2023-2024学年河北省石家庄二中教育集团高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄二中教育集团高一上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据集合的运算法则计算可得.
【详解】由，即，等价于，解得或，
所以，
所以，又，所以.
故选：B
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用抽象函数的定义域求解.
【详解】解：因为函数的定义域为，
所以，解得或，
所以函数的定义域为，
故选：C
3．“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合的单调性解出a的取值范围，进而根据充分条件与必要条件的定义进行判断.
【详解】时，在上单调递减，不合题意；
时，因为在上单调递增，
所以有，解得.
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知函数（，）.若，则（ ）
A．4B．3C．2D．
【答案】D
【分析】构造新函数，用奇偶性即可求解.
【详解】由题知是奇函数，
故
故
故答案为：.
5．已知函数，且函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数是偶函数，可得图象关于直线对称，再根据二次函数的对称性求解即可.
【详解】函数是偶函数，所以的图象关于轴对称，
所以图象关于直线对称，
所以，所以.
故选：B
6．已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的定义和判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数是上的减函数，则满足，
解得，即实数的取值范围为.
故选：C.
7．已知函数是定义在上的偶函数，，，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，依题意可得在上单调递减，则在上单调递增，根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得，
又，，当时，，
所以在上单调递减，则在上单调递增，
不等式即，等价于，解得，
所以不等式的解集是.
故选：C
8．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在定义域内单调递增，若对所有的均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据奇偶性将不等式变形为，然后根据函数单调性将函数值关系转变为自变量的关系，分离参数求解出的取值范围.
【详解】因为，且为奇函数，
所以，
又因为函数在上为增函数，所以对恒成立，
所以对恒成立，
令，令，则，
易知在单调递增.
故，由于，所以.
故选：B.
二、多选题
9．已知，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质判断A、D，利用作差法判断B、C.
【详解】对于选项A，因为，所以，故A正确；
对于选项B，，
因为，所以，
所以，
即，故B正确；
对于选项C，，所以，故C错误；
对于选项D，因为，所以，故D错误.
故选：AB
10．下列结论不正确的是（ ）
A．若函数为奇函数，则的图象关于点中心对称
B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C．内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件
D．幂函数的图象经过点，若，则
【答案】ABC
【分析】函数奇函数的性质及函数图象的变换判断A，利用特殊值判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，首先求出幂函数解析式，再利用分析法证明D.
【详解】对于A：因为函数为奇函数，所以关于对称，
又将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的图象，
所以关于对称，故A错误；
对于B：当时关于的不等式恒成立，故B错误；
对于C：由可以推出是直角三角形，故充分性成立，
由是直角三角形不一定得到，如为直角则，故必要性不成立，故C错误；
对于D：设，则，解得，所以，
对于，要证明不等式，
只需证明，即证，
即证，故只需证明，此不等式显然成立，
所以，即D正确；
故选：ABC
11．已知关于的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为8D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据一元二次方程的根与系数关系以及基本不等式的应用对各个选项逐个判断即可.
【详解】由不等式（，）的解集为，
可得，且方程(的两根为和，
所以解得，，
所以，所以A正确；
因为，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为9，所以C错误；
，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ABD.
12．已知函数定义域为，且，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．函数在上递减
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据抽象函数运算、函数的对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，，
，所以关于点对称，
A选项，若，则，
即是奇函数，关于原点对称，该性质由题设无法得到，所以A选项错误.
由，得：
，
所以关于直线对称，
B选项，由于在上递增，所以在上递减，B选项正确.
C选项，若，则，即，
所以，C选项正确.
D选项，若，则，即，
两边平方得，所以D选项正确.
故选：BCD
【点睛】求解抽象函数不等式，本质隶属于函数性质的综合应用类型，其中最基本的考查内容包括定义域、单调性，还可以结合函数的奇偶性等等，有时还会用到构造函数法.确定函数的单调性后，就可以去掉函数符号，从而求得不等式的解.
三、填空题
13．全称量词命题“”的否定是 .
【答案】，
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得解；
【详解】全称量词命题“”的否定为，.
故答案为：，
14．当时，函数的最小值为 .
【答案】7
【分析】令，所以，，利用函数的单调性求解.
【详解】因为，，
令，所以，，
设且，
，
∵且，∴，则，
可得在上单调递增，
∴当，即时，取最小值7.
