2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市鄠邑区高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题中正确的是( )
A. a//b，b/​/c，则a/​/c
B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点
C. 向量a与b不平行，则a与b都是非零向量
D. 有相同起点的两个非零向量不平行
2.在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若AB=a，AC=b，则EF等于( )
A. 12(a+b)B. 12(a−b)C. 12(b−a)D. −12(a+b)
3.下面的四个长方体中，是由左边的平面图形围成的是( )
A. B.
C. D.
4.已知直线l与不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )
A. 若α⊥β，l⊂β，则l⊥αB. 若α/​/β，l⊂α，则l/​/β
C. 若l/​/α，α/​/β，则l/​/βD. 若l/​/α，l/​/β，则α/​/β
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与平面ACC1A1所成角为( )
A. π2B. π3C. π4D. π6
6.一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是( )
A. 8B. 16C. 16 2D. 32 2
7.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°，在塔底C处测得A处的俯角为45°.已知山岭高CD为256米，则塔高BC为( )
A. 256( 2−1)米
B. 256(2 3−1)米
C. 256( 6−1)米
D. 256( 3−1)米
8.已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为r3，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为( )
A. 29B. 39C. 23D. 2 39
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 四棱柱的所有面均为平行四边形B. 长方体不一定是正四棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
10.中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“帅”“炮”“马”“兵”分别位于A，B，C，D四点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马”走动一步到达点C1，则AD⋅BC1的值可能为( )
A. −10B. −12C. −11D. −14
11.关于平面向量a，b，下列命题中正确的有( )
A. 若a//b(a≠0)，则存在λ∈R，使得b=λa
B. 若非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|，则a⊥b
C. |a+b|≤|a|+|b|
D. |a−b|≤|a|−|b|
12.如图，在多面体EFG−ABCD中，四边形ABCD，CFGD，ADGE均是边长为1的正方形，点H在棱EF上，则( )
A. 该几何体的体积为23
B. 点D在平面BEF内的射影为△BEF的垂心
C. GH+BH的最小值为 3
D. 存在点H，使得DH⊥BF
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量a=(2,k)，b=(3,2)，且a⊥b，则实数k= ．
14.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|=|F2|=4 2N，则物体的重力大小为______N.
15.已知AH⊥Rt△HEF所在的平面，且HE⊥EF，连接AE，AF，则图中直角三角形的个数是______．
16.正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．
(1)若满足a=mb+nc，求实数m、n的值；
(2)若(a−kc)//(2a−b)，求实数k的值．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥C−ABED中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF/​/底面ABC；
(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．
19.(本小题12分)
(Ⅰ)化简AC−BD+CD；
(Ⅱ)如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，若AB=a，AD=b，试以a，b为基底表示DE、BF、CG．
20.(本小题12分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a+b+c)(a−b+c)=ac．
(1)求B;
(2)若sin Asin C= 3−14，求C．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=m⋅n，其中m=(2sinx,sinx+csx)，n=( 3csx,sinx−csx)．
(1)将f(x)化简成f(x)=Asin(ωx+φ)(−π2<φ<π2)的形式；
(2)求使f(x)取得最大值时自变量x的集合．
22.(本小题12分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠BCD=∠C1CB=∠C1CD=60°.试用尽可能多的方法解决以下两问：
(1)若AB=2,A1A=32，记面BC1D为α，面BCD为β，求二面角α−BD−β的平面角的余弦值；
(2)当ABAA1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：当b=0时，a不一定共线c，故A错误；
任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上，故B错误；
对于C，零向量与任何向量都共线，
故向量a与b不平行，则a与b都是非零向量，故C正确；
对于D，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故D错误．
故选：C．
由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项判断．
本题考查了平面向量的定义与零向量的应用．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的基本定理，属于基础题．
由向量的线性运算即可求解．
【解答】
解：由题意可得EF=AF−AE=12AC−12AB=12(b−a).
