2023-2024学年陕西省榆林市五校高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省榆林市五校高一（上）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∀x∈R，x2+1>0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2+1<0B. ∀x∈R，x2+1≤0
C. ∃x∈R，x2+1≤0D. ∃x∈R，x2+1<0
2.下列关系正确的是( )
A. a⊆{a,b,c}B. ⌀∈{0}C. {0,1}⫋ND. 2∈Q
3.对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若a3>b3，则a>bD. 若|a|>|b|，则a>b
4.已知a，b∈R，p：a>b>0，q：1a2<1b2，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.下列说法正确的是( )
A. 当α=0时，y=xα的图象是一条直线
B. 幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
C. 幂函数的图象有可能出现在第四象限
D. 若幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减，则α<0
6.不等式−x2−|x|+6>0的解集为( )
A. {x|−2C. {x|x<−2或x>3}D. {x|x<−3或x>2}
7.设函数f(x)=x2+2ax+3,x⩽1,ax+1,x>1,若对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则实数a的取值范围是( )
A. [−3,−1]B. (−∞,−1]C. [−1,0)D. [−2,0)
8.已知函数y=f(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是( )
A. x2f(x)B. f(x)x2C. xf(x)D. xf2(x)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列存在量词命题中，是真命题的是( )
A. ∃x∈Z，2x+ x−1=0
B. 至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. ∃x∈R，|x|<0
D. 有些自然数是偶数
10.已知全集U=R，集合M、N的关系如图所示，则( )
A. M∪(∁RN)=R
B. M∩(∁RN)=⌀
C. (∁RM)∪(∁RN)=∁RM
D. (∁RM)∩(∁RN)=∁RM
11.已知m2+n2=100，则( )
A. m+n有最大值10 2B. m+n有最小值10 2
C. mn有最大值50D. mn有最小值50
12.在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数y=f(x)为奇函数的充要条件是y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数y=f(x+a)−b为奇函数的充要条件是y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称.已知函数f(x)=x3+mx2+2nx−4的图象关于(2,0)成中心对称，则下列结论正确的是( )
A. f(2)=1B. f(4)=4
C. m+n=−1D. f(2+x)+f(2−x)=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y= x3−1的定义域是______ ．
14.如图，坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为______ ．
15.若f(1x)=x1−x，则f(x)= ______ ．
16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(−2)=0，若对任意的x1，x2∈(−∞,0)，当x1≠x2时，都有x1⋅f(x1)−x2⋅f(x2)x1−x2<0成立，则不等式f(x)>0的解集为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|(x+2)(8−x)⩾0}，B={x|−3⩽x⩽6}．
(1)求A∪(∁RB)；
(2)若C={x|m+1⩽x⩽2m−1}，C⊆(A∩B)，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知p：∀x∈[−1,1]，x2+x−k⩽0，q：∃x∈R，x2+2kx+3k+4⩽0．
(1)若¬p成立，求实数k的取值范围；
(2)若p和q中至多有一个成立，求实数k的取值范围．
19.(本小题12分)
已知对∀x∈R，都有f(−x)+f(x)=0，且当x>0时，f(x)=4−x2．
(1)求函数f(x)的解析式，并画出f(x)的简图(不必列表)；
(2)求f(f(3))的值；
(3)求f(x)>f(1)的解集．
20.(本小题12分)
紫砂花盆在明清时期出现后，它的发展之势如日中天，逐渐成为收藏家的收藏目标，随着制盆技术的发展，紫砂花盆已经融入了寻常百姓的生活，某紫砂制品厂准备批量生产一批紫砂花盆，厂家初期投入购买设备的成本为10万元，每生产一个紫砂花盆另需27元，当生产x千件紫砂花盆并全部售出后，厂家总销售额P(x)=5.7x+19,010.(单位：万元)．