故答案为：7.
15．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将不等式在区间上有解，转化为在区间上有解求解.
【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
令在区间上递减，
所以，
所以，
故答案为：
16．若是定义在上的奇函数，且.若对任意的两个不相等的正数，，都有，则的解集为 .
【答案】
【分析】按题意构造新函数即可求解.
【详解】设，则即
由知在上递减
又，所以时的解集为
又由知是上的偶函数
所以时的解集为
综上，的解集为，此即的解集
故答案为：
四、解答题
17．已知关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为.
(1)求解集；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集；
（2）首先解一元二次不等式求出集合，依题意可得，结合（1）可得且，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得.
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
（2）由，即，即，
解得，所以，
因为是的必要条件，所以，
当时显然不成立，所以且，所以，
综上的取值范围.
18．已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，试确定实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，依题意可得且，求出、的值，即可得解；
（2）依题意可得对任意的恒成立，令，，结合二次函数的性质求出，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）设，
∵，∴，又，
∴，
∴，
∴，∴，∴；
（2）当时，的图象恒在图象下方，
∴时，恒成立，即恒成立，
令，，对称轴为，故函数在上单调递减，
所以当时，，
故只要，即，所以实数的范围.
19．函数是定义在上的奇函数，已知当时，；
(1)求函数的解析式并画出函数图象，根据图像写出函数的单调增区间；
(2)若方程有3个相异的实数根，求实数的取值集合；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)见解析
(2)或或；
(3)或；
【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解析式，从而可得函数的图象，利用图象即可得单调增区间；
（2）问题转化为函数与的图象有3个交点，结合图象即可求解；
（3）对分类讨论，求出不等式的解集，再求并集即可
【详解】（1）当时，，
令，则，
则，
又函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
又，
所以函数的解析式为，
作出函数的图象如下：
由图象可知：函数的单调增区间为和；
（2）若方程有3个相异的实数根，
则函数与的图象有3个交点，
由图象可知或或，
所以实数的取值集合是或或；
（3）当时，不等式即为，
即，解得；
当时，不等式即为，显然不成立；
当时，不等式即为，
即，解得；
综上，不等式的解集为或；
20．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数.
(1)求和的值；
(2)求满足的的取值范围.
【答案】(1)或1，
(2)或
【分析】（1）按题意列方程即可求解.
（2）由函数的单调性即可求解.
【详解】（1）∵幂函数，∴，解得或1，
又因为幂函数在上是减函数，∴，解得，
∵，∴或，又因为幂函数图象关于轴对称，
当时，，图象关于轴对称，符合题意；
当时，，图象关于原点对称，不合题意，
综上，或1，；
（2）由（1）可得，∴原不等式可化为
而函数在和上分别为减函数，
所以不等式可化为：或或，
解得或.
21．某手机生产企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)2023年产量为100（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为7000万元
【分析】（1）根据题意先得到每生产（千部）手机的投入成本，再由利润＝销售额－成本求解；
（2）根据（1）的结果，分，，分别利用二次函数和基本不等式求解.
【详解】（1）解：由题意知：每生产（千部）手机，
投入的成本，
∴，
即；
（2）当时，，
∴当时，；
当时，
（当且仅当，即时取等号），∴；
综上：2023年产量为100（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为7000万元.
22．设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.
(1)证明：函数的图象关于点对称；
(2)已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据对称中心的定义，证明：对任意的，都有成立，即可得结论；
（2）由题意，对任意的，总存在，使得成立，则．根据函数的单调性可知，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数的最大值，进而求出答案.
【详解】（1）∵，∴.
∴.
即对任意的，都有成立.
∴函数的图像关于点对称；
（2）若对任意的，总存在，使得成立，则.
∵，易知在上单调递增，∴．
∵时，，
∴，即函数的图象过对称中心.
当，即时，函数在上单调递增.
由对称性知，在上单调递增，∴函数在上单调递增.
∴，∴，又，则，
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.
由对称性，知在上单调递增，在上单调递减.
∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
∴或.
∵，∴，
易知，即时符合条件.
当，即时，函数在上单调递减.
由对称性，知在上单调递减，∴函数在上单调递减.
∴，∴，又，则，
综上，实数的取值范围为.