2023-2024学年吉林省长春市第二实验中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省长春市第二实验中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用交集的概念运算即可.
【详解】因为集合，，所以.
故选:A．
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.
【详解】由题意得：，解得：.
所以函数的定义域为：.
故选：C.
3．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】举反例可判断选项A、C、D，利用的单调性可判断B，进而可得正确选项.
【详解】对于A：取，，满足，但，故选项A不正确；
对于B：因为幂函数在上单调递增，所以若可得，故选项B正确；
对于C：取，，满足，但，故选项C不正确；
对于D：取，，满足，但，故选项D不正确；
故选：B.
4．已知函数，则“是幂函数”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据幂函数的知识求得，根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】若函数为幂函数，则，解得或．
故“是幂函数”是“”的必要不充分条件．
故选：B
5．已知函数，若，则实数（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式列方程，从而求得.
【详解】，
由，解得．
故选：C
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、对数函数的性质计算即可.
【详解】易知：，可得．
故选：A
7．函数的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求判断函数的奇偶性，再取即可选出符合题意图象.
【详解】由，故函数为奇函数，图象关于原点对称，又，
故选：A．
8．设，函数表示不超过的最大整数，例如，，若函数，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】可得，分、、、根据定义可得答案.
【详解】，因为，所以，
所以，当时，；
当时，；
当时，；
当时，，所以函数的值域为，
故选：C.
二、多选题
9．已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BCD
【分析】按复合函数的定义列出所有取值即可
【详解】因为，，，．
故选:BCD
10．已知且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】由基本不等式判断各选项．
【详解】因为，所以
，当且仅当，即时等号成立，A正确；
，即，当且仅当，即时等号成立，B错；
，当且仅当时等号成立，C正确；
，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：ACD．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．没有最小值
【答案】AD
【分析】根据奇偶函数的定义判定A,B.再去绝对值将写成分段函数判断C,D即可.
【详解】对A,B,因为,故,
又,故为偶函数.故A正确,B错误.
对C.因为.
当时,因为在为减函数,故为减函数,所以在区间为减函数.故C错误.
对D,因为当时, 为减函数.故且当时, .
故没有最小值.故D正确.
故选：AD
【点睛】本题主要考查了函数性质的判定,需要根据奇偶性的定义以及函数图像变换与单调性的结合分析,属于中档题.
12．已知关于的不等式解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.
【详解】因为关于的不等式解集为，
所以和是方程的两个实根，且，故错误；
所以，，所以，
所以不等式可化为，因为，所以，故正确；
因为，又，所以，故正确；
不等式可化为，又，
所以，即，即，解得,故正确.
故选：BCD.
【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.
三、填空题
13．命题“，”的否定是 .
【答案】，
【分析】根据求全称量词命题否定的方法得出结果.
【详解】解：因为命题：，，
所以该命题的否定是：，.
故答案为：，.
14．已知函数的图象经过定点，则 ．
【答案】9
【分析】根据指数函数的定点解得，代入运算求解即可.
【详解】因为函数的图象经过定点，则，解得，
可知，所以．
故答案为：9.
15．命题：“，”是真命题，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题中条件，可得，恒成立，利用，解出即可.
【详解】由题意可知，
，恒成立，
即恒成立，
则，
解得．
故答案为：.
16．函数在区间上的最大值为5，则 .
【答案】或1
【解析】将配方，求得、，由二次函数的最值取得，可能在顶点或端点处取得，分别计算即可得到所求的值.
【详解】，对称轴为可得，，，
由函数在区间上的最大值为5，
当即，得或，由于时，因为，或0时有最大值9，不符合条件，舍去；
当即，得或，由于时，因为，时有最大值9，不符合条件，舍去，
综上所述，或.
故答案为：-5或1.
【点睛】方法点睛：本题考查函数最值的求法，关键点是算出、，二次函数的最值取得可能在顶点或端点处取得，本题考查分类讨论思想，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力.
四、解答题
17．已知实数x满足集合，实数x满足集合或．
(1)若，求；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果．
【详解】（1）因为，所以，又或．
所以
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以或，解得：或，
故实数a的取值范围是.
18．（1）计算：；
（2）若，求的值．
【答案】（2）；（2）
【分析】（1）根据对数运算法则进行运算即可；（2）把两边平方，再平方，利用两次平方的结果，即可求得.
【详解】（1）
．
（2）因为，所以，
，
所以
19．已知是定义在上的奇函数，，当时的解析式为.
(1)写出在上的解析式；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为0，最小值为
【分析】（1）先求得参数，再依据奇函数性质即可求得在上的解析式；
（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，
由，得，由，解得，
则当时，函数解析式为
设，则，，
即当时，
（2）当时，
，
所以当，即时，的最大值为0，
当，即时，的最小值为.
20．已知函数（，且），且．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求使成立的的值．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先利用对数运算求出，再利用函数在其定义域上的单调性解不等式，即得，解出答案即可；
（2）代入解析式解得，再解该方程即得结果.
【详解】解：（1），则，解得，
是上的增函数，
由，得，解得.
因此，实数的取值范围是；
（2），得，化简得，
解得或.
21．某公司生产“中国共产党成立100周年”纪念手册，向人们展示党的百年光辉历程，经调研，每生产万册，需要生产成本万元，若生产量低于20万册，；若生产量不低于20万册，. 上市后每册纪念册售价50元，根据市场调查发现生产的纪念册能全部售出.
(1)设总利润为万元，求函数的解析式（利润=销售额成本）；
(2)生产多少册纪念册时，总利润最大？并求出最大值.
【答案】(1)
(2)当生产25万册时，总利润最大，为300万元
【分析】（1）按生产量不低于20万册和低于20万册两种情况分别去求函数的解析式；
（2）分段求得函数的最大值，二者中较大者为最大总利润.
【详解】（1）当时，
当时，
所以
（2）当时，
当时，取得最大值为225
当时，，
（当且仅当，即时取得等号.）
所以，即当时，取得最大值为300.
因为，所以当生产25万册时，总利润最大，为300万元.
22．已知定义在R上的函数同时满足下面两个条件：
①对任意，都有；
②当时，．
(1)求；
(2)判断在R上的单调性，并证明你的结论；
(3)已知，若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)在R上为减函数．证明见解析
(3)．
【分析】（1）根据题中条件，令，，即可求得；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据题中条件变形不等式，利用函数的单调性，问题转换为存在使得成立，参变分离后，求出函数的最小值即可求解.
【详解】（1）令，，则，
所以．
（2）在R上为减函数．证明如下
设，则，则
又，则，
所以，即，
故在R上为減函数．
（3）由得，
即．
又在R上为减函数，所以．
存在使得成立，
即在有解．
令，则，设．
当时，，
所以．
综上可知，实数m的取值范围为．
1
2
3
4
2
3
1
2
3
4
1
4