西藏自治区拉萨中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 含答案

这是一份西藏自治区拉萨中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 含答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

拉萨中学高二年级（2023届）第一次月考
数学试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）

第I卷（选择题，共60分）
一、选择题
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为( )

A.10 B.12 C.18 D.20
3.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据：
x/吨
3
4
5
6
y/吨
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为，那么表格中t的值为( )
A．3 B．3.15 C．3.25 D．3.5
4.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高;
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是(   )
A.③④        B.①②        C.②④        D.①③④
5.如图，把一个体积为、表面涂有灰漆的正方体木块锯成64个体积为的小正方体，从中任取一块，则这1块至少有一面涂漆的概率为（ ）

A. B. C. D.
6.是评价空气质量的一个重要指标,我国空气质量的标准采用世卫组织设定的最宽限值,即日均浓度在以下空气质量为一级,在之间空气质量为二级,在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值(单位:)的统计数据,则下列叙述不正确的是( )

A.这10天中有4天空气质量为一级
B.这10天中日均值最高的是11月5日
C.从5日到9日,日均值逐渐降低
D.这10天的日均值的中位数是45
7.已知是第二象限的角，，则（ ）　　
A． B． C． D．
8.如图,在山脚A处测得山顶P的仰角为,沿倾斜角为的斜坡向上走到B,在B处测得山顶P的仰角为,则山高( )

A. B. C. D.
9.在中，角的对边分别为，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
10.执行如图所示的程序框图,如果输入,那么输出的的值为(   )

A.2           B.3           C.4           D.5
11.祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家,其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位,比欧洲早了近千年.为探究圆周率的计算,数学兴趣小组采用以下模型,在正三角形中随机撒一把豆子,用随机模拟的方法估算圆周率的值.正三角形的边长为4,若总豆子数,其中落在圆内的豆子数,则估算圆周率的值是(为方便计算取1.70,结果精确到0.01)( )

A.3.13 B.3.14 C.3.15 D.3.16
12.已知函数的最大值、最小值分别为3和，关于函数有如下四个结论：
①；
②函数的图象C关于直线对称；
③函数的图象C关于直线对称；
④函数在区间内是减函数.
其中，正确的结论个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题
13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812　458　569　683　
431　257　393　027　556　488　730　113　537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_________________________.
14.已知均为单位向量，且，则夹角的余弦值为______________
15.在中，，且，则外接圆的面积为______.
16.已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②存在，使得有一个零点；
③存在，使得有三个零点；
④存在，使得有三个零点.
以上正确结论的序号是__________.
三、解答题
17.（本小题满分10分）已知圆C的圆心在直线上，圆C经过点，.
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l过点且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程.


18.（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，的周长为，求的面积.


19.（本小题满分12分）珠海国际赛车场（简称ZIC）位于珠海经济特区金鼎镇。创建于1996年，是中国国内第一座符合国际汽车联盟一级方程式标准的国际级赛车场。目前该赛事已打造成集赛车竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年参会人数（万人）与所需环保车辆数量（辆），得到如下统计表：
参会人数（万人）
11
9
8
10
12
所需环保车辆（辆）
28
23
20
25
29
（1）根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程．
（2）已知租用的环保车平均每辆的使用成本费用（元）与数量（辆）的关系为
，主办方根据实际参会人数投入所需环保车，租车每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次赛车会大约有14万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？
（注：利润主办方支付费用－使用成本费用C）．
参考公式：


20.（本小题满分12分）为如图所示，的内角所对的边分别是，已知，，，M为线段上一点．

（1）若，求的长；
（2）若，求的面积．
21.（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面是直角梯形，，，．

（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为，求四棱柱的侧面积．



22.（本小题满分12分）为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：


第一档
第二档
第三档
每户每月用电量（单位：度）



电价（单位：元/度）
0.61
0.66
0.91
例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准应交电费元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元.
为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88,268，370,140,440,420,520,320,230,380.
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①




②




③




④




⑤




⑥




合计




（1）完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；

（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）设某用户11月用电量为度，按照合表电价收费标准应交元，按照阶梯电价收费标准应交元，请用x表示和，并求当时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？

