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2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定，再计算补集得到答案.
【详解】，故.
故选：C
2．若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出函数代入点坐标得到，再计算反函数得到答案.
【详解】设，函数过，即，即，，
它的反函数的解析式为.
故选：A
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，根据解的范围大小得到答案.
【详解】，则；，则，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】取可排除A；取可排除B；取可排除D；由可知，然后两边同乘以，可判断C.
【详解】A选项：若，，则，A错误；
B选项：取，则，B错误；
C选项：若，则，所以，即，C正确；
D选项：取，满足，但，D错误.
故选：C
5．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案
【详解】解：因为，所以
因为
所以，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为6，
故选：C
6．心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量，其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词，则该学生在从能记忆的单词个数为（ ）
A．150B．128C．122D．61
【答案】C
【分析】根据已知可求出，再代入即可求出.
【详解】由题可得，则，
所以，
即该学生在从能记忆的单词个数为122.
故选：C.
7．已知函数的定义域为，满足，当，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得函数的图象关于对称，且在上是减函数，根据函数的对称性的单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以函数的图象关于对称，
因为当，且时，恒成立，
所以函数在上是减函数，
又，，且，
所以.
故选：D.
8．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【分析】若存在，使得成立，则说明在上不单调，分，和三种情况讨论求解.
【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调，
当时，，图象如图，满足题意；
当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意；
当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即.
综上，.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出在上不单调是解题的关键.
二、多选题
9．下列大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】对选项A：函数单调递增，故，错误；
对选项B：函数在上单调递增，故，正确；
对选项C：函数单调递减，故，错误；
对选项D：，，故，正确；
故选：BD
10．下列函数中，最小值为的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】取，可判断A选项；利用基本不等式可判断BC选项；利用函数单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，A不满足；
对于B选项，因为，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，B满足；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
但，等号不成立，即的最小值不是，C不满足；
对于D选项，因为函数的定义域为，
且函数在上单调递增，故，D满足.
故选：BD.
11．以下计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用对数的运算法则依次计算即可.
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：，
正确；
故选：BCD
12．以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ）
A．，
B．不等式的解集为
C．当，的最小值为
D．方程的解集为
【答案】AB
【分析】设的整数部分为，小数部分为，则，则得到A正确，解不等式得到，计算B正确，均值不等式等号条件不成立，C错误，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：设的整数部分为，小数部分为，则，
的整数部分为，，故，正确；
对选项B：，则，故，正确；
对选项C：，
当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误；
对选项D：取，则，代入验证成立，错误；
故选：AB
三、填空题
13．已知函数（且），则必过的定点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数的性质，即可求解.
【详解】不论（且）为何值，当时，，
所以函数必过的定点的坐标为.
故答案为：
14．已知函数为上的奇函数，则 ．
【答案】/
【分析】根据得到，再根据计算得到答案.
【详解】函数为上的奇函数，故，，
.
故答案为：
15．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出函数和的图像，根据图像知且，解得答案.
【详解】，画出函数和的图像，如图所示：
不等式恰有一个整数解，则这个整数解为，
故且，解得.
故答案为：
四、双空题
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ．
（2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ．
【答案】
【分析】（1）将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标.
（2）利用结论进行分析，得到的对称中心为，再根据恒过点，得到点为两个函数图像交点的中点，利用中点坐标公式计算推出的值.
【详解】（1）设点为函数图象的对称中心，
令，则为奇函数，
所以，即，
可得，，
所以，解得，
所以函数的对称中心为.
故答案为：
（2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数，所以，即，
所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为，
因为，
，
所以，
即对称中心为，
因为函数的图像是恒过点的直线，
所以交点，的中点为，
所以，，即.
故答案为：
【点睛】函数的图像关于点对称，等价于，也等价于.
五、解答题
17．已知幂函数在定义域内单调递增．
(1)求的解析式；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取，再验证单调性得到答案.
（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.
【详解】（1）幂函数在定义域内单调递增，
故，解得或，
当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足；
当时，在上单调递增，满足；
故.
（2）在上单调递增，，
故，解得或，即.
18．设，函数（）．
(1)若函数是奇函数，求a的值；
(2)请判断函数的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)
(2)函数在上为增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据奇函数的性质，，即可求解；
（2）首先根据解析式的形式，判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义，即可证明.
