2022-2023学年陕西省榆林市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年陕西省榆林市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z=a2−1+(a+1)i是纯虚数，则实数a=( )
A. 1B. −1C. ±1D. 0
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是( )
A. 0.42B. 0.28C. 0.3D. 0.7
3.若向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行 3km”，则向量a+b表示( )
A. 向东北方向航行2kmB. 向北偏东30∘方向航行2km
C. 向正北方向航行(1+ 3)kmD. 向正东方向航行(1+ 3)km
4.从某班57名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将57名同学按01，02，…，57进行编号，然后从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为( )
(注：表中的数据为随机数表第1行和第2行)
A. 36B. 42C. 46D. 47
5.如图，已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图为△A′B′C′，若A′B′=12，A′C′=3，则△ABC的面积为( )
A. 3
B. 34
C. 32
D. 3 22
6.已知a=(12)3.1,b=3.112,c=lg12，则a，b，c的大小关系为( )
A. c7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的(参考数据： 10≈3.16)( )
A. 9.46倍B. 31.60倍C. 36.40倍D. 47.40倍
8.我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：lAB⏜=弦+2×矢2径，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.如图，已知扇形的面积为4π3，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为( )
A. 3+2B. 3 3+22C. 4 3+12D. 2 3+1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是( )
A. A与B互斥B. A与C互斥C. B与C独立D. B与D对立
10.以下说法正确的有( )
A. “x=0且y=0”是“xy=0”的充要条件
B. 若1a<1b<0，则a>b
C. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1<0”
D. 当x∈(0,π2)时，sinx+2sinx的最小值为2 2
11.已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中错误的有( )
A. α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//nB. l⊥β，α⊥β⇒l//α
C. m⊥α，m⊥n⇒n//αD. α//β，l⊥α⇒l⊥β
12.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2(参考公式：S2=π(r12+r22+r1l+r2l))和V2(V2=13πh(r12+r1r2+r22),其中h是高).则下列说法正确的是( )
A. l=r1+r2B. R= r1r2C. S1S2=V1V2D. S1S2的最大值为23
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复平面内复数z所对应的点为(2,−1)，则|z−+i|=______.
14.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示
则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是______.
15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是______.
16.如图，直径AB=2的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上，∠ADC=60∘，线段AC上有动点P，则DP⋅BA的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a=(4,3)，b=(−1,2).
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a−λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，sin2A+sinAsinC+sin2C=sin2B.
(1)求角B的大小；
(2)若a=5，b=7，求sinC.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(π12,0)，且图象上与点P最近的一个最低点是Q(−π6,−2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(α+π12)=38，且α为第三象限的角，求sinα+csα的值.
20.(本小题12分)
某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩；经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)的分组作出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；
(2)若按照分层随机抽样从成绩在[50,60),[90,100)的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[50,60)内的概率.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2x，g(x)=f(1−x)+f(1+x).
(1)判断函数g(x)的奇偶性并予以证明；
(2)若存在x使得不等式g(x)≥m−1成立，求实数m的最大值.
22.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，AA1=3，点M，N分别在棱CC1，AA1上，且C1M=13C1C,A1N=13A1A,CN与AM交于点O.
(1)求证：CN⊥平面ABM；
(2)求三棱锥B1−ABM的体积；
(3)求直线BC与平面ABM所成角的大小.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=a2−1+(a+1)i是纯虚数，
则a2−1=0a+1≠0，解得a=1.
故选：A.
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的
摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，
∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，
∴摸出黑球的概率是1−0.42−0.28=0.3，
故选：C.
在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1−0.42−0.28，得到结果．
本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．
3.【答案】B
【解析】解：如图，

易知tanα=1 3= 33，所以α=30∘.故a+b的方向是北偏东30∘.
又|a+b|=2km.
故选：B.
根据向量的方向，画出图形，利用向量的加法运算，计算结果．
本题主要考查向量的三角形法则，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，选出的第1个同学的编号为47，第2个同学的编号为43，第3个同学的编号为36，
第4个同学的编号为46.
故选：C.
根据题意，由随机数表分析数据，找到选出的第4个同学的编号，即可得答案．
本题考查简单随机抽样，涉及随机数表的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，直观图△A′B′C′中，∠C′A′B′=45∘，A′B′=12，A′C′=3，
则S△C′A′B′=12×3×12× 22=3 28，
则△ABC的面积S=2 2S△C′A′B′=32.
