黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

哈师大附中2021级高一上学期期末考试

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则集合＝（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的求解方法求得集合M、N，再由集合的交集运算可得选项．

【详解】解：由得，解得或，所以集合，

由得，解得，所以集合，

所以，

故选：B．

2. 下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.

【详解】对于A：为奇函数且在上单调递增，满足题意；

对于B：为非奇非偶函数，不合题意；

对于C：为非奇非偶函数，不合题意；

对于D：在整个定义域内不具有单调性，不合题意.

故选：A.

3. 下列有关命题的说法错误的是（    ）

A. 的增区间为

B. “”是“-4x+3=0”的充分不必要条件

C. 若集合中只有两个子集，则

D. 对于命题p：.存在，使得，则p：任意，均有

【答案】C

【解析】

【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程有一根判断；D.由命题p的否定为全称量词命题判断.

【详解】A.令，由，解得，

由二次函数的性质知：t在上递增，在上递减，又在上递增，由复合函数的单调性知：在上递增，故正确；

B. 当时，-4x+3=0成立，故充分，当-4x+3=0成立时，解得或，故不必要，故正确；

C.若集合中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程有一根，当时，，当时，，解得，所以或，故错误；

D.因为命题p：.存在，使得是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即p任意，均有，故正确；

故选：C

4. 函数的零点所在的一个区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由零点的存在性定理求解即可

【详解】∵，，

，，

根据零点的存在性定理知，

函数的零点所在区间为．

故选：B

5. “”是“为锐角”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为为锐角，所以，所以，所以“”是“为锐角”的必要条件；

反之，当时，，但是不是锐角，所以“”是“为锐角”的非充分条件.

故“”是“为锐角”必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题.

6. 玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可.

【详解】如图，设，，由弧长公式可得解得，，设扇形，扇形的面积分别为，则该壁画的扇面面积约为

.

故选：.

7. 已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边上有一点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函数定义列式，计算，再由所给条件判断得解.

【详解】由题意知，故，又，

∴.

故选：B

8. 若，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数的运算性质以及指数函数和对数函数的单调性即可判断．

【详解】因为，而函数在定义域上递增，，所以．

故选：D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列四个命题正确的有（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若且，则角为第二或第四象限角

D. 函数是周期函数，最小正周期是

【答案】ACD

【解析】

【分析】由不等式的性质可以判断A,B；对C先判断的象限，再判断的象限；对D，作出函数的图象，再由图象进行判断．

【详解】解：A．，，又，，故选项A正确；

B．当时，满足，但不能得到，故选项B错误；

C．且，为第四象限角，所以,所以， 为第二或第四象限角，故选项C正确；

D．作出的图象如图所示，由图象可得此函数为周期函数且最小正周期为，故选项D正确；

故选：ACD．

10. 下列函数中，最小值为4的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据均值不等式成立的条件可判断ABC，根据可取负值判断B即可.

【详解】对于A,由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确；

对于B, 由时，显然，故B不正确；

对于C, 由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，故4不是最小值，故C错误；

 对于D，由均值不等式，当且仅当，即时，等号成立, 故D正确.

故选：AD

11. 下列关于函数的说法正确的是（    ）

A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是

C. 图象关于点成中心对称 D. 图象关于直线成轴对称

【答案】BC

【解析】

【分析】

由函数式可化为，结合正切函数的性质有函数在上递减，最小正周期为，关于点成中心对称，无对称轴，即可判断选项的正误.

【详解】，

令，得，

∴时，，所以在上单调递减，A错误.

由上知：最小正周期为，B正确.

当时有，所以关于点成中心对称，C正确.

由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：应用正切函数的性质确定单调性及其区间，最小正周期，对称中心，进而判断选项的正误.

12. 设函数，集合，则下列命题正确的是（    ）

A. 当时，

B. 当时

C. 若，则k的取值范围为

D 若（其中），则

【答案】ABD

【解析】

【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.

【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；

B：时，方程无解，则，正确；

由解析式可得其函数图象如下图示：

令，开口向上且对称轴为，

若，则，即，有以下情况：

1、，：

此时，令，则在上有一个零点，

∴，可得，

2、，，由A知：.

综上：，故C错误；

若，由函数的性质及图象知：必有，.

此时，，，

所以，，所以，故D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知sin α＋cos α＝，α∈(－π，0)，则tan α＝________.

【答案】.

【解析】

【分析】

由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得和的值，可得的值.

【详解】因为sin α＋cos α＝，①  所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，

即2sin αcos α＝.  因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，

所以sin α－cos α＝，

与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝－，cos α＝，

所以tan α＝.

