2023-2024学年四川省成都市蓉城名校高二上学期期末联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市蓉城名校高二上学期期末联考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知椭圆C:，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】C
【分析】根据椭圆方程先判断焦点位置，再确定的值，即得长轴长.
【详解】由椭圆C:知椭圆焦点在轴上，故，解得，故椭圆C的长轴长为.
故选：C.
2．若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由倾斜角求出斜率，再根据斜率的定义求出结果即可.
【详解】因为直线l的倾斜角为，
所以，
由斜率的定义可知，取，解得一组解可以是，
所以直线的一个方向向量可以是，
故选：B
3．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（ ）
A．90B．75C．95D．70
【答案】A
【分析】根据第p百分位数定义计算判断即可.
【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95，
，5人成绩的上四分位数为第四个数:90.
故选：A.
4．若方程表示一个圆，则m可取的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得的范围，对选项进行判断即可.
【详解】由方程分别对进行配方得：，
依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足.
故选：D.
5．有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出从中一次性取出2个球，共有的情况数以及2个球颜色不同的情况数，从而求出概率.
【详解】从中一次性取出2个球，共有的情况数为种，
其中事件“2个球颜色不同”发生的情况有种，
故事件“2个球颜色不同”发生的概率为.
故选：C
6．已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出两圆圆心坐标，作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
如下图所示：
作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，取最小值.
故选：B.
7．已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，证明平面,不妨设,以为基底的空间向量，,再求解，从而求出，根据是异面直线，求解其余弦值.
【详解】已知等腰直角三角形,点是中点，则,
沿着翻折平面可得,
所以,
又,平面，
所以平面,
不妨设,则，
以为基底的空间向量，
所以，则
所以，
因为是异面直线，所以异面直线的余弦值为.
故选：B
8．过点作圆的切线，切点分别为A，B，则弦长的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】A
【分析】点四点共圆，求出此圆的方程，与相减后得到弦的方程，得到圆心到的距离和弦长，求出最小值.
【详解】圆的圆心为，
故点四点共圆，其中为直径，
故此圆的圆心为，即，
直径为，
故此圆的方程为，
与相减得，，
故弦的方程为，
圆心到的距离为，
故弦长.
故选：A
二、多选题
9．已知甲、乙两蔬菜店春节假期一周销售蔬菜量统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的极差小于乙组数据的极差
B．甲店在春节假期间每天的销售量越来越大
C．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
D．若甲、乙两组数据的标准差分别为，则
【答案】AC
【分析】从图中甲乙的数据走势情况，结合极差，中位数，标准差的定义作出判断.
【详解】A选项，从图中可以看出甲的极差小，乙的极差大，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，A正确；
B选项，从图可以看出甲店在春节假期间每天的销售量有增加的，也有减少的，处于波动中，B错误；
C选项，由于甲组数据除1个数据稍微小于乙组数据，剩余数据都大于乙组数据，
故甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，C正确；
D选项，从图中可以看出甲组数据的波动幅度小，乙组数据的波动幅度大，故，D错误.
故选：AC
10．一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A表示事件“骰子向上的点数大于等于3”，B表示事件“骰子向上的点数为奇数”，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意，根据事件的基本运算，结合古典概型的概率公式依次计算即可求解.
【详解】A：掷一枚骰子并观察向上的点数，样本空间为，共6个样本点，
则，共4个样本点，所以，故A正确；
B：，共3个样本点，所以，故B错误；
C：由选项AB知，，共5个样本点，所以，故C正确；
D：由选项AB知，，共2个样本点，所以，故D正确.
故选：ACD
11．已知曲线，直线，点A为曲线C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．当时，直线l被曲线C截得的弦长为
C．若直线l与曲线C有两个交点，则m的范围为
D．当时，点A到直线l距离的最小值为
【答案】BC
【分析】A选项，变形得到，得到方程组，求出定点；B选项，当时，直线，曲线为以为圆心，2为半径的上半圆，数形结合及垂径定理得到答案；C选项，由B选项可知，当时，有两个交点，当时，仅有一个交点，再利用点到直线距离公式求出直线与半圆相切时的m值，得到答案；D选项，数形结合得到当A为原点时距离最小，求出最小值.
【详解】A选项，直线变形为，
令，解得，
故直线过定点，A错误；
B选项，当时，直线，
两边平方得，为以为圆心，2为半径的上半圆，
半圆与直线相交，如图所示，
圆心到直线的距离为，弦长为，B正确；
C选项，由B选项可知，当时，有两个交点，当时，仅有一个交点，
当直线与曲线相切时，点到直线的距离为2，
故，解得（舍）或，所以m的范围为，C正确；
D选项，当时，直线，如图所示，
由图可知，当A为原点时距离最小，且最小值为，D错误.
故选：BC．
12．已知椭圆的上、下焦点分别为，，上顶点为A，右顶点为B，原点为O，直线与椭圆C交于D，E两点，点，则（ ）
A．四边形面积的最大值为
B．四边形的周长为12
C．直线BD，BE的斜率之积为
D．若动点Q满足，且点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的性质可判断A；根据椭圆定义结合椭圆对称性可判断B；设，则，表示出BD，BE的斜率之积，结合点在椭圆上即可化简求值，进而判断C；先求出动点的轨迹方程，进而结合椭圆定义求解即可判断D.
【详解】由椭圆，则，，
所以，即，，，
则,，，，
因为直线过原点，所以四边形为平行四边形，
即面积取最大值时，四边形面积取最大值，
此时，四边形面积的最大值为，故A正确；
四边形的周长为，故B正确；
设，则，而，
所以，
又在椭圆上，则，
整理得，，
所以，故C错误；
若设动点，由，可得，
化简得，即，
所以Q在以为圆心，为半径的圆上，
所以，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于要先求出动点的轨迹方程，进而结合椭圆定义，利用图象进行求解.
