2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题含答案

  哈师大附中2021级高二学年上学期期中考试数学学科试题

满分150时间：120分钟

一、选择题（共12小题，每题5分，共60分，1至8题是单选题，9至12题是多选题）

1．双曲线的渐近线方程是（）

A．2x±y＝0 B．4x±y＝0 C．x±2y＝0 D．x±4y＝0

2．已知圆，圆则这两个圆的位置关系为（）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（）

A．63里 B．126里 C．192里 D．228里

4．已知椭圆与x轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点做x轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，，，，F是椭圆C的右焦点，则（）

A．20 B． C．36 D．30

5．在等比数列中，，q＝2，则与的等比中项是（）

A．±4 B．4 C．－2 D．－4

6．直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程不可能是（）

A．x＋y＝0  B．

C．x－y＝0  D．x＋y－4＝0

7．某数学爱好者以函数图象组合如图“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，若a，，c依次成等比数列，则λ＝（）

A． B． C． D．

8．已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

9．（多选题）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，则（）

A．抛物线C的准线方程为x＝－1 B．点F到直线l的距离为

C．  D．

10．（多选题）已知等差数列的前n项和为，，，，的前n项和为则下列说法正确的是（）

A．数列的公差为 2 B．

C．数列是公比为4的等比数列 D．

11．（多选题）在正方体中，E，F分别是BC，的中点，下列说法正确的是（）

A．四边形是菱形

B．直线AC与所成的角为

C．直线与平面ABCD所成角的正弦值是

D．平面与平面ABCD夹角的余弦值是

12．（多选题）已知数列是等比数列，下列结论正确的为（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）

13．抛物线的焦点到准线的距离是______．

14．已知是等差数列的前n项和，若，，则＝______．

15．数列满足，，则______．

16．已知点P是椭圆上非顶点的动点，，分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的平分线上一点，且，的取值范围是______．

三、解答题（共6个题，17题10分，其余各题每题12分，共70分）

17．（10分）已知圆，过点P（－1，3）且倾斜角为的直线与圆C交于A，B两点．

（1）当时，求弦长的值；

（2）当点P为线段AB中点时，求直线AB的方程．

18．（12分）如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，E为的中点，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

19．（12分）已知双曲线C：经过点，焦点F到渐近线的距离为．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，当l过双曲线C的右焦点时，求弦长|AB|的值．

20．（12分）已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，．

（1）求数列与的通项公式

（2）求数列的前n项和．

21．（12分）已知数列的前n项和为，若．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若，求数列的前n项和．

22．（12分）已知平面内的两点，，，过点A的直线与过点B的直线相交于点C，若直线与直线的斜率乘积为，设点C的轨迹为E．

（1）求E的方程；

（2）设P是E与x轴正半轴的交点，过P点作两条直线分别与E交于点M，N，若直线PM，PN斜率之积为－2，求证：直线MN恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．

哈师大附中2021级高二学年上学期期中考试数学学科试题答案

满分150时间：120分钟

一、选择题（共12小题，每题5分，共60分，1至8题是单选题，9至12题是多选题）

1．A  2．C  3．C  4．D  5．A  6．B  7．C　　8．B．　　9．AB　　10．ABD　　11．AC　12．BD

二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）

13．4  14．180  15．   16．

三、解答题（共6个题，17题10分，其余各题每题12分，共70分）

17．（1）解：当时，则．

此时直线AB方程为：y－3＝－（x＋1），即x＋y－2＝0．

故圆心C（1，2）到直线AB的距离．

又r＝4，所以．

（2）解：点P为AB中点时，则CP⊥AB，所以？

其中，所以．

所以直线AB方程为y－3＝2（x＋1），即2x－y＋5＝0．

18．（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

所以，又由题可知，AC⊥BC，

，平面且，

所以AC⊥平面，又因为平面，所以．

（2）在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，

所以，，又AC⊥BC

所以，，三条直线两两互相垂直

如图所示，以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建系如图，

由，，可得，则有，，，，

设平面的一个方向量为，

，

所以，即，令，则，，所以，

因为平面，所以为平面的一个法向量，

所以，，

即平面与平面夹角的余弦值等于．

19．（1）解：若焦点F（c，0），其到渐近线的距离，

又因为双曲线C：经过点，

所以，解得a＝2，所以双曲线C的方程为；

（2）解：由（1）知双曲线的右焦点为，所以直线l方程为：

设点，，

联立

得，

所以，，

从而

所以弦长|AB|的值为24．

20．（1）设的公差为，则，所以

所以所以；

设等比数列的公比为，由题得，，∴，∴．

所以．所以．

（2）由题得．

所以

则

两式相减得

所以．

21．（1）因为

所以时，

由①②相减可得，，

当时，也满足题意，

故的通项公式为：．

所以时，

所以时，总成立

所以数列是等差数列．

（2）因为，

所以，

当时，；当时，，

由（1）中结论可知，当时，；

当时，，

从而．

22．解：（1）设，由直线与直线的斜率乘积为，

可得

化为，即为．

（2）证明：设直线，则，

即，设，

而，，，则由，

得，

则，

即，

整理得，解得或（舍去），

所以直线，知直线MN恒过点．