【详解】（1）若函数为奇函数，则，
，则，
解得，由，得；
（2）由（1）知，函数为单调递增函数，
设，
因为，所以，即，且，，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
19．已知，．
(1)若，，求，；
(2)若，求m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）确定，，再计算交集和并集得到答案.
（2）根据并集结果得到，且，构造，得到，解得答案.
【详解】（1），，
，.
（2），，，
故，且，则，即.
，则，
解得，即.
20．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【解析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.
21．已知二次函数．
(1)若，使等式成立，求实数a的取值范围．
(2)解关于x的不等式（其中）．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）设，，则，变换得到，根据函数的单调性计算最值即可.
（2）变换得到，考虑，，，，几种情况，解得答案.
【详解】（1）设，，则，，
故，函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
故.
（2），即，整理得到，
①当时，不等式的解为；
②当时，不等式的解为或；
③当时，
若，不等式的解为；
若，不等式的解为；
若，不等式的解为；
综上所述：
当时，不等式的解为
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
22．对于函数，，如果存在一对实数a，b，使得，那么称为，的亲子函数，（a，b）称为关于和的亲子指标．
(1)已知，，试判断是否为，的亲子函数，若是，求出其亲子指标；若不是，说明理由．
(2)已知，，为，的亲子函数，亲子指标为，是否存在实数m，使函数在上的最小值为，若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)是的亲子函数，且亲子指标为.
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意得到方程，得到，得到答案；
（2）换元后得到，，分，，三种情况，结合函数单调性，表达出最小值，得到方程，求出实数m的值.
【详解】（1）由题意得，
故，解得，
故是的亲子函数，且亲子指标为；
（2）由题意得，
且，解得，
令，则，
因为，所以，
，，
当时，在上单调递减，
则，不合要求，
当时，对称轴为，
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，令，解得，
经检验，均满足要求，
当，即时，在上单调递减，
故，
令，解得，舍去，
当时，，故在上单调递减，
故，
令，解得，舍去，
综上，.
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定，再计算补集得到答案.
【详解】，故.
故选：C
2．若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出函数代入点坐标得到，再计算反函数得到答案.
【详解】设，函数过，即，即，，
它的反函数的解析式为.
故选：A
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，根据解的范围大小得到答案.
【详解】，则；，则，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】取可排除A；取可排除B；取可排除D；由可知，然后两边同乘以，可判断C.
【详解】A选项：若，，则，A错误；
B选项：取，则，B错误；
C选项：若，则，所以，即，C正确；
D选项：取，满足，但，D错误.
故选：C
5．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案
【详解】解：因为，所以
因为
所以，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为6，
故选：C
6．心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量，其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词，则该学生在从能记忆的单词个数为（ ）
A．150B．128C．122D．61
【答案】C
【分析】根据已知可求出，再代入即可求出.
【详解】由题可得，则，
所以，
即该学生在从能记忆的单词个数为122.
故选：C.
7．已知函数的定义域为，满足，当，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得函数的图象关于对称，且在上是减函数，根据函数的对称性的单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以函数的图象关于对称，
因为当，且时，恒成立，
所以函数在上是减函数，
又，，且，
所以.
故选：D.
8．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【分析】若存在，使得成立，则说明在上不单调，分，和三种情况讨论求解.
【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调，
当时，，图象如图，满足题意；
当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意；
当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即.
综上，.
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，得出在上不单调是解题的关键.
二、多选题
9．下列大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】对选项A：函数单调递增，故，错误；
对选项B：函数在上单调递增，故，正确；
对选项C：函数单调递减，故，错误；
对选项D：，，故，正确；
故选：BD
10．下列函数中，最小值为的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】取，可判断A选项；利用基本不等式可判断BC选项；利用函数单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，A不满足；
对于B选项，因为，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，B满足；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
但，等号不成立，即的最小值不是，C不满足；
对于D选项，因为函数的定义域为，
且函数在上单调递增，故，D满足.
故选：BD.
11．以下计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用对数的运算法则依次计算即可.