(1)求总利润r(x)(单位：万元)关于产量x(单位：千件)的函数关系式；(总利润=总销售额−成本)
(2)当产量x为多少时总利润最大？并求出总利润的最大值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x2−2ax+a2(a∈R)．
(1)若f(x+1)为偶函数，求a的值；
(2)若f(x)在[0,1]上有最小值9，求a的值．
22.(本小题12分)
已知x>0，y>0，x+y−2=a(xy−3)．
(1)当a=0时，求xy的最大值；
(2)当a=1时，求：①x+2y的最小值；②1x−1+1y−1的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，注意运用全称量词命题的否定为存在量词命题，以及量词和不等号的变化，考查转换能力，属于基础题．
运用全称量词命题的否定为存在量词命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．
【解答】
解：由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得
命题“∀x∈R，x2+1>0”的否定“∃x∈R，x2+1≤0”，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：选项A：因为a是集合{a,b,c}中的元素，所以a∈{a,b,c}，表示的符号不正确，故A错误；
选项B：因为⌀是任何集合的子集，所以⌀⊆{0}，表示的符号不正确，故B错误；
选项C：因为N中含有元素0、1，而且还有其它元素，所以{0,1}⫋N，故C正确；
选项D：因为 2是无理数，而Q是有理数集，所以 2∉Q，故D错误．
故选：C．
根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查了集合的表示法、元素与集合的关系、集合的包含关系等知识，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：当a=1，b=−1时，A显然错误；
当c=0时，B显然错误；
因为y=x3在R上单调递增，若a3>b3，则一定有a>b，C正确；
当a=−2，b=1时，D显然错误．
故选：C．
举出反例检验选项ABD，结合幂函数的单调性检验选项C．
本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题．
利用充分、必要、充要条件的定义，即可判断出结论．
【解答】
解：由a>b>0⇒a2>b2>0，可得：1a2<1b2；
反之不成立，
例如取a=−2，b=1，满足1a2<1b2，但a>b>0不成立；
则p是q的充分不必要条件．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】解：当α=0时，y=xα=1此时要求x≠0，所以y=xα的图象是一条直线是错误的，因此选项A不正确；
幂函数y=1x的图象不经过点(0,0)，所以选项B不正确；
当x>0时，幂函数y=xα>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，所以选项C不正确；
当幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减，则有α<0，所以选项D正确．
故选：D．
根据幂函数的性质，结合零指数幂的性质逐一判断即可．
本题考查幂函数的性质，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：不等式可化为|x|2+|x|−6<0，即−3<|x|<2，
解得−2即不等式的解集为(−2,2)．
故选：B．
由一元二次不等式的解法求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，
∴函数f(x)=x2+2ax+3,x⩽1ax+1,x>1是R上的减函数，
∴−2a2⩾1a<012+2a+3⩾a+1，解得−3⩽a⩽−1．
故选：A．
由分段函数f(x)在R上单调递减可得关于a的不等式组，进而可得a的取值范围．
本题考查了分段函数的单调性，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，用排除法分析：
对于A，当x<0时，f(x)<0，所以x2f(x)<0，故选项A错误；
对于B，当x<0时，f(x)<0，所以f(x)x2<0，故选项B错误；
对于D，当x<0时，f(x)<0，则f2(x)>0，所以xf2(x)<0，故选项D错误．
故选：C．
根据题意，由函数值的符号排除A、B、D，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数值符号的分析，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，2x+ x−1=0⇔2( x)2+ x−1=0，∴ x=−1(舍去)或 x=12，∴x=14∉Z，∴A是假命题，
对于B，当x=6时，x能同时被2和3整除，∴B是真命题，
对于C，对∀x∈R，|x|≥0，∴C是假命题，
对于D，2为自然数也为偶数，∴D是真命题，
故选：BD．
解一元二次方程判断A，举实例判断BC，根据绝对值的性质判断D．
本题考查了存在量词命题的真假性判定问题，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：全集U=R，集合M、N的关系如图所示，