故答案为：.

【点睛】该题考查是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程中，注意这三个式子是知一求二，属于简单题目.

14. 函数的定义域为______.

【答案】

【解析】

【分析】解余弦不等式，即可得出其定义域.

【详解】由对数函数的定义知即，

∴，

∴函数的定义域为。

故答案为：

15. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________

【答案】

【解析】

【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.

【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，

又，

为上偶函数；

当时，单调递增，

设，，

在上单调递增，在上单调递增，

在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；

由可知，解得．

故答案为：.

【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：

（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；

（2）单调性：将函数值大小关系转化为自变量之间的大小关系.

16. 已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是_________．

【答案】，．

【解析】

【分析】作出当，时，的图象，将其图象分别向左、向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的或2倍），得到函数的图象，令，求得的最大值，可得所求范围．

【详解】解：因为满足，即；

又由，可得，

画出当，时，的图象，

将在，的图象向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），

再向左平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的倍），

由此得到函数的图象如图：

当，时，，，，

又，所以，

令，由图像可得，则，解得，

所以当时，满足对任意的，，都有，

故的范围为，．

故答案为：，．

17. 化简求值．

（1）化简．

（2）已知：，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式化简即可；

（2）先进行弦化切，把代入即可求解.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

因为，所以.

所以.

又，所以.

18. 已知非空集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据集合的运算法则计算；

（2）根据充分不必要条件的定义求解．

【小问1详解】

由已知，或，

所以或＝；

【小问2详解】

“”是“”的充分不必要条件，则，解得，

所以的范围是．

19. 函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．

（1）求函数的解析式；

（2）设，且，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数的最值求出，由相邻两条对称轴之间的距离为，确定函数的周期，进而求出值；

（2）由，求出，利用诱导公式结合的范围求出，的值，即可求出结论.

【小问1详解】

函数的最大值为5，所以A+1＝5，即A＝4．

∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

∴最小正周期T＝π，∴ω＝2．

故函数的解析式为.

【小问2详解】

，则

由，则，所以

 所以

20. 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．

（1）求森林面积的年增长率；

（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）

【答案】（1）；   

（2）5年；    （3）17年.

【解析】

【分析】（1）设森林面积的年增长率为，则，解出，即可求解；

（2）设该地已经植树造林年，则，解出的值，即可求解；

（3）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，再结合对数函数的公式，即可求解.

【小问1详解】

解：设森林面积的年增长率为，则，解得．

【小问2详解】

解：设该地已经植树造林年，则，

，解得，

故该地已经植树造林5年．

【小问3详解】

解：设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，

则，，

，

，即取17，

故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林17年．

21. 已知函数．

（1）利用五点法画函数在区间上的图象．

（2）已知函数，若函数的最小正周期为，求的值域和单调递增区间；

（3）若方程在上有根，求的取值范围．

【答案】（1）    （2）的值域为，单调递增区间为；   

（3）

【解析】

【分析】（1）取特殊点，列表，描点，连线，画出函数图象；（2）化简得到的解析式，进而求出值域，整体法求解单调递增区间；（3）整体法先得到，换元后得到在上有根，进而求出的取值范围.

【小问1详解】

作出表格如下：

在平面直角坐标系中标出以下五点，，，，，，用平滑的曲线连接起来，就是函数在区间上的图象，如下图：

【小问2详解】

，其中，由题意得：，解得：，故，故的值域为，令，解得：，所以的单调递增区间为：

【小问3详解】

因为，所以，则，令，则，所以方程在上有根等价于在上有根，因为，所以，解得：，故的取值范围是.

22. 对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．

（1）若，，则与在区间上是否“友好”；

（2）现在有两个函数与，给定区间．

①若与在区间上都有意义，求的取值范围；

②讨论函数与与在区间上是否“友好”．

【答案】（1）是；（2）①；②见解析

【解析】

【分析】（1）按照定义，只需判断在区间上是否恒成立；

（2）①由题意解不等式组即可；②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，即，即，只需求出函数在区间上的最值，解不等式组即可.

【详解】（1）由已知，，因为时，

，所以恒成立，故

与在区间上是“友好”的.

（2）①与在区间上都有意义，

则必须满足，解得，又且，

所以的取值范围为.

②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”，

则，即，

因为，则，，所以在的右侧，

又复合函数的单调性可得在区间上为减函数，

从而，，

所以，解得，

所以当时，与与在区间上是“友好”的；

当时，与与在区间上是“不友好”的.

【点睛】本题考查函数的新定义问题，主要涉及到不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.