拉萨中学高二年级（2023届）第一次月考
数学试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）

第I卷（选择题，共60分）
一、选择题
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为，，所以，又，所以，故选C.
2.某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为( )

A.10 B.12 C.18 D.20
答案：B
解析：
3.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据：
x/吨
3
4
5
6
y/吨
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为，那么表格中t的值为( )
A．3 B．3.15 C．3.25 D．3.5
答案：A
解析：由表中数据得，.因为回归直线过点，所以，解得
4.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高;
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是(   )
A.③④        B.①②        C.②④        D.①③④
答案：A
解析：由茎叶图知甲同学的成绩为,易得甲同学成绩的中位数为;乙同学的成绩为,易得乙同学成绩的中位数为,故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数,①说法错误;甲同学的平均分为,乙同学的平均分为,故甲同学的平均分比乙同学的平均分低②说法错误;③说法正确:甲同学成绩的方差为,乙同学成绩的方差为,故甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差,④说法正确。所以说法正确的是③④,选A.
5.如图，把一个体积为、表面涂有灰漆的正方体木块锯成64个体积为的小正方体，从中任取一块，则这1块至少有一面涂漆的概率为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：小正方体中一面涂色的有块，
两面涂色的有块，
三面涂色的有8块，
∴至少有一面涂漆的小正方体有56块，
∴从中任取一块，则这1块至少有一面涂漆的概率为，
故选：C．
6.是评价空气质量的一个重要指标,我国空气质量的标准采用世卫组织设定的最宽限值,即日均浓度在以下空气质量为一级,在之间空气质量为二级,在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值(单位:)的统计数据,则下列叙述不正确的是( )

A.这10天中有4天空气质量为一级
B.这10天中日均值最高的是11月5日
C.从5日到9日,日均值逐渐降低
D.这10天的日均值的中位数是45
答案：D
解析：由图知空气质量为一级的有11月日，共4天，所以A正确；11月5日的日均浓度值为82,是10天中最高的，所以B正确；11月日的日均浓度值分别为逐渐降低，所以C正确;这10天的日均浓度值的中位数为所以D不正确，故选D.
7.已知是第二象限的角，，则（ ）　　
A． B． C． D．
答案：A
解析：
8.如图,在山脚A处测得山顶P的仰角为,沿倾斜角为的斜坡向上走到B,在B处测得山顶P的仰角为,则山高( )

A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意知，，在中，,，故选A.
9.在中，角的对边分别为，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
答案：D
解析：
10.执行如图所示的程序框图,如果输入,那么输出的的值为(   )

A.2           B.3           C.4           D.5
答案：B
解析：由题意知

这时,故输出.选B.
11.祖冲之是中国南北朝时期的著名的数学家,其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位,比欧洲早了近千年.为探究圆周率的计算,数学兴趣小组采用以下模型,在正三角形中随机撒一把豆子,用随机模拟的方法估算圆周率的值.正三角形的边长为4,若总豆子数,其中落在圆内的豆子数,则估算圆周率的值是(为方便计算取1.70,结果精确到0.01)( )

A.3.13 B.3.14 C.3.15 D.3.16
答案：C
解析：由题意可得, ,内切圆的半径内,
则,.故选：C.
12.已知函数的最大值、最小值分别为3和，关于函数有如下四个结论：
①；
②函数的图象C关于直线对称；
③函数的图象C关于直线对称；
④函数在区间内是减函数.
其中，正确的结论个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：∵函数的最大值、最小值分别为3和，
，故①正确；
由①得，
当时，，
∴函数的图象C关于直线对称，故②正确；
当时，，，
∴函数的图象C关于点对称，故③错误；
当时，为减函数，
在区间内是减函数，故④正确.

