2023-2024学年黑龙江省大庆铁人中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆铁人中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式以及分式不等式的解法，求出，即可得出答案.
【详解】解可得，，所以.
解可得或，所以不等式的解集，
即的解集为或，即或.
所以，.
故选：A.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据命题否定的书写格式书写即可.
【详解】命题的否定书写要求存在量词变全称量词，后续结论相反，
所以命题“，”的否定为“，”，
故选：C
3．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算出，然后得出，即可求出实数的值.
【详解】，，
则，得，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.
4．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为､､，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【解析】由公式列出面积的表达式，代入已知，然后由基本不等式求得最大值．
【详解】由题意
，
当且仅当，即时等号成立﹐
此三角形面积的最大值为3.
故选：B．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式，判断其单调性以及单调区间，结合特殊点，可得答案.
【详解】由函数，
当时，根据函数与函数在上单调递增，
则函数在的单调递增，故排除BC；
当时，，故排除A，则D正确.
故选：D.
6．已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a【答案】A
【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小.
【详解】解：由函数在上单调递增，
所以，
由于函数在上单调递减，
所以，
由于函数在上单调递增，
所以，
故.
故选：A.
7．已知a、b均为正数，不等式成立是不等式成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当时，利用基本不等式及指数的运算性质可得是否成立，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以，
当时，，此时，
所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.
故选：B.
8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造，由题意可得为偶函数且在上递增，在上递减，再由等价于或，即可求解集.
【详解】由题设，在上递减，又上有，
所以，即为偶函数，
根据偶函数的对称性知：在上递增，
由，即，则上，上，
由，则或，可得.
故选：C
二、多选题
9．下列四组函数中，不表示同一函数的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义域、值域、对应关系等知识确定正确答案.
【详解】A. ，这两个函数的定义域不相同，所以不表示同一函数.
B.，且定义域相同，两个函数表示同一函数.
C.对于，故，所以的定义域是，
而的定义域是，所以不表示同一函数.
D.的定义域是，的定义域是，所以不表示同一函数.
故选：ACD
10．下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则有最小值，且最小值为4
C．若且，则的最小值为4
D．若关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为
【答案】CD
【分析】用不等式的性质逐项判断即可
【详解】A错误：取，则
B错误：，
当且仅当即或1时取等号，无法取等，
C正确：，当且仅当时取等，
D正确：原式，
时不是二次方程，不合题意，
若，则趋于时原式不成立
若，则原式恒成立，而，最小值为，
故，解得，
综上，.
故选：CD
11．若为函数图象上的一点，则下列选项正确的是（ ）
A．为函数图象上的点B．为函数图象上的点
C．为函数图象上的点D．为函数图象上的点
【答案】ABC
【分析】结合指对互化及相关指数、对数运算解题即可.
【详解】若为函数图象上的一点，
∴，∴，则为函数图象上的点，故A正确；
∵，∴，则为函数图象上的点，故B正确；
∵，∴，则为函数图象上的点，故C正确；
∵，∴，故D错误.
故选：ABC.
12．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数的最小值是
C．函数的图象关于直线对称
D．函数与有三个交点
【答案】ABD
【分析】根据函数奇偶性的定义域判定，可判定A正确；分类讨论，结合函数的单调性，求得最小值，可判定B正确，根据，可判定C不正确；根据函数的图象与性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，由函数，可得，解得，
又由，所以是偶函数，所以A正确；
对于B中，因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以可只考虑，
由时，可得；
当时，可得，则，
此时在区间上为减函数；
当时，可得，则，
此时在区间上为增函数，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，所以B正确；
对于C中，由，
所以函数的图象不关于对称，所以C不正确；
对于D中，如图所示，因为函数是偶函数，结合B项知：
函数在为减函数，在上为增函数，在为减函数，在为减函数，
且，当或时，，
所以函数与有三个交点，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知幂函数为非奇非偶函数，则实数 ．
【答案】
【分析】先由函数是幂函数求出的值，再对进行讨论即可.
【详解】由题意函数是幂函数，所以，
即，解得或，
当时，是偶函数，不满足题意，
当时，，其定义域为，不关于原点对称，
即是非奇非偶函数，满足题意.
故答案为：.
14．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在的保鲜时间为192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是 小时.
【答案】12
【分析】根据题意列出关于的方程组，然后把看成整体代入求解即可.
【详解】由题意知，，
解得：，所以，
所以当时，.