对于A，∵N⊆M，∴M∪(∁RN)=R，故A正确；
对于B，∵N⊆M，∴M∩(∁RN)≠⌀，故B错误；
对于C，∵N⊆M，∴(∁RM)∪(∁RN)=∁RN，故C错误；
对于D，∵N⊆M，∴(∁RM)∩(∁RN)=∁RM，故D正确．
故选：AD．
利用韦恩图、交集、补集、并集、子集直接求解．
本题考查韦恩图、交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为m2+n2=100，
又m2+n22⩾(m+n2)2，即(m+n2)2⩽50，当且仅当m=n=5 2时取等号，
所以m+n⩽10 2，
由m2+n2⩾2mn，得mn⩽50，当且仅当m=n=5 2时，等号成立．
故选：AC．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：函数f(x)的图象关于(2,0)成中心对称，且由函数可得定义域为R，
所以f(x+2)的图象关于原点对称，
则f(0+2)=f(2)=8+4m+4n−4=0，
所以m+n=−1，
故A错误，C正确；
所以对任意x∈R，都有f(2+x)+f(2−x)=0，
故D正确；
在f(2+x)+f(2−x)=0中令x=2得f(4)+f(0)=0，且f(0)=−4，
所以f(4)=4，
故B正确．
故选：BCD．
函数f(x)的图象关于(2,0)成中心对称，可得所以f(x+2)的图象关于原点对称，令x=0，可求得m+n=−1，故A错误，C正确；又f(2+x)+f(2−x)=0，故D正确，令此式中x=2，可求得f(4)，判断出选项B．
本题考查了函数的性质，属中档题．
13.【答案】[1,+∞)
【解析】解：x3−1≥0，即x3≥1，解得x≥1，
即函数y= x3−1的定义域是[1,+∞)．
故答案为：[1,+∞)．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式，是基础题目．
14.【答案】{(x,y)|0≤y≤1−2≤x≤0}
【解析】解：由图可得：−2≤x≤0，且0≤y≤1．
故坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为{(x,y)|0≤y≤1−2≤x≤0}.
故答案为：{(x,y)|0≤y≤1−2≤x≤0}.
根据图形即可得到变量的范围，进而求解结论．
本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
15.【答案】1x−1
【解析】解：令t=1x，f(1x)=x1−x则f(t)=1t1−1t=1t−1，
即f(x)=1x−1，
故答案为1x−1．
已知f(1x)=x1−x，利用换元法令t=1x代入即可．
本题考查换元法求函数解析式，题目较简单，属于基本题．
16.【答案】(−2,0)∪(2,+∞)
【解析】解：令g(x)=xf(x)，则g(x)为偶函数，且g(−2)=0，
当x<0时，g(x)为减函数，
所以当−2当x>2或x<−2时，g(x)>0；
因此当−20；当x>2时，f(x)>0，
即不等式f(x)>0的解集为(−2,0)∪(2,+∞)．
故答案为：(−2,0)∪(2,+∞)．
根据条件构造函数g(x)=xf(x)，判断函数g(x)的单调性和奇偶性，从而可得结论．
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意构造新函数g(x)=xf(x)，属于基础题．
17.【答案】解：(1)A={x|(x+2)(8−x)⩾0}={x|−2⩽x⩽8}，∁RB={x|x<−3或x>6}，
则A∪(∁RB)={x|x<−3或x⩾−2}．
(2)∵集合A={x|−2⩽x⩽8}，B={x|−3⩽x⩽6}，
∴A∩B={x|−2⩽x⩽6}．
若C=⌀，则m+1>2m−1，即m<2；
若C≠⌀，则m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤6，解得2⩽m⩽72．
综上，实数m的取值范围为{m|m⩽72}．
【解析】(1)先求出集合A，然后结合集合的并集及补集运算即可求解；
(2)由已知结合集合的交集运算及集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)若¬p：∃x∈[−1,1]，x2+x>k成立，
因为x∈[−1,1]时，x2+x∈{x|−14≤x≤2}，所以k<2，
所以实数k的取值范围为{k|k<2}．
(2)p和q中至多有一个成立，考虑其反面，p和q均成立，
若p：∀x∈{x|−1≤x≤1}，x2+x≤k成立，
因为x∈{x|−1≤x≤1}时，x2+x∈{x|−14≤x≤2}，所以k≥2；
若q成立时，Δ=4k2−4(3k+4)≥0，解得k≤−1或k≥4；
若p、q均成立时，则k≥4，
所以p、q至多有一个成立时，k<4．
综上，实数k的取值范围为{k|k<4}．
【解析】(1)根据题意，可得¬p：∃x∈[−1,1]，x2+x>k，再求出k的取值范围；
(2)取反面，当p和q均成立时，求参数的取值范围，再求出k的取值范围．
本题考查了不等式恒成立问题和全称命题与特称命题，考查了转化思想，属基础题．
19.【答案】解：(1)∵∀x∈R，f(−x)+f(x)=0，
令x=0，f(0)+f(0)=0，∴f(0)=0，
设x<0，∴−x>0，f(−x)=4−(−x)2=4−x2，又f(−x)=−f(x)，
∴f(x)=−f(−x)=x2−4，∴f(x)=4−x2,x>0,0,x=0,x2−4,x<0.