二、填空题
13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907　966　191　925　271　932　812　458　569　683　
431　257　393　027　556　488　730　113　537　989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_________________________.
答案：0.25
解析：20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191，271，932，812，393，其频率为，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.
14.已知均为单位向量，且，则夹角的余弦值为______________
答案：
解析：由得
15.在中，，且，则外接圆的面积为______.
答案：
解析： ，
，
即.
由正弦定理得，
由余弦定理得，所以，
，则，
设的外接圆半径为，则，则,
则外接圆的面积为：，
故答案为：.
16.已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②存在，使得有一个零点；
③存在，使得有三个零点；
④存在，使得有三个零点.
以上正确结论的序号是__________.
答案：①②④
解析：零点问题.转化成两个函数的交点来分析.
令，可转化成两个函数，的交点问题.对于①，当时，，有两个交点，①正确；对于②，存在，使与相切，有一个交点，②正确；对于③，若，与最多有2个交点，③错误；对于④，当时，过点存在函数的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确.故答案为①②④.
三、解答题
17.（本小题满分10分）已知圆C的圆心在直线上，圆C经过点，.
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线l过点且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程.
答案：（1）设圆心为C，则C应在AB的中垂线上，其方程为，
由即圆心C的坐标为，
又半径，故圆C的标准方程为.
（2）点在圆上，且弦长为，故应有两条直线符合题意，
此时圆心到直线l的距离.
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时圆心到直线l的距离为1，符合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为，
整理为，则圆心到直线l的距离为，解得，所以直线l的方程为.
综上①②，所求直线l的方程为或.
18.（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，的周长为，求的面积.
答案：（1）由 以及正弦定理，
，
因为，故
故，
而，因此
因为，所以
（2）由，以及余弦定理：
知，又，故，
由于的周长为
故，
故，，，，故
因此的面积为

19.（本小题满分12分）珠海国际赛车场（简称ZIC）位于珠海经济特区金鼎镇。创建于1996年，是中国国内第一座符合国际汽车联盟一级方程式标准的国际级赛车场。目前该赛事已打造成集赛车竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年参会人数（万人）与所需环保车辆数量（辆），得到如下统计表：
参会人数（万人）
11
9
8
10
12
所需环保车辆（辆）
28
23
20
25
29
（1）根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程．
（2）已知租用的环保车平均每辆的使用成本费用（元）与数量（辆）的关系为
，主办方根据实际参会人数投入所需环保车，租车每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次赛车会大约有14万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？
（注：利润主办方支付费用－使用成本费用C）．
参考公式：
答案：（1）


关于的线性回归方程
（2）将代入得
为确保完成任务，需要租用35辆环保车，
所以
获得的利润元

20.（本小题满分12分）为如图所示，的内角所对的边分别是，已知，，，M为线段上一点．

（1）若，求的长；
（2）若，求的面积．
答案：解:（1）在中，因为，，
由余弦定理
所以
因为，所以
在中，由正弦定理，即
所以．
（2）取的中点H，因为，所以
因为，所以，所以，所以

所以．

21.（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面是直角梯形，，，．

（1）证明：平面；
（2）若四棱锥的体积为，求四棱柱的侧面积．
答案：（1）证明：侧棱平面，，，
又，，平面，平面，
平面，
而平面，，
又，，四边形是正方形，则，
又，平面，平面，
平面；
（2）解：记与 的交点为，平面，
又，，．
设，则．
解得：，即．
．
四棱柱的侧面积．


22.（本小题满分12分）为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：


第一档
第二档
第三档
每户每月用电量（单位：度）



电价（单位：元/度）
0.61
0.66
0.91
例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准应交电费元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元.
为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88,268，370,140,440,420,520,320,230,380.
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①




②




③




④




⑤




⑥




合计




（1）完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；

（2）根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）设某用户11月用电量为度，按照合表电价收费标准应交元，按照阶梯电价收费标准应交元，请用x表示和，并求当时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？
答案：（1）频率分布表如下：
组别
月用电量
频数
频率
①

4
0.04
②

12
0.12
③

24
0.24
④

30
0.3
⑤

26
0.26
⑥

4
0.04
合计

100
1
频率分布直方图如下：

（2）该100户用户11月的平均用电量：
度，
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.
（3），

由，得或
或
解得，
因为，所以x的最大值为423.
根据频率分布直方图，时的频率为：
，
故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠.