圆心到直线直线l的距离为，由勾股定理可得：
，
所以圆心到直线直线l距离最大时弦长的最小，此时,
由图像可知圆心到直线直线l的距离最大值为，
所以的最小值为.
故答案为：
16. 已知抛物线的焦点为，平行轴的直线与圆交于两点（点在点的上方）， 与交于点，则周长的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得，从而得出的周长为，考查直线与圆相切和过圆心，得出、、不共线时的范围，进而得出周长的取值范围．
【详解】如下图所示：
抛物线的焦点，准线为，过点作，垂足为点，
由抛物线的定义得，圆的圆心为点，半径长为，
则的周长，
当直线与圆相切时，则点、重合，此时，；
当直线过点时，则点、、三点共线，则．
由于、、不能共线，则，所以，，即，
因此，的周长的取值范围是，故答案为．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
四．解答题
17. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值和第25百分位数；
（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率．
【答案】（1），第25百分位数为30
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1可求的值，判断第25百分位数在第二组，设为，列方程可求解；
（2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可.
【小问1详解】
,
因为第一组的频率为，，
第二组的频率为，，
所以第25百分位数在第二组，设为，则，
所以第25百分位数为30.
【小问2详解】
年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为，
用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，
设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，，
从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种，
其中2名年龄都在内的样本事件有种，
所以两名幸运市民年龄都在内的概率为．
18. 已知圆的圆心在轴上，且经过点．
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）求圆的标准方程；
（3）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据已知得到线段中点的坐标及的斜率，根据垂直关系得出垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求解；
（2）设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；
（3）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.
【小问1详解】
设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
小问2详解】
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由（1）得直线的方程为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为.
【小问3详解】
由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，
即；
综上直线的方程为或.
19. 为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据独立事件概率的求法计算即可得出结果；
（2）根据独立事件概率的求法分别求出有0个、1个家庭回答正确的概率，利用间接法即可求出不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【小问1详解】
记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.
【小问2详解】
有0个家庭回答正确的概率
，
有1个家庭回答正确的概率
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
20. 已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．
（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；
（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
分析】
（1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为，从而可求抛物线的方程．
（2）设，利用导数求出两点处的切线方程，从而可求的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得，从而可得的交点的纵坐标为定值，故的交点在定直线上．
【详解】（1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为，
到准线的距离为，则且.
由抛物线的定义可知，，所以，
由梯形中位线可得，所以，可得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）证明：设，由，得，则，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，解得，
即直线的交点坐标为.
因为过焦点，
由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为，
代入抛物线中，得，
所以，故，所以的交点在定直线上．
【点睛】关键点点睛：抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到准线的距离问题，对于焦点在轴上的抛物线的切线问题，可以利用导数来求切线方程，从而简化运算．
21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，E为棱PD的中点，F是线段PC上一动点．
（1）求证：平面平面PAB；
（2）若直线BF与平面ABCD所成角的正弦值为时，求点C到平面AEF的距离．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用已知条件求出的值，然后利用空间向量法可求得点C到平面AEF的距离.
【小问1详解】
证明：因为，，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，因此，平面平面.
【小问2详解】
因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，为的中点，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，因为，
所以点C到平面AEF的距离为：.
22. 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．
【答案】(1) ；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. 椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.
再结合韦达定理即可得的值.
试题解析：（1）由已知得：，，所以
又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.
（2）椭圆方程化为.
设T点的坐标为，则直线TF的斜率.
当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是
当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.
将代入椭圆方程得：.
其判别式.
设，
则.
因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.
所以，解得.
此时四边形OPTQ的面积
.
【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.
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