故答案为：12
15．函数在区间上是单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合复合函数单调性的判断方法和对数真数大于零可构造不等式组求得结果.
【详解】在上单调递减，
若在上单调递增，
则在上单调递减且在上恒成立，
，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数，，若任意，存在，使，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意得存在，使得成立，即存在能成立，令，则只需使，，最后根据函数单调性求函数最值即可得答案.
【详解】解：∵ ，，
，
∴在上单调递增，
；
根据题意可知存在，使得.
即能成立，
令，
则要使在能成立，只需使，
又在上恒成立，
则函数在上单调递减，
，
，即实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查能成立与恒成立问题，考查化归转化思想，是中档题.
四、解答题
17．已知全集，集合，集合.
(1)当时 ，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）解可得出，代入，得出，根据补集的运算以及交集的运算，即可得出答案；
（2）由已知或，.根据已知包含关系，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】（1）解可得，，所以集合.
又当时，，所以或，
所以，.
（2）由（1）知，，
所以，或.
由已知可得，，
由，可得或，
解得或.
18．如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过C点.已知米，米，设的长为米.
(1)用来表示矩形花坛的面积；
(2)求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.
【答案】(1)
(2)米，米，最小面积为96平方米
【分析】（1）根据比例关系，可得，从而得到矩形花坛的面积；
（2）利用换元法，结合基本不等式得到最值.
【详解】（1）设的长为x米（），
∵是矩形，∴，
∴，∴；
（2）令，，则，
∴
当且仅当，即时，等号成立，
此时米，米，最小面积为96平方米
19．已知函数．
(1)当时，求在区间上的最大值和最小值．
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)最大值为，最大值为.
(2)见解析
【分析】（1）由二次函数的性质求解即可；
（2）由可得，分类讨论，，，和，解不等式即可求出答案.
【详解】（1）当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以求在区间上的最大值为，最大值为.
（2）因为，
所以由可得：，即，
①当时，不等式变为，所以，
不等式的解集为；
当时，不等式化简为，
方程的两根为和，
②当时，不等式化简为，
所以，所以不等式的解集为或；
③当时，不等式化简为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
综上：，不等式的解集为；
，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
20．已知定义在R上的函数满足：.
(1)求函数的表达式；
(2)当时，关于的不等式的解集为，求的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)最小值为1，最大值
【分析】（1）将已知中的替换为，得出方程组，求解即可得出函数解析式；
（2）根据已知得出.根据一元二次不等式解集与一元二次方程解的关系可知，判定得，为一元二次方程的两个解，求根得出，表示出，结合的范围，即可得出答案.
【详解】（1）将的替换为，
得，
联立
解得.
（2）由（1）结合已知可将不等式化为，
即.
又一元二次方程，
恒成立，
可得方程两根为.
又，所以，，
所以.
又，所以，
所以当时，的最小值为1，当时，最大值.
21．已知函数满足，当时，，且.
(1)求的值；
(2)判断的单调性并证明；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法可得解；
（2）利用单调性的定义证明；
（3）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合分离参数法、配方法进行求解即可.
【详解】（1）令，得，得，
令，得，得；
（2）设是任意两个不相等的实数，且，所以，
，
因为，所以，所以，
因此，即在上为增函数；
（3）因为，，即，
又，所以，
又因为在上为增函数，所以在上恒成立，得在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当时，取最小值，
所以，即的取值范围为.
22．根据人教2019版必修一P87页的13题介绍：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，设函数，且．
(1)利用上述结论，求函数的对称中心；
(2)若对于，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意恒成立，解出，即可；
（2）先利用（1）中函数的对称性，将转化为，利用函数的单调性进行分类：当时，恒成立；当时恒成立.构造函数后求最值即可.
【详解】（1）不妨设函数的对称中心为，
因为函数为奇函数，所以恒成立，
此时恒成立，
即恒成立，即恒成立，
所以恒成立，
则，
解得，，
所以函数的对称中心为.
（2）由（1）知函数的对称中心为，
所以，
因为当时，恒成立，
即，恒成立，
函数，在上单调递增，
当时，易知函数在上单调递增，
此时，使得恒成立，
即，使得恒成立，
不妨令，，
此时，
设，则，
故当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，，故的最大值为，
故
解得，因为，其不符合题意；
当时，已知函数在上单调递减，
此时，使得恒成立，
即，恒成立，
不妨令，，
此时，
当且仅当，即时等号成立，
解得，又，故，
综上，满足条件的a的取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：
若恒成立，则；
若恒成立，则.