三、填空题
13．如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为 ．
【答案】/0.5
【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，则，
所以线路为通路的概率为.
故答案为：
14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点是椭圆上一点，若，则 ．
【答案】
【分析】由椭圆定义及代入点的坐标求出，得到答案.
【详解】由椭圆定义得到，解得，
点是椭圆上一点，故，即，
所以，故.
故答案为：
15．正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】根据空间向量法求线面角，即可求解.
【详解】以D为原点建系如下，
则，，，，，
得，设，，，
则，
因为，所以，解得，，
设平面AB1C的一个法向量为，
则，令，得，所以，
则，
所以直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为.
故答案为：．
16．已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）．
【答案】
【分析】设P的坐标为，根据求出，故点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，分圆M与直线AB相切和两种情况，求出离心率的取值范围.
【详解】直线AB方程为，设点P的坐标为，
，故，
所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，
① 圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径，
，即，，
方程两边同除以得，，解得，
故，
②若，，解得，
综上，的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】椭圆离心率是最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
四、解答题
17．已知直线，．
(1)若直线，求m的值；
(2)若直线，求l1与l2的距离．
【答案】(1)6；
(2)
【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列方程即得；
（2）利用两直线平行的充要条件列方程求出的值，再运用两平行线之间距离公式求解.
【详解】（1），，
，，
m的值为6；
（2），
，解得：或，
验证，，两直线重合，舍去，
时，，，
故与的距离为．
18．已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用两圆内外切的充要条件可求出动点到两定点的距离，再运用椭圆的定义判断动点的轨迹，最后对轨迹上的特殊点进行检测，去除不符题意的点即得；
（2）利用椭圆的中点弦问题运用“点差法”即可求出弦的斜率即得直线方程.
【详解】（1）设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，
，且，于是，
动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，
故，，椭圆方程为
又因当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意舍去，
故动圆圆心M的轨迹C的方程为；
（2）设，由题意，显然，
则有，，两式作差可得，
即有，又Q为线段AB的中点，
则有，代入即得直线l的斜率为，
直线l的方程为，整理可得直线l的方程为.
19．传唱红色歌曲能够弥补青少年面对社会多元化的彷徨，有助于在红歌中受到启迪，树立积极的生活态度和健康的价值观．某重点高中在纪念“一二·九”活动中，举办了“唱青春之序曲，展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛，由专业教师和学生会共50人组成评委团，评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱比赛．评委对各节目的给分相互独立，互不影响．现有两个特等奖节目：《在太行山上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表，如下所示：
(1)从两个节目各自的平均分来看，应该推选哪个节目参加区合唱比赛（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值，从两个节目的“印象值”分数中各随机抽取一个分数，试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率．
【答案】(1)应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛；
(2)0.284．
【分析】（1）求出两者的平均分，比较后得到结果；
（2）设出事件，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出答案.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，《在太行山上》的平均得分约为：
，
由频率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分约为：
，
，故应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛；
（2）设“对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”为事件M，
设表示事件“对《在太行山上》印象值为9”，
设表示事件“对《在太行山上》印象值为10”，
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为8”，
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为9”，
则，
，，
，，
事件与相互独立，其中，，
，
估计对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率为0.284．
20．圆C经过点和点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程及原点O到直线AB距离最大时m的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）求出线段EF的垂直平分线，联立直线，求出圆心和半径，即得答案；
（2）求出以线段PC为直径的圆的标准方程，和圆C方程相减，即可求得直线AB的方程，求出直线AB所过定点N，确定当时，原点O到直线AB的距离最大，根据斜率之间的关系，求得答案.
【详解】（1）由题意知圆C经过点和点，
线段EF的中点坐标为，
则线段EF的垂直平分线方程为，即，
联立，得C，则
圆C的标准方程为；
（2）线段PC的中点坐标为，
以线段PC为直径的圆的标准方程为：，
即，
圆C方程化为：，
两式相减得：，即为直线AB的方程，
即;
由，直线AB经过定点，
当时，原点O到直线AB的距离最大，
，
，解得．
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，点E是线段PC（不含端点）上的一个动点.
(1)设平面ADE交PB于点F，求证：EF平面PAD；
(2)当点E到平面PAD的距离为时，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判定定理及性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，先根据点到平面的距离的向量公式求出点E的坐标，然后利用向量法求出两个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以，
因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
因为平面ADE，平面平面，所以，
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD；
（2）在AB上取中点O，因为是等腰直角三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，
又底面是边长为2的菱形，且，所以，
故以O为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
则，，，，，
，，，
设，则，
设是平面PAD的一个法向量，
则，即，令可得，
由点E到平面PAD的距离为得，所以，解得，
故点E为CP中点，所以，所以，又，
设是平面ADE的一个法向量，
则，即，令可得，
又，故是平面ABCD的一个法向量，
得，
所以平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.
22．已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，根据的值求出的方程，进而可求得的面积；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为，
则，可得，故椭圆的方程为.
（2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，
①当轴时，设直线的方程为，
将代入“蒙日圆”的方程得，解得，
则，解得：，
将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则，
所以，；
②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，得，
联立，消去得，
，可得，
设、，则，，
，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
又因为，故的面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
分数区间
[35,45）
[45,55）
[55,65）
[65,75）
[75,85）
[85,95]
频数
1
4
10
22
11
2
频率
0.02
0.08
0.20
0.44
0.22
0.04
分数区间
[35，55）
[55，75）
[75，95]
印象值
8
9
10