2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列 2，2， 6，2 2， 10，2 3…，则这个数列的第25项为( )
A. 2 13B. 5 2C. 7D. 4 3
2.某质点沿直线运动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=t2+2t，则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为( )
A. 6m/sB. 7m/sC. 8m/sD. 9m/s
3.某跳水运动员在距离地面3m高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系是h(t)=−5t2+2t+4，则该运动员在t=0.5s时的瞬时速度为( )
A. −0.50m/sB. 0.50m/sC. 3m/sD. −3m/s
4.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4+a6+a8=21，则a9=( )
A. 6B. 9C. 12D. 17
5.已知曲线y=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线x+3y+1=0垂直，则实数a等于( )
A. −1B. −12C. 1D. 2
6.若函数f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(−1)f(−1)等于( )
A. −34B. 34C. −65D. −56
7.“数列{an}和{bn}都是等比数列”是“数列{anbn}是等比数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知实数a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，且{1,4}⊆{a1,a2,a3,a4,a5}，则a1的最小值为( )
A. 116B. 164C. −12D. −8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2−10n，则下列结论正确的有( )
A. {an}是递减数列B. {an}是等差数列C. {Sn}是递增数列D. S9<0
10.下列函数的求导运算正确的是( )
A. (lnxx2)′=x2−2lnxx3B. (x3−2x+1)′=3x2−2xln2
C. (1 x−1−1 x+1)′=−2(x−1)2D. [sin2(2x+π6)]′=2sin(4x+π3)
11.某同学完成假期作业后，离开学还有10天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，为了使体验生活期间的薪资最多，下列方案选择正确的是( )
A. 若体验7天，则选择方案①B. 若体验8天，则选择方案②
C. 若体验9天，则选择方案③D. 若体验10天，则选择方案③
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)在(−∞,+∞)上存在导数，且f′(a)=4，则Δx→0limf(a+2Δx)−f(a−2Δx)Δx= ______．
13.高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法⋅商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍蔓垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，则第n层小球的个数为______．
14.在如图所示的表格中，每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，则所填数字之积abcde的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一小球做简谐振动，其运动方程为x=20sin(3t−π2)，其中x(单位：cm)是小球相对于平衡点的距离，t(单位：s)为运动时间．
(Ⅰ)求小球在t=π4s时刻的速度；
(Ⅱ)从t=0s开始，最少经过多长时间该小球的瞬时速度达到最大？
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3a10=−40，S5=−20．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)求使Snan<1成立的n的取值集合．
17.(本小题15分)
已知{an}是各项为正数的等比数列，其前n项和为Sn，a1=1，S3=7．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足an+1=−1an+1，a1=1．
(Ⅰ)求a10的值；
(Ⅱ)求数列{nan}的前30项和S30．
19.(本小题17分)
记无穷数列{an}前n项中的最大值为Mn，最小值为mn，令bn=Mn+mn2．
(Ⅰ)若an=n，请写出b1，b2，b3的值；
(Ⅱ)求证：“数列{an}是递增的等差数列”是“数列{bn}是递增的等差数列”的充要条件．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：数列的项可化为 2， 4， 6， 8， 10， 12，…，
则这个数列的通项公式为an= 2n，
所以这个数列的第25项为a25= 2×25=5 2．
故选：B．
归纳出数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=t2+2t，
则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为ΔyΔt=y(3)−y(1)3−1=9+6−1−22=6(m/s)．
故选：A．
根据题意，由平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案．
本题考查变化率的计算，涉及平均变化率的计算公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：h(t)=−5t2+2t+4，
则h′(t)=−10t+2，
当t=0.5s时，h′(t)=−5+2=−3，
即该运动员在t=0.5s时的瞬时速度为−3m/s．
故选：D．
利用瞬时变化率的实际意义求解．
本题主要考查了瞬时变化率的实际意义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4+a6+a8=21，
∴a1+a1+2d+a1+4d=15a1+3d+a1+5d+a1+7d=21，
解得a1=113，d=23，
∴a9=a1+8d=113+163=9．
故选：B．
