2023-2024学年西藏拉萨市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年西藏拉萨市高一（下）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z满足−i⋅z=3+4i，则|z|=( )
A. 1B. 5C. 7D. 25
2.已知角α终边上一点的坐标为(−2,3)，则csα=( )
A. −213 13B. 213 13C. −313 13D. 313 13
3.某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是3：2，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，则参加体检的人数是( )
A. 120B. 360C. 240D. 300
4.若α是任意实数，则sin(5π2−α)=( )
A. sinαB. −sinαC. csαD. −csα
5.如图所示，某市5月1日到10日PM2.5均值(单位：μg/m3)变化的折线图，则该组数据的第54百分位数为( )
A. 45B. 48C. 60D. 80
6.已知平面向量a，b满足a=(1,1)，|b|=2，|a+b|=2，则b在a上的投影向量为( )
A. 12aB. 12bC. −12aD. −12b
7.已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(a+b)sinA+bsinB=csinC，则角C等于( )
A. 30°B. π4C. 60°D. 2π3
8.在平行四边形ABCD中，AF=2FC，则DF=( )
A. −13AB+23AD
B. −23AB+13AD
C. 13AB−23AD
D. 23AB−13AD
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是( )
A. “取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”
B. “取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”
C. “取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”
D. “取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”
10.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期是π，A=2，ω=2，φ=−π3
B. 函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,0),k∈Z
C. 函数f(x)的的图像可由函数y=2cs2x的图像向右平移π3个单位长度得到
D. 函数f(x)的的图像可由函数y=2cs2x的图像向右平移π6个单位长度得到
11.已知向量a=(sinθ,− 3)，b=(1,csθ)，0≤θ≤π，下列说法正确的是( )
A. 若θ=π3，则向量b的一个单位向量是(2 55, 55)
B. 若a⊥b，则csθ=±12
C. 设函数f(θ)=a⋅b，则f(θ)的最大值为2
D. 若|a|= 62|b|，且b在a上的投影向量为− 33a，则a与b的夹角为3π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,−2)，点b=(x−1,4)，若a//b，则x= ______．
13.若tan(α−π4)=3，则tan2α= ______．
14.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为105°，则该弧田的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m2(1+i)+(3i−4)m+2i−5，(m∈R)．
(1)若复数z的实部与虚部之差为0，求m的值；
(2)若复数z的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2c=2bcsA−a．
(1)求角B；
(2)若c=2，△ABC的面积为2 3，求边b．
17.(本小题15分)
已知甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为25，乙成功的概率为13，丙公司独立研发疫苗B，研发成功的概率为35.求：
(1)甲乙都研发成功的概率；
(2)疫苗A研发成功的概率；
(3)疫苗A与疫苗B均研发成功的概率；
(4)仅有一款疫苗研发成功的概率．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sin(12x+π6)．
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈[0,π]时，求f(x)的最大值和最小值．
19.(本小题17分)
2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
(1)求a，b的值；
(2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x−=80，标准差s= 35，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