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：，
正确；
故选：BCD
12．以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数，例如，，则（ ）
A．，
B．不等式的解集为
C．当，的最小值为
D．方程的解集为
【答案】AB
【分析】设的整数部分为，小数部分为，则，则得到A正确，解不等式得到，计算B正确，均值不等式等号条件不成立，C错误，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：设的整数部分为，小数部分为，则，
的整数部分为，，故，正确；
对选项B：，则，故，正确；
对选项C：，
当且仅当，即时成立，不成立，故等号不成立，错误；
对选项D：取，则，代入验证成立，错误；
故选：AB
三、填空题
13．已知函数（且），则必过的定点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数的性质，即可求解.
【详解】不论（且）为何值，当时，，
所以函数必过的定点的坐标为.
故答案为：
14．已知函数为上的奇函数，则 ．
【答案】/
【分析】根据得到，再根据计算得到答案.
【详解】函数为上的奇函数，故，，
.
故答案为：
15．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出函数和的图像，根据图像知且，解得答案.
【详解】，画出函数和的图像，如图所示：
不等式恰有一个整数解，则这个整数解为，
故且，解得.
故答案为：
四、双空题
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）请你利用这个结论求得函数的对称中心为 ．
（2）已知函数与一次函数有两个交点，，则 ．
【答案】
【分析】（1）将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标.
（2）利用结论进行分析，得到的对称中心为，再根据恒过点，得到点为两个函数图像交点的中点，利用中点坐标公式计算推出的值.
【详解】（1）设点为函数图象的对称中心，
令，则为奇函数，
所以，即，
可得，，
所以，解得，
所以函数的对称中心为.
故答案为：
（2）若函数的图象关于点成中心对称图形则函数为奇函数，所以，即，
所以函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件可转化为，
因为，
，
所以，
即对称中心为，
因为函数的图像是恒过点的直线，
所以交点，的中点为，
所以，，即.
故答案为：
【点睛】函数的图像关于点对称，等价于，也等价于.
五、解答题
17．已知幂函数在定义域内单调递增．
(1)求的解析式；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取，再验证单调性得到答案.
（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.
【详解】（1）幂函数在定义域内单调递增，
故，解得或，
当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足；
当时，在上单调递增，满足；
故.
（2）在上单调递增，，
故，解得或，即.
18．设，函数（）．
(1)若函数是奇函数，求a的值；
(2)请判断函数的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)
(2)函数在上为增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据奇函数的性质，，即可求解；
（2）首先根据解析式的形式，判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义，即可证明.
【详解】（1）若函数为奇函数，则，
，则，
解得，由，得；
（2）由（1）知，函数为单调递增函数，
设，
因为，所以，即，且，，
所以，即，
所以函数在上为增函数.
19．已知，．
(1)若，，求，；
(2)若，求m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）确定，，再计算交集和并集得到答案.
（2）根据并集结果得到，且，构造，得到，解得答案.
【详解】（1），，
，.
（2），，，
故，且，则，即.
，则，
解得，即.
20．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【解析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.
21．已知二次函数．
(1)若，使等式成立，求实数a的取值范围．
(2)解关于x的不等式（其中）．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）设，，则，变换得到，根据函数的单调性计算最值即可.
（2）变换得到，考虑，，，，几种情况，解得答案.
【详解】（1）设，，则，，
故，函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
故.
（2），即，整理得到，
①当时，不等式的解为；
②当时，不等式的解为或；
③当时，
若，不等式的解为；
若，不等式的解为；
若，不等式的解为；
综上所述：
当时，不等式的解为
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
22．对于函数，，如果存在一对实数a，b，使得，那么称为，的亲子函数，（a，b）称为关于和的亲子指标．
(1)已知，，试判断是否为，的亲子函数，若是，求出其亲子指标；若不是，说明理由．
(2)已知，，为，的亲子函数，亲子指标为，是否存在实数m，使函数在上的最小值为，若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)是的亲子函数，且亲子指标为.
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意得到方程，得到，得到答案；
（2）换元后得到，，分，，三种情况，结合函数单调性，表达出最小值，得到方程，求出实数m的值.
【详解】（1）由题意得，
故，解得，
故是的亲子函数，且亲子指标为；
（2）由题意得，
且，解得，
令，则，
因为，所以，
，，
当时，在上单调递减，
则，不合要求，
当时，对称轴为，
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，令，解得，
经检验，均满足要求，
当，即时，在上单调递减，
故，
令，解得，舍去，
当时，，故在上单调递减，
故，
令，解得，舍去，
综上，.
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