利用等差数列的性质列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
本题考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：曲线y=f(x)=ex+ax，
则f′(x)=ex+a，
直线x+3y+1=0的斜率为−13，
曲线y=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线x+3y+1=0垂直，
则f′(0)=1+a=−1−13=3，解得a=2．
故选：D．
结合导数的几何意义，以及直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，以及直线垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：f′(x)=2f′(1)+2x，
∴f′(1)=2f′(1)+2，f′(1)=−2，
∴f(x)=x2−4x，f′(x)=2x−4，
∴f(−1)=5，f′(−1)=−6，
∴f′(−1)f(−1)=−65．
故选：C．
根据幂函数的求导公式求导即可．
本题考查了幂函数的求导公式，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：若数列{an}，{bn}都是等比数列，设其公比分别为q，p(q,p为常数)，
则an=a1qn−1,bn=b1pn−1，
所以当n≥2时，anbnan−1bn−1=pq，为常数，
由等比数列的定义知，数列{anbn}是以a1b1为首项，以pq为公比的等比数列，
故充分性成立；
若数列{anbn}是等比数列，设anbn=2n，
当an=1,n为奇数2,n为偶数，bn=2n,n为奇数2n−1,n为偶数时，满足anbn=2n，
但{an}，{bn}都不是等比数列，故必要性不成立．
所以“数列{an}、{bn}都是等比数列”是“数列{anbn}为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
根据等比数列的定义和通项公式可证明充分性成立，举例说明可证明必要性不成立，即可求解．
本题考查充分必要条件，考查等比数列的定义，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：实数a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，
集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，且{1,4}⊆{a1,a2,a3,a4,a5}，
当a1取最小值时，a2=4，a4=1，且q<0，
解得q=− 14=−12，
此时，a1=a2q=4−12=−8．
故选：D．
利用等比数列的性质得：当a1取最小值时，a2=4，a4=1，且q<0，由此能求出a1．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，数列{an}的前n项和为Sn=n2−10n，
当n=1时，有a1=S1=−9，
当n≥2时，有an=Sn−Sn−1=(n2−10n)−[(n−1)2−10(n−1)]=2n−11，
综合可得：an=2n−11，
则数列{an}是首项为−9，公差的2的等差数列，
依次分析选项：
对于A，数列{an}是公差的2的等差数列，是递增数列，A错误；
对于B，数列{an}是首项为−9，公差的2的等差数列，B正确；
对于C，当n≤5时，an=2n−11<0，此时Sn−Sn−1<0，{Sn}不是递增数列，C错误；
对于D，S9=92−90=−9<0，D正确．
故选：BD．
根据题意，由数列的前n项和公式推出数列的通项公式，结合等差数列的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及等差数列的性质，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：(lnxx2)′=1x⋅x2−lnx⋅(2x)x4=x−2lnxx3，A错误；
(x3−2x+1)′=3x2−2xln2，B正确；
(1 x−1−11+ x)′=(2x−1)′=−2(x−1)2，C正确；
[sin2(2x+π6)]′=2sin(2x+π6)⋅cs(2x+π6)⋅(2x+π6)′=4sin(2x+π6)⋅cs(2x+π6)=2sin(4x+π3)，D正确．
故选：BCD．
由已知结合函数的求导公式及求导法则检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A：若体验7天，方案①：50×7=350元，方案②：10+20+30+40+50+60+70=280元，方案③：1+2+4+8+16+32+64=127元，
∵350>280>127，∴体验7天，选择方案①，故A正确；
对于B：若体验8天，方案①：50×8=400元，方案②：10+20+30+40+50+60+70+80=360元，方案③：1+2+4+8+16+32+64+128=255元，
∵400>360>255，∴体验8天，选择方案①，故B错误；
对于C：若体验9天，方案①：50×9=450元，方案②：10+20+30+40+50+60+70+80+90=450元，方案③：1+2+4+8+16+32+64+128+256=511元，
∵511>450=450，∴体验9天，选择方案③，故C正确；
对于D：若体验10天，方案①：50×10=500元，方案②：10+20+30+40+50+60+70+80+90+100=550元，方案③：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023元，
∵1023>550>500，∴体验10天，选择方案③，故D正确．
故选：ACD．
根据等差数列和等比数列的求和公式，逐一分析选项，比较大小，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】16
【解析】解：由题意可得Δx→0limf(a+2Δx)−f(a−2Δx)Δx=4△x→0limf(a+2△x)−f(a−2△x)4△x=4f′(a)=4×4=16．
故答案为：16．
利用极限的运算性质以及导数的几何意义化简即可求解．
本题考查了极限的运算性质以及导数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】n(n+1)2
【解析】解：第n层有an个球，则a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，
结合高阶等差列的概念知：
a2−a1=2，a3−a2=3，a4−a3=4，⋅⋅⋅，an−an−1=n(n≥2)，
∴第n层小球的个数为：
an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋅⋅⋅+(a3−a2)+(a2−a1)+a1
=n+(n−1)+(n−2)+⋅⋅⋅+2+1
=n(n+1)2．
故答案为：n(n+1)2．
记第n层有an个球，则根据题意可得an−an−1=n(n≥2)，再根据累加法求解即可．
本题考查等差数列性质、累加法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】3600
【解析】解：由题意得，d=12(4+20)=12，
因为b，6，12成等比数列，所以b=3，
因为1，3，c成等差数列，所以c=5，
又1，a，4成等比数列，5，e，20成等比数列，
所以a=±2，e=±10，
因为a+e=12，
所以a=2，e=10，
故abcde=2×3×5×12×10=3600．
故答案为：3600．
由已知结合等差数列与等比数列的性质分别求出a，b，c，d，e，即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的应用，属于基础题．
15.【答案】解：(Ⅰ)∵x=20sin(3t−π2)=−20cs(3t)，
∴瞬时速度为x′=20sin(3t)⋅(3t)′=60sin(3t)，
∴小球在t=π4s时刻的速度为60sin3π4=30 2cm/s；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知小球的瞬时速度为x′=60sin(3t)，
∴小球的瞬时速度最大时sin(3t)=1，
解得3t=π2+2kπ，即l=π6+2kπ3，k∈Z，
∴最少经过π6s该小球的瞬时速度达到最大．
【解析】(Ⅰ)由题意可知，瞬时速度为x′=20sin(3t)⋅(3t)′=60sin(3t)，再令t=π4求解即可；
(Ⅱ)根据正弦函数的性质求解．
本题主要考查了导数的实际意义，属于基础题．
16.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，
∵a3a10=−40，S5=−20，
∴(a1+2d)(a1+9d)=−405a1+10d=−20，
解得a1=−8，d=2，
∴{an}的通项公式为an=−8+(n−2)×2=2n−10．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知Sn=−8n+n(n−1)2×2=n2−9n，
∵Snan<1，∴n2−9n2n−9<1，整理得(n−1)(n−10)2(n−5)<0，
∵n≥1，∴(n−5)(n−10)<0，解得5∴满足条件的n的取值集合为{6,7,8,9}．
【解析】(Ⅰ)根据等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程组，能求出结果；
(Ⅱ)利用等差数列的通项公式和前n项和公式化简单不等式，能求出结果．
本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ){an}是各项为正数的等比数列，其前n项和为Sn，a1=1，S3=7．
可得1+q+q2=7，解得q=2(−3舍去)，则an=2n−1；
(Ⅱ)数列{n⋅2n−1}的前n项和Tn=1⋅20+2⋅21+3⋅22+...+n⋅2n−1，
2Tn=1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+n⋅2n，
两式相减可得−Tn=1+2+22+...+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=(1−n)⋅2n−1，
则Tn=(n−1)⋅2n+1．
【解析】(Ⅰ)由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求；
(Ⅱ)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由an+1=−1an+1，a1=1，可得a2=−11+1=−12，a3=−11−12=−2，a4=−11−2=1，a5=−12，…，
数列{an}是最小正周期为3的数列，则a10=a1=1；
(Ⅱ)数列{nan}前30项和S30=(a1+4a4+7a7+...+28a28)+(a2+5a5+...+29a29)+(a3+6a6+9a9+...+30a30)
=(1+4+7+...+28)−12(2+5+8+...+29)−2(3+6+9+...+30)
=12×10×(1+28)−12×12×10×(2+29)−2×12×10×(3+30)=−5252．
【解析】(Ⅰ)由数列的递推式，计算前几项，推得数列{an}是最小正周期为3的数列，可得所求值；
(Ⅱ)运用数列的分组求和，结合数列的周期性，计算可得所求和．
本题考查数列的递推式和数列的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)∵an=n，∴a1=1，a2=2，a3=3，
∴M1=1，M2=2，M3=3，
∴m1=m2=m3，
∴b1=1，b2=32，b3=2．
(Ⅱ)证明：(充分性)当数列{an}是递增的等差数列时，设其公差为d，则d>0，
∵an>an−1>⋅⋅⋅>a1，∴Mn=an，mn=a1，
∴bn=an+a12，
∴bn+1−bn=an+1−an2−an+a12=d2>0，
∴数列{bn}是递增的等差数列，即充分性成立．
(必要性)当数列{bn}是递增的等差数列时，设其公差为d′，则d′>0，
∴bn+1−bn=Mn+1+mn+12−Mn+mn2=Mn+1−Mn2+mn+1−mn2=d′>0，
若an+10矛盾，
若an+1=an，则Mn+1=Mn，mn+1=mn，从而bn+1−bn=0，这与d′>0矛盾，
若an+1>an，则Mn+1>Mn，mn+1>mn，从而bn+1−bn>0，符合题意，
∴an>an−1，∴数列{an}是递增的等差数列，即必要性成立．
∴“数列{an}是递增的等差数列”是“数列{bn}是递增的等差数列”的充要条件．
【解析】(Ⅰ)由an=n，得a1=1，a2=2，a3=3，从而M1=1，M2=2，M3=3，进而m1=m2=m3，由此能求出b1，b2，b3．
(Ⅱ)当数列{an}是递增的等差数列时，推导出bn=an+a12，从而得到数列{bn}是递增的等差数列；当数列{bn}是递增的等差数列时，若an+1>an，则Mn+1>Mn，mn+1>mn，从而bn+1−bn>0，得到数列{an}是递增的等差数列．由此能证明“数列{an}是递增的等差数列”是“数列{bn}是递增的等差数列”的充要条件．
本题考查等差数列的性质、数列的单调性、最值、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．1
a
4
b
6
d
c
e
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