答案解析
1..B
【解析】解：由题意可得z=3+4i−i=(3+4i)i−i2=−4+3i，
则|z|= (−4)2+32=5．
故选：B．
2..A
【解析】解：因为角α终边上一点的坐标为(−2,3)，
所以csα=−2 (−2)2+32=−2 1313．
故选：A．
3..D
【解析】解：设参加体检的人数是n，
该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是3：2，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，
则35n−25n=60，解得n=300．
故选：D．
4..C
【解析】解：若α是任意实数，
则sin(5π2−α)=csα．
故选：C．
5..A
【解析】解：根据折线图，将数据从小到大排列：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，
因为10×54%=5.4，
则第54百分位数为第6个数据，即为45．
故选：A．
6..C
【解析】解：因为a=(1,1)，|b|=2，|a+b|=2，
所以|a|= 2，a2+2a⋅b+b2=4，
即2+2a⋅b+4=4，解得a⋅b=−1，
则b在a上的投影向量为a⋅b|a|2a=−12a．
故选：C．
7..D
【解析】解：由(a+b)sinA+bsinB=csinC，根据正弦定理得a(a+b)+b2=c2，整理得a2+b2−c2=−ab，
根据余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=−12，结合C∈(0,π)，可得C=2π3．
故选：D．
8..D
【解析】解：DF=DA+AF=−AD+23AC=−AD+23(AB+AD)=23AB−13AD．
故选：D．

【解析】解：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不能同时发生，但可以同时不发生，
故两个事件为互斥非对立事件，故A正确；
“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不能同时发生，但可以同时不发生，
故两个事件为互斥非对立事件，故B正确；
“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”必有一个发生，二者为对立事件，故C错误；
“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可以同时发生，二者不为互斥事件，故D错误．
故选：AB．

【解析】解：由函数图象可得A=2，函数f(x)的最小正周期T=4×(5π12−π6)=π=2πω，
可得ω=2，
由于f(π6)=2cs(2×π6+φ)=2，可得2×π6+φ=2kπ，k∈Z，解得φ=2kπ−π3，k∈Z，
又|φ|<π2，
所以φ=−π3，故A正确；
可得f(x)=2cs(2x−π3)，
令2x−π3=kπ+π2，k∈Z，解得x=12kπ+5π12，k∈Z，故B错误；
函数y=2cs2x的图像向右平移π3个单位长度得到y=2cs2(x−π3)=2cs(2x−2π3)≠f(x)的图象，故C错误；
函数y=2cs2x的图像向右平移π6个单位长度得到y=2cs2(x−π6)=2cs(2x−π3)=f(x)的图象，故D正确．
故选：BC．

【解析】解：对于A，当θ=π3，则b=(1,12)，所以b|b|=(1,12) 52=(2 55, 55)，
所以b的单位向量为(2 55, 55)或(−2 55,− 55)，故A正确；
对于B，因为a=(sinθ,− 3)，b=(1,csθ)，0≤θ≤π，a⊥b，
所以a⋅b=sinθ− 3csθ=0，即tanθ= 3，所以θ=π3，则csθ=12，故B错误；
对于C，f(θ)=a⋅b=sinθ− 3csθ=2sin(θ−π6)，因为0≤θ≤π，所以−π6≤θ−π6≤56π，
则当θ−π6=π2时，f(θ)有最大值2，故C正确；
对于D，因为|a|= 62|b|，且b在a上的投影向量为− 33a，所以a⋅b|a|2a=− 33a，
所以a⋅b|a|2=− 33，即|a||b|cs|a|2= 63cs=− 33，
所以cs=− 22，因为∈[0,π]，所以a与b的夹角为3π4，故D正确．
故选：ACD．
12..−1
【解析】解：∵向量a=(1,−2)，b=(x−1,4)，且a//b，
∴4−(−2)×(x−1)=0，
解得x=−1．
故答案为：−1．

【解析】解：因为tan(α−π4)=3，
所以tanα−11+tanα=3，可得tanα=−2，
则tan2α=2tanα1−tan2α=2×(−2)1−(−2)2=43．
故答案为：43．
14..7π6− 6+ 22(或14π−3 6−3 212)
【解析】解：由题意，可得弧田所在圆的半径为2，圆心角为7π12，
可得扇形的面积为S1=12×7π12×22=7π6，
△AOB的面积为S△AOB=12×2×2×sin7π12=2sin(π6+π4)=2×(12× 22+ 32× 22)= 2+ 62，
所以此弧田的面积为S=S1−S△AOB=7π6− 2+ 62=7π6− 6+ 22(或14π−3 6−3 212).
故答案为：7π6− 6+ 22(或14π−3 6−3 212).