故选：C.
根据题意，求出直观图△A′B′C′的面积，由原图与直观图的面积关系分析可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于基础题.
根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 a,b,c 的取值范围，从而可得结果.
【解答】
解： ∵ a=123.1∈(0,1) ， b=3.112>1 ， c=lg12<0 ，
∴c故选：A.
7.【答案】B
【解析】解：记地震震级提高至里氏震级M+1，释放后的能量为E1，
由题意可知，lgE1−lgE=4.8+1.5(M+1)−(4.8+1.5M)=1.5，
即lgE1E=1.5，所以E1E=101.5=10 10≈31.60.
故选：B.
记地震震级提高至里氏震级M+1，释放后的能量为E1，由题意可推得lgE1−lgE=1.5，根据对数的运算，结合指对互化以及指数幂的运算，即可得出答案．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设扇形的圆心角为α，
由扇形面积公式可知12×22×α=4π3，所以α=2π3，
如图，取AB的中点C，连接OC，交AB于点D，
则OC⊥AB.易知∠OAD=π6，则OD=2sinπ6=1，
所以CD=2−1=1，AD=2csπ6= 3，AB=2AD=2 3，
所以扇形弧长的近似值为lAB⏜=弦+2×矢2径=AB+2CD22OA=4 3+12.
故选：C.
根据扇形的面积公式可得圆心角大小，进而根据弧长的近似计算公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，考查了扇形弧长的近似计算公式，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，事件A与事件B都包含事件(1,2)，所以不互斥，错误；
对于选项B，很明显事件A与事件C互斥，正确；
对于选项C，事件B的发生与事件C的发生没有关系，所以互不影响，相互独立，正确；
对于选项D，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，很明显不是对立事件，错误．
故选：BC.
根据互斥事件和对立事件的定义，即可判断正误．
本题考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，当x=0且y=0时，有xy=0；当xy=0时，x=0或y=0，得不出x=0且y=0.所以，“x=0且y=0”是“xy=0”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，由1a<1b<0可知ab>0，由不等式的性质，可得a>b成立，故B正确；
对于C，由存在量词命题的否定可知命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1<0”，故C正确；
对于D，令t=sinx∈(0,1)，因为t+2t在(0,1)上单调递减，所以t+2t>3，故D错误．
故选：BC.
分别判断充分条件和必要条件是否成立，即可判断A项；根据不等式的性质，即可判断B项；写出存在量词命题的否定，即可判断C项；换元t=sinx∈(0,1)，根据对勾函数的单调性，即可求出t+2t>3，即可判断D项．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了命题的否定，以及基本不等式的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A：若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B：若l⊥β，α⊥β，则l//α或l⊂α，故B错误；
对于C：若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错误；
对于D：α//β，l⊥α，易得l⊥β，故D正确．
故选：ABC.
根据线、面位置关系逐一判断得到相应的结果．
本题考查空间中线、面位置关系的判断，属基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A选项，取圆台的轴截面ABCD，则四边形ABCD为等腰梯形，
圆台的外接球球心为O，则球心O在截面ABCD内，
在截面ABCD内，设圆O切梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别于点E、F、G、H，
由切线长定理可得AE=AH，DG=DH，故AD=DH+AH=DG+AE，即l=r1+r2，A对；
对于B选项，连接OD、OA，因为AE=AH，AO=AO，OE=OH，
所以，△AOE≌△AOH，所以∠OAE=∠OAH，即∠OAH=12∠BAD，
同理可得∠ADO=12∠ADC，因为AB//CD，则∠BAD+∠ADC=180∘，
所以∠OAH+∠ADO=12(∠BAD+∠ADC)=12×180∘=90∘，故∠AOD=90∘，
由圆的切线的性质可知，OH⊥AD，所以∠DOH=90∘−∠ODH=∠OAD，
由tan∠DOH=tan∠OAD，可得DHOH=OHAH，
即OH2=DH⋅AH，即R2=r1r2，故R= r1r2，B对；
对于C选项，V2V1=13πh(r12+r1r2+r22)43πR3=π×2R(r12+r1r2+r22)4πR3=r12+r1r2+r222r1r2，
S1S2=π(r12+r22+r1l+r2l)4πR2=r12+r22+(r1+r2)24r1r2=r12+r22+r1r22r1r2，故S1S2=V1V2，C对；
对于D选项，因为r1≠r2，则S1S2=2r1r2r12+r22+r1r2=2r1r2+r2r1+1<22 r1r2⋅r2r1+1=23，D错．
故选：ABC.