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：长方体中由左边的平面图形，
可知长方体中有4个面是阴影部分，两个空白部分是相对部分，剩余是4个阴影部分，
围成的是．
故选：D．
利用几何体的表面展开图，判断选项即可．
本题考查空间几何体表面展开图的判断，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于A选项，若α⊥β，l⊂β时，l与α的关系可以平行，也可以相交不垂直，故A选项错误；
对于B选项，若α/​/β，l⊂α，根据面面平行的性质可得l/​/β，故B选项正确；
对于C选项，若l/​/α，α/​/β，则l与β的关系可以平行，也可以是l⊂β，故C选项错误；
对于D选项，若l/​/α，l/​/β，则平面α，β可以相交，也可以平行，故D选项错误．
故选：B．
根据线面，面面位置关系依次讨论各选项即可得答案．
本题主要考查线面关系有关命题的判定，面面关系有关命题的判定等知识，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接B1D1∩A1C1=O，连接AO，
由AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，得AA1⊥B1D1，又A1C1⊥B1D1，
A1C1∩AA1=A1，A1C1，AA1⊂平面ACC1A1，则B1D1⊥平面ACC1A1，
于是∠B1AO是直线AB1与平面ACC1A1所成的角，
在Rt△AOB1中，∠AOB1=π2，OB1= 22AB=12AB1，因此∠B1AO=π6，
所以直线AB1与平面ACC1A1所成角为π6．
故选：D．
根据给定条件，作出直线AB1与平面ACC1A1所成角，再利用直角三角形边角关系求解即可．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意直观图为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，
直观图的面积为8，
因为直观图和原图面积之间的关系为S原图S直观图=2 2，故原△ABO的面积是16 2．
故选：C．
可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．
本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．
7.【答案】D
【解析】解：在△CDA中，AD=CDtan∠DCA=256tan45°=256，
在△ABD中，DB=ADtan∠BAD=256tan60°=256 3，
所以BC=BD−CD=256( 3−1)．
故选：D．
△CDA中求出AD，再在△ABD中求得BD，从而可得BC．
本题主要考查解三角形的实际应用，高度测量问题等知识，属于中等题．
8.【答案】D
【解析】解：圆锥的高 3r，如图，
由△SOM～△SOB可得：13=O1MOB=SO1SO，∴SO1=13SO，
∴OO1=23SO=2 33r，
圆柱侧面积S1=2π⋅13r⋅2 33r=4 39πr2，
圆锥侧面积S2=12⋅2πr⋅2r=2πr2，S1S2=4 39⋅12=2 39．
故选：D．
由△SOM～△SOB可得OO1=23SO=2 33r，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案．
本题考查圆柱与圆锥的侧面积问题，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查了棱锥，棱柱，棱台的结构特征，是基础题．
根据棱锥，棱柱，棱台的结构特征可判断各选项的正误．
【解答】
解：对于选项A：四棱柱的底面不一定是平行四边形，故选项A错误，
对于选项B：长、宽、高均不相等的长方体不是正四棱柱，故选项B正确，
对于选项C：底面是正多边形，但侧棱长不相等的棱锥不是正棱锥，故选项C错误，
对于选项D：由棱台的性质可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故选项D正确，
故选：BD．
10.【答案】ACD
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(−3,2)，D(−2,3)，C(3,0)，
由题意可知C1(1,1)或C1(2,2)或C1(4,2)，
当C1(1,1)时，AD⋅BC1=(−2,3)⋅(4,−1)=−11，
当C1(2,2)时，AD⋅BC1=(−2,3)⋅(5,0)=−10，
当C1(4,2)时，AD⋅BC1=(−2,3)⋅(7,0)=−14，
综上可得AD⋅BC1的值可能为−10或−11或−14，
故选：ACD．
先建系，然后标出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A，由平面共线向量定理可知，A正确；
对于B，因为非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|，两边同时平方整理得：a⋅b=0，所以a⊥b，故B正确；
对于C，D，设OA=a,OB=b,OC=a+b，则BA=a−b，
因为在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
