2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
其否定为，.
故选：A
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先解绝对值不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据集合的补集、并集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
由，即，所以，解得，
所以，则，
所以.
故选：D
3．已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求出的定义域，再列出不等式组解出即可.
【详解】因为，所以，所以的定义域为，
所以，解得，则的定义域是，
故选：C.
4．通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（的单位：年），其中为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】利用列方程，结合对数运算求得.
【详解】根据题意，所以，所以，
所以，得.
故选：C.
5．设函数，则等于（ ）
A．B．1C．D．10
【答案】A
【分析】赋值和即可得到方程组，解出即可.
【详解】令得①，
令得②，
联立①②得，
故选：A.
6．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先确定定义域，舍去B;再根据单调性舍去CD，即可得结果.
【详解】,所以舍B;
当时,单调递增，所以舍去CD，
故选：A
【点睛】本题考查根据函数解析式选择图象、函数定义域、函数单调性，考查基本分析识别能力，属基础题.
7．函数在单调递增，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，根据对数型复合函数单调性，列不等式组，再由在上恒成立，求出的取值范围即可.
【详解】设，则，
因为开口向上， 函数在单调递增，
所以在上单调递增，单调递增，
所以，解得，
又在上恒成立，所以，所以，
综上可得，.
故选：C
8．已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（ ）
A．2023B．2024C．4046D．4047
【答案】D
【分析】根据幂函数与二次函数定义得到，再构造函数，根据其奇偶性即可得到答案.
【详解】函数既是二次函数又是幂函数，∴，∴为偶函数；
因为函数是R上的奇函数，
所以为定义域R上的奇函数；
，
.
故选：D.
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”充要条件
B．“且”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】BC
【分析】根据不等式性质、充分条件和必要条件的判断依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，由得：，则当时，无意义，
充分性不成立，A错误；
对于B，当且时，成立，充分性成立；
若，，成立，此时且不成立，必要性不成立；
“且”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于C，当时，或，充分性不成立；
当时，成立，必要性成立；
“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，当时，，，充分性成立，D错误.
故选：BC.
10．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性进行比较大小即可.
【详解】因为，
易知，
而，
所以，且，则A正确，B错误，C正确，
，，
比较与的大小关系，，，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．下列关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．在上单调递减
C．的值域为D．的值域为
【答案】ABD
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A；去绝对值分离常数可得函数的单调性即可判断B；根据单调性与奇偶性可判断C、D.
【详解】由题意,为偶函数，选项A正确．
当时，为单调递减函数，选项B正确．
当时，为单调递减函数，则，
因为函数为偶函数，当时，，选项D正确，C不正确．
故选：ABD．
12．有一种附中精神叫“平民本色，精英气质”.若函数满足对任意，都有，则称为“精英”函数.下列选项正确的是（ ）
A．，为“精英”函数
B．若为“精英”函数，则，其中且
C．若为“精英”函数，则且，有
D．，，则为“精英”函数
【答案】ABD
【分析】根据“精英”函数的定义结合函数单调性的判断一一分析即可.
【详解】对A，因为，
所以
，
故，故是“精英”函数，A正确；
对B，因为为“精英”函数，故，即，
，故，
同理可得，……，，其中且，B正确；
对C，若且，有，则单调递增，
而举例，满足，
即，为“精英”函数，但在上单调递减，故C错误；
对D，，，即，
则在上单调递减，
任取，，
则，
即，
变形为，
两式相加得：，
因为，所以，
则为“精英”函数，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．若函数，则 .
【答案】8
【分析】直接代入即可得到答案.
【详解】.
故答案为：8.
14．已知，，且，则的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据基本不等式，结合“1”的代换，可求得的最小值．
【详解】因为，，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：16.
15．已知奇函数的定义域为.若为偶函数，则 .
【答案】
【分析】根据奇偶函数的性质推出函数的周期及，从而得解.
【详解】奇函数的定义域为，则且，
又为偶函数，所以，即，
即，所以，
即是以为周期的周期函数，则.
故答案为：
16．已知，若对恒成立，则实数 .
【答案】
【分析】分情况讨论当时，可得，当时，可得，即求.
【详解】当，即时，，
又，故，则恒成立，
所以，解得；
当，即时，，故，即恒成立，
∴，解得；
综上，实数.
故答案为：.
四、解答题
17．求下列各式的值.
(1)（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示.）
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化以及指数幂的运算法则进行求解；
（2）利用指数的运算法则、对数恒等式以及对数的运算法则进行求解.
【详解】（1）原式
（2）原式
18．已知函数是定义在上的偶函数，当时，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数定义直接可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号，再考虑到定义域即可求出的范围．
【详解】（1）设，则，，
由为偶函数有，
故.
（2）当时，
因为对称轴为，则此时为单调递增函数，
由偶函数可知在上为减函数，
又因为，
所以，
故有，即，
故.
19．已知集合，.
(1)求集合；
(2)已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将含对数的不等式转化为整式不等式求解即可；
（2）求出，分，，讨论，通过集合的包含关系列式计算即可.
【详解】（1）集合中不等式即，
也即
令，得，解得，
即，得，
故.
（2）因为是的充分不必要条件，所以，
又由得，即，即，
当，即时，，
此时必有；
当，即时，
此时必有；
当，即时，，
，
，即，，
综上所述：.
20．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
【答案】(1)
(2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）根据题意得，
当时，，
当时，，
故
（2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减，
此时．
当时，，当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片．
21．已知函数.
(1)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义进行证明；
(2)函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增，证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）作差变形因式分解再利用指数函数单调性判断符号即可；
（2）转化为两函数的值域之间的包含关系即可.
【详解】（1）函数在上单调递增，
证明：任取，则
，
因为指数函数在上单调递增，所以，
又因为，所以，即，
所以在上单调递增.
（2），，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，设的值域为，则，
设，，设的值域为，
由题意得，
当时，，显然不合题意，舍去，
当时，根据（1）中结论知在上单调递增，
此时，，
值域，
则有，解得，
当时，根据（1）中结论知在上单调递减，
此时值域，
则有，解得，
综上所述，或.
22．已知函数（且）
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在，使得在区间上的值域是，若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据对数函数的性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域；
（2）根据对数函数性质求得在上的最大值，由求解即可；
（3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在上有两个不相等的实根，由一元二次方程根的分布求解即可.
【详解】（1）当时，的定义域为，
由，
所以由知，，
化简得：，即，解得：，且，
所以不等式的解集为.
（2）对于任意，都有，等价于，
因为，
且，设，，
则在上单调递增，下面按照的单调性分类讨论：
当时，在上单调递减，则，
解得：，
当时，在上单调递增，则，
解得：，与矛盾，故舍去.
综上：
（3）由（2）知，，所以在上单调递减，
所以，即，
即关于的方程在上有两个不相等的实根，
设，
则，即，
所以，
综上：不存在这样的满足条件.