∴函数f(x)的简图为：

(2)∵f(3)=4−32=4−9=−5，
∴f(f(3))=f(−5)=52−4=21．
(3)f(x)>f(1)即为f(x)>3，画直线y=3，
结合图象可知：

x>0,4−x2>3,或x<0,x2−4>3.，
∴0故f(x)>f(1)的解集为(−∞,− 7)∪(0,1)．
【解析】(1)利用f(−x)+f(x)=0求函数解析式即可；(2)由里向外代入求值即可；(3)结合图象即可解不等式．
本题考查函数奇偶性，考查函数求值，考查不等式的解法，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得当0当x>10时，r(x)=108−10003x−(2.7x+10)=98−10003x−2710x，
综上所述，r(x)=3x+9,010；
(2)由(1)得r(x)=3x+9,010，
则当0当x>10时，r(x)=98−10003x−2710x=98−(10003x+2710x)⩽98−2 10003x×2710x=38(万元)，当且仅当10003x=2710x，即x=1009时等号成立，
又1000x为整数，则此时r(x)<38(万元)，
故当产量x为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元．
【解析】(1)结合题意，利用分段函数的性质，分类讨论，即可得出答案；
(2)由(1)得r(x)=3x+9,010，利用分段函数的性质，分类讨论，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=3x2−2ax+a2，则f(x+1)=3(x+1)2−2a(x+1)+a2=3x2+(6−2a)x+3−2a+a2，
∵函数f(x+1)为偶函数，
∴x=−6−2a2×3=0，解得a=3；
(2)函数f(x)=3x2−2ax+a2图象的对称轴为x=a3，开口向上，
①当a3≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
又f(x)在[0,1]上有最小值9，
则f(x)min=f(0)=a2=9，解得a=3(不合题意，舍取)或a=−3；
②当0又f(x)在[0,1]上有最小值9，
∴f(x)min=f(a3)=23a2=9，解得a=±3 62(不合题意，舍去)；
③当a3≥1，即a≥3时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
又f(x)在[0,1]上有最小值9，
∴f(x)min=f(1)=3−2a+a2=9，解得a=1+ 7或a=1− 7(不合题意，舍去)，
综上所述，a=−3或a=1+ 7．
【解析】(1)求出f(x+1)的解析式，根据偶函数的性质关于y轴对称，即对称轴x=0，即可得出答案；
(2)由题意得函数f(x)=3x2−2ax+a2图象的对称轴为x=a3，开口向上，分类讨论a≤0，0本题考查二次函数的图象与性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=0时，x+y=2，
故xy≤(x+y2)2=1，当且仅当x=y=1时取等号，
所以xy的最大值为1；
(2)①当a=1时，x+y=xy−1，即x(y−1)=y+1，
显然y≠1，
故x=y+1y−1>0，即y>1(舍负)，
则x+2y=y+1y−1+2y=3+2y−1+2(y−1)≥3+4=7，当且仅当2(y−1)=2y−1，即y=2时取等号，此时x+2y取得最小值7；
②由x(y−1)=y+1可得(x−1)(y−1)=2，
则1x−1+1y−1≥2 1(x−)(y−1)= 2，当且仅当x=y=1+ 2时取等号，此时取得最小值 2．
【解析】(1)把a=0代入，然后结合基本不等式即可求解；
(2)把a=1代入可得x+y=xy−1，解出y代入到x+2y，然后进行合理的变形，结合基本不等式可求①；
由已知得(x−1)(y−1)=2，然后结合基本不等式可求②．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．