故|a+b|≤|a|+|b|，|a−b|≥|a|−|b|，故C正确；D错误．
故选：ABC．
由共线向量定理可判断A；由平面向量的数量积可判断B；由三角形三边关系可判断CD．
本题考查平面向量的数量积运算和共线向量定理，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：如图，该几何体可看出由正方体切去前右上角的三棱锥I−BEF所得到的几何体，
对A选项，该几何体的体积为V正方体−V三棱锥I−BEF=1−13×12×1×1×1=56，∴A选项错误；
对B选项，连接正方体的体对角线DI，则由三垂线定理易证DI⊥平面BEF，
且由对称性可知：DI与正三角形BEF的交点P为正三角形的中心，也为△BEF的垂心，
∴B选项正确；
对C选项，将三角形GEF与三角形BEF展开铺平，再连接GB，
则GH+BH≥GB，当G，H，B三点共线时，取得等号，
由对称性可知：G，H，B三点共线时，GB与EF的交点H为EF的中点，
此时易知GB=GH+HB= 22+ 22× 3= 2+ 62，
∴GH+BH的最小值为 2+ 62，∴C选项错误；
对D选项，由A选项的分析可知：D在平面BEF内的射影点P为正三角形BEF的中心，
∴当H与E重合时EP⊥BF，从而根据三垂线定理可得BF⊥DH，∴D选项正确．
故选：BD．
由题意可知该几何体可看出由正方体切去前右上角的三棱锥I−BEF所得到的几何体，从而再结合各个选项，利用体积公式，三垂线定理，对称性，化空间为平面即可逐一求解．
本题考查化归转化思想，三垂线定理的应用，属中档题．
13.【答案】−3
【解析】【分析】
根据a⊥b可得出a⋅b=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出k的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：∵a⊥b，
∴a⋅b=6+2k=0，解得k=−3．
故答案为：−3．
14.【答案】8
【解析】解：设F1，F2的合力为F，则F=F1+F2，
∵F1，F2的夹角为90°，
∴F2=(F1+F2)2=F12+F22+2F1⋅F2=32+32=64，
∴|F|=8，
∵物体平衡状态．∴物体的重力大小为8．
故答案为：8．
根据向量加法的平行四边形法则得到合力F=F1+F2，进而求出F2=(F1+F2)2的值，从而得出物体重力的大小．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，平面向量的求模公式，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：由AH⊥Rt△HEF所在的平面，得AH⊥HE，AH⊥HF，∴△AHE，△AHF均为直角三角形，
由HE⊥EF，可知△HEF为直角三角形，
∵AH⊥Rt△HEF所在的平面，∴AH⊥EF，又HE⊥EF，且AH∩HE=H．
∴EF⊥面AHE，∴AE⊥EF，则△AEF为直角三角形．
故图中直角三角形的个数是4．
故答案为4．
直接由线面垂直的性质及线面垂直的判定得答案．
本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定，是中档题．
16.【答案】48π
【解析】解：设正方体的棱长为a，因为正方体的表面积为96，可得6a2=96，解得a=4，
则正方体的对角线长为l= 42+42+42=4 3，
设正方体的外接球的半径为R，可得2R=4 3，解得R=2 3，
所以外接球的表面积为S=4πR2=4π⋅(2 3)2=48π．
故答案为：48π．
根据题意求得正方体的棱长，得到其对角线长，进而求得正方体外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解．
本题考查球的表面积，考查球的内接体问题，考查空间想象能力，属基础题．
17.【答案】解：(1)∵向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，a=mb+nc，
(3,2)=(−m+4n,2m+n)，
∴−m+4n=32m+n=2，解得m=59，n=89；
(2)∵(a−kc)//(2a−b)，a−kc=(3−4k,2−k)，a−kc=(3−4k,2−k)，2a−b=(7,2)，
∴2(3−4k)=7(2−k)，解得k=−8．
【解析】(1)利用向量坐标运算法则、向量相等能求出结果．
(2)利用向量坐标运算法则、向量平行能求出结果．
本题考查向量坐标运算法则、向量相等、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)证明：连接AE，由F是线段BD的中点得F为AE的中点，
∴GF为△AEC的中位线，
∴GF/​/AC，
又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC
∴GF/​/平面ABC，
(2)平面GFP//平面ABC，
证明如下：
∵F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，
∴FP//BC，
又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，