作出圆台的轴截面，利用切线长定理可判断A选项；在截面ABCD内，设圆O切梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别于点 E、F、G、H，推导出tan∠DOH=tan∠OAD，可判断B选项；利用圆台、球体的表面积、体积公式可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项．
本题考查了台体和球体的表面积和体积公式的应用，属难题．
13.【答案】2 2
【解析】解：因为平面内复数z所对应的点为(2,−1)，
所以z=2−i⇒z−=2+i，
|z−+i|=|2+2i|= 4+4=2 2.
故答案为：2 2.
先求出z，再结合共轭复数的定义，复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
14.【答案】0.25
【解析】解：观察图表年降水量在[200,300](m,m)范围内有两部分
一部分在[200,250]，另一部分在[250,300]
年降水量在[200,300](m,m)范围内应该是[200,250与[250,300]两部分的概率和
所以年降水量在[200,300](m,m)范围内的概率=0.13+0.12=0.25
故答案为0.25
先根据频率分布表观察年降水量在[200,300](m,m)范围内有几种情形，然后将这几种情形的概率相交即可求出年降水量在[200,300](m,m)范围内的概率．
本题主要考查了频率分布表，以及等可能事件的概率问题，属于基础题．
15.【答案】45∘
【解析】解：设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，
则E(1,1,2)，F(1,0,1)，C(2,2,0)，D(2,0,0)，
则EF=(0,−1,−1)，CD=(0,−2,0)，
设EF和CD所成的角是θ，
则csθ=|EF⋅CD||EF|⋅|CD|= 22，
∴θ=45∘，
即异面直线EF与CD所成的角为45∘.
故答案为：45∘
以A为坐标原点建立空间坐标系，分别求出EF和CD的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．
本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，将异面直线夹角转化为向量是解答的关键．
16.【答案】1
【解析】解：设AP=λAC(0≤λ≤1)，
则DP=DA+AP=DA+λAC=DA+λ(DC−DA)=(1−λ)DA+λDC，
∵∠ADC=60∘，|DC|=|DA|=12|BA|=1，则DA⋅DC=|DA|⋅|DC|cs60∘=12，
所以，DP⋅BA=[(1−λ)DA+λDC]⋅2DA=2(1−λ)DA2+2λDA⋅DC
=2×12(1−λ)+2λ×12=2−λ∈[1,2].
因此，DP⋅BA的最小值为1.
故答案为：1.
设AP=λAC(0≤λ≤1)，可得出DP=(1−λ)DA+λDC，计算得出DA⋅DC=12，利用平面向量数量积的运算性质可得出DP⋅BA关于λ的表达式，结合λ的取值范围可求得DP⋅BA的最小值．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)a⋅b=−4+6=2，|a|= 42+32=5，|b|= (−1)2+22= 5.
∴cs=a⋅b|a||b|=25 5=2 525.
(2)a−λb=(4+λ,3−2λ)，2a+b=(7,8)，
又(a−λb)⊥(2a+b)，∴(a−λb)⋅(2a+b)=7(4+λ)+8(3−2λ)=0，
解得λ=529.
【解析】(1)利用cs=a⋅b|a||b|即可得出．
(2)(a−λb)⊥(2a+b)，可得(a−λb)⋅(2a+b)=0，解得λ.
本题考查了向量数量积运算法则、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵sin2A+sinAsinC+sin2C=sin2B，由正弦定理可知，a2+ac+c2=b2，
∴csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12，∵B∈(0,π)，∴B=2π3.
(2)∵a=5，b=7，则由余弦定理知b2=a2+c2−2accsB，
即72=52+c2−2×5ccs2π3，化简得c2+5c−24=0，解得c=3或c=−8(舍去).
由正弦定理知csinC=bsinB，则sinC=csinBb=3× 327=3 314.
【解析】(1)利用正弦定理结合余弦定理可求得csB，再结合角B的取值范围可求得角B的值；
(2)利用余弦定理可得出关于c的等式，解出c的值，再利用正弦定理可求得sinC的值．
本题主要考查三角形中的几何计算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(π12,0)，
且图象上与点P最近的一个最低点是Q(−π6,−2)，
∴A=2，T4=π2ω=π12+π6，∴ω=2.