15..解：(1)z=m2(1+i)+(3i−4)m+2i−5=(m2−4m−5)+(m2+3m+2)i，
由复数z的实部与虚部之差为0，
得(m2−4m−5)−(m2+3m+2)=0，
解得m=−1；
(2)∵复数z的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，
∴复数z在复平面内的对应点在第四象限，
于是得m2−4m−5>0m2+3m+2<0，
即m<−1或m>5−2 解得：−2∴实数m的取值范围是(−2,−1)．
【解析】(1)化简复数z，再由已知条件列式求解即可；
(2)由已知条件列出不等式组求解即可．
16..解：(1)由2c=2bcsA−a，根据余弦定理得2c=2b⋅b2+c2−a22bc−a，
整理得a2+c2−b2=−ac，可得csB=a2+c2−b22ac=−12，结合B是三角形内角，可得B=2π3；
(2)由B=2π3，得sinB= 32，
在△ABC中，c=2，所以△ABC的面积S=12acsinB= 32a=2 3，解得a=4，
由余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB=42+22−2×4×2×(−12)=28，所以b=2 7(舍负)．
【解析】(1)根据余弦定理化简题中的等式，整理得到a2+c2−b2=−ac，可得csB=−12，由此计算出角B的大小；
(2)根据三角形的面积公式列式算出边a的大小，进而利用余弦定理求出边b，可得答案．
17..解：(1)用C，D，E分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，由题知C，D，E都相互独立，P(C)=25，P(D)=13，P(E)=35，则：P(C−)=1−P(C)=35，
同理可得：P(D−)=23，P(E−)=25，C，D相互独立，根据概率公式有：P(CD)=P(C)P(D)=25×13=215；
(2)由概率的性质可得：设“疫苗A研发成功”为A事件，则P(A)=1−P(C−D−)=1−P(C−)P(D−)=1−35×23=35；
(3)设“疫苗B研发成功”为B事件，P(B)=P(E)=35，两疫苗A，B的研发相互独立，所以所求概率为P(AB)=P(A)P(B)=35×35=925：
(4)P(B−)=1−P(B)=25，仅有一款疫苗研发成功的概率为P(AB−∪A−B)=P(AB−)+P(A−B)=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)=35×25+25×35=1225．
【解析】可利用相互独立事件概率乘法计算公式逐一求解．
18..解：(1)由题意，知f(x)=2sin(12x+π6)，所以f(x)的最小正周期T=2π12=4π．
12x+π6=kπ+π2，k∈Z，x=2kπ+2π3，k∈Z，则f(x)的对称轴为x=2kπ+2π3，k∈Z；
(2)由2kπ−π2≤12x+π6≤2kπ+π2，得4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3]，k∈Z；
(3)因为0≤x≤π，所以0≤12x≤π2，所以π6≤12x+π6≤2π3，
所以12≤sin(12x+π6)≤1，所以1≤2sin(12x+π6)≤2，所以f(x)的最大值为2，最小值为1．
【解析】根据正弦函数性质逐项可得．
19..解：(1)由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以10a=0.016×10×2，解得a=0.032，
又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，解得b=0.004，
所以a=0.032，b=0.004；
(2)根据题意可得众数为70+802=75；
成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48，
落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88，
设中位数为m，则(m−70)×0.04=0.5−0.48，解得m=70.5；
根据频率分布直方图可得平均数估计为：x−=55×0.16+65×0.32+75×0.4+85×0.08+95×0.04=70.2；
(3)由x−=80，得x1+x2+x3+...+x10=10×80=800，
又s2=110(x12+x22+x32+...+x102)−802= 352，
所以x12+x22+x32+...+x102=64350，
剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为x1，x2，x3，…，x8，
平均数与标准差分别为x0−，s0，
则剩余8个分数的平均数为：x0−=x1+x2+x3+...+x88=800−75−858=80，
方差为：s02=18(x12+x22+x32+...+x82)−802=18(64350−752−852)−802=37.5．
【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，建立方程，即可求解；
(2)根据众数的概念，百分位数的概念，平均数的概念，即可分别求解；
(3)根据平均数与方差的概念．即可求解．