∴FP//平面ABC，
又GF/​/平面ABC，FP∩GF=F，FP⊂平面FPG，GF⊂平面FPG
∴平面GFP//平面ABC．
【解析】本题考查了直线与平面平行，平面与平面平行的判断问题，关键是掌握定理，属于中档题．
(1)根据线面平行的判定定理，证明GF平行于平面ABC内的一条直线AC即可；
(2)根据面面平行的判定定理，因为GF/​/平面ABC，只要证明FP//平面ABC，问题得以解决．
19.【答案】解：(Ⅰ)AC−BD+CD=AC+CB=AB，
(Ⅱ)DE=AE−AD=AB+BE−AD=a+12b−b=a−12b，
BF=AF−AB=AD+DF−AB=b+12a−a=b−12a，
∵G是△CBD的重心，
∴CG=13CA=−13AC=−13(a+b)．
【解析】根据向量的加减法则化简计算即可．
本题主要考查了向量的加减的混合运算，属于基础题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为(a+b+c)(a−b+c)=ac，
所以a2+c2−b2=−ac．
由余弦定理得，csB=a2+c2−b22ac=−12，
因此，B=120°．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A+C=60°，
所以：cs(A−C)=csAcsC+sinAsinC
=csAcsC−sinAsinC+2sinAsinC
=cs(A+C)+2sinAsinC
=12+2× 3−14= 32，
故A−C=30°或A−C=−300，
因此，C=15°或C=45°．
【解析】(Ⅰ)直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，进一步求出B的值．
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，对角进行关系式变换，最后求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理的应用，属于基础题型．
21.【答案】解：(1)f(x)=m⋅n=2sinx⋅ 3csx+(sinx+csx)⋅(sinx−csx)= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)；
(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x−π6)，则当2x−π6=2kπ+π2(k∈Z)时，
即x=kπ+π3(k∈Z)时，f(x)=2sin(2x−π6)取得最大值2．
所以使f(x)取得最大值2时，自变量x的集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}．
【解析】(1)直接利用向量的坐标运算求出函数的关系式，进一步利用三角函数的关系式的恒等变换，变形成正弦型函数．
(2)利用正弦型函数的性质求出函数的最值．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)连接AC、设AC和BD交于O，
连接C1O，作C1E⊥CD，垂足为E，作C1H⊥OC，垂足为H，连接HE，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又∠BCD=60°，
∴BD=CD，
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，
∴△C1BC≅△C1DC，
∴C1B=C1D，
∵DO=OB，
∴C1O⊥BD，
又AC⊥BD，AC∩C1O=O，AC，C1O⊂平面AC1C
∴BD⊥平面AC1C，
又C1C⊂平面AC1C，
∴C1C⊥BD，
∴∠C1OC是二面角α−BD−β的平面角，
∵∠C1CD=60°,C1C=A1A=32，可得C1E=34 3，CE=34，
又∠BCD=60°，
∴∠HCE=30°，
∴EH= 34,C1H= C1E2−EH2= 62，
又HO=CO−CH= 32，
∴C1O= CH2+HO2=32，
∴cs∠C1OC=HOC1O= 33．
(2)当CDC1C=1时，能使A1C⊥平面C1BD，
由前知BD⊥平面AC1C，
又A1C⊂面AC1C，
∴BD⊥A1C，
当CDCC1=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形．
同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C，
又BD∩BC1=B，BD⊂面C1BD，BC1⊂面C1BD，
∴A1C⊥平面C1BD．
【解析】(1)根据二面角的定义作图分析确定二面角的平面角，计算二面角的平面角可结合直角三角形中的边角关系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角α−BD−β的平面角的余弦值；
(2)可先猜测ABAA1的值，然后证明A1C⊥平面C1BD，根据平行六面体法人几何性质结合线面垂直的判定定理证明．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角的平面角，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．