再根据2π12+φ=kπ，k∈Z，求得φ=−π6，∴f(x)=2sin(2x−π6).
(2)∵f(α+π12)=38=2sin2α，∴sin2α=316.
∵α为第三象限的角，∴sinα+csα=− (sinα+csα)2=− 1+sin2α=− 194.
【解析】(1)由图象的顶点坐标求出A，由周期求ω，根据函数的零点求出φ，可得函数的解析式．
(2)由题意，利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，求得结果．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，三角函数的求值问题，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得，10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1，
所以a=0.020，
因为10×0.005=0.05，10×0.030=0.3，10×0.035=0.35，10×0.02=0.2，10×0.01=0.1，
所以成绩在80(分)以下的频率为0.05+0.3+0.35=0.7<0.8，
成绩在90(分)以下的频率为0.05+0.3+0.35+0.2=0.9>0.8，
所以第80百分位数p∈(80,90)，即p=80+10×0.8−
(2)因为[50,60),[90,100)的频率之比为0.005：0.010=1：2，
所以从[50,60)中随机抽取6×13=2人，从[90,100)中随机抽取6×23=4，
从[50,60)中抽取的2人记为a，b，从[90,100)中抽取的4人记为1，2，3，4，
从这6人中随机抽取2人的样本空间为Ω={12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab}，共有15个样本点，
设事件A表示“至少有1人的成绩在[50,60)内”，
则A={1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab}共有9个样本点，
所以至少有1人在[50,60)内的概率为P(A)=915=35.
【解析】本题考查了频率分布直方图的应用、百分位数的定义以及古典概型概率公式的运用，属于基础题．
(1)利用频率之和为1，列式求a，由百分位数的定义求解第80百分位数即可；
(2)先求出从[50,60)和[90,100)中抽取的人数，然后利用列举法求出总的基本事件数以及符合条件的基本事件数，由古典概型的概率公式求解即可．
21.【答案】解：(1)函数g(x)为偶函数，证明如下：
g(x)=f(1−x)+f(1+x)=lg2(1−x)+lg2(1+x)，
由1−x>01+x>0，解得−1∴g(x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，
∵g(−x)=lg2(1+x)+lg2(1−x)=g(x)，
∴g(x)为偶函数．
(2)若存在x使得不等式g(x)≥m−1成立，
∴g(x)max≥m−1，
而g(x)=lg2(1−x)+lg2(1+x)=lg2(1−x2)，x∈(−1,1)，
∵函数y=1−x2在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
∴函数g(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
∴g(x)max=g(0)=0，
∴m−1≤0，即m≤1，
∴实数m的最大值为1.
【解析】(1)根据函数的奇偶性的定义判断并证明即可；
(2)转化问题为g(x)max≥m−1，进而根据函数g(x)的单调性求解即可．
本题主要考查函数的最值，函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】(1)证明：如图，连接MN.
∵AA1=CC1=3，且C1M=13CC1,A1N=13AA1，
∴CM=AN=AC=2
∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，
∴四边形ANMC是正方形，
∴AM⊥CN.∵AB⊥AC，AC∩AA1=A，
又AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴AB⊥平面ACC1A1，
∵CN⊂平面ACC1A1，∴AB⊥CN.
又∵AB∩AM=A，∵AM⊂平面ABM，AB⊂平面ABM
∴CN⊥平面ABM.
(2)解：∵AC⊥AB，且三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
∴AC⊥平面ABB1A1，
又∵MN//AC，
∴点M到平面ABB1的距离即为AC=2.
则VB1−ABM=VM−ABB1=13×12×2×3×2=2.
(3)解：如图，连接BO.
由(1)知，CN⊥平面ABM，
∴∠CBO是直线BC与平面ABM所成的角．
由勾股定理得CO=12 22+22= 2,BC= 22+22=2 2，
则sin∠CBO=COBC= 22 2=12，得∠CBO=30∘，
故直线BC与平面ABM所成的角为30∘.
【解析】(1)根据线面垂直判定定理证明即可；
(2)转化应用锥体的体积公式计算可得；
(3)应用线面角定义先找到角再求正弦值计算求解．
本题主要考查线面垂直的证明，棱锥体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．0347
4373
8636
9647
3661
4698
6371
6297
7424
6292
4281
1457
2042
5332
3732
1676
年降水量(mm)
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300]
概率
0.21
0.16
0.13
0.12