2023-2024学年浙江省台州市八校联盟高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省台州市八校联盟高一（上）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，则A∩B=( )
A. {3,4,5}B. {1,3,5,7}C. {2,4,6}D. {1,2,3,4,5,6,7}
2.已知f(x)=x2+2x,x<32x−2,x≥3，则f(f(1))=( )
A. 3B. 2C. 0D. −2
3.命题“∀x∈R，x2+3x>0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2+3x≤0B. ∀x∈R，x2+3x<0
C. ∃x∈R，x2+3x≤0D. ∃x∈R，x2+3x<0
4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. y=1xB. y=x+1
C. y=|x|D. y=x2+x,x≥0−x2+x,x<0
5.已知y=x2+3x+1，x∈[−2,1]，则y的取值范围为( )
A. [−1,5]B. [−54,−1]C. [−54,5]D. [−54,+∞)
6.下列结论正确的是( )
A. 当x>0且x≠1时，x+1x的最小值为2
B. 当x>1时， x+1 x的最小值为2
C. 当x≠0时，x+1x的最小值为2
D. 当x≠0时，x2+1x2的最小值为2
7.不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3A. a+b+c<0
B. 9a+3b+c>0
C. 不等式cx2+ax+b>0的解集为{x|−13D. 不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|x>12，或x<−13}
8.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x)=2f(x−2)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x).若对任意x∈(−∞,m]，都有f(x)≤3，则m的取值范围是( )
A. (−∞,52]B. (−∞,72]C. (−∞,92]D. (−∞,112]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列元素与集合的关系中，正确的是( )
A. −1∈NB. 0∉N*C. 2∉QD. π∉Q
10.已知a>b>c，ca<0，bc>0则下列不等式一定正确的是( )
A. abacC. ab>acD. ab211.已知函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数，f(1)=−1，则满足|f(x2−1)|≤1的x值可能为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
12.已知函数f(x)=x2+2ax+11,x≤2a1−x,x>2满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，则实数a的值可能为( )
A. −3B. −2C. −1D. 0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=1x+ x−4的定义域为______ ．
14.已知b，c∈R，则“b=0”是“函数f(x)=x2+bx+c为偶函数”的______ 条件.(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”或“既不充分也不必要”)
15.已知当x>0时，关于x的不等式ax2−x+a≤0有解，则a的最大值为______ ．
16.用max{a,b}表示a，b两个数中的最大值，设函数f(x)=max{|x|+4,6x−x}(x>0)，若f(x)≥m+2恒成立，则m的最大值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|−2(1)若m=2，求A∩(∁RB)；
(2)若A∩B=A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知a=2x2+3x+2，b=x2−x−2，比较a，b的大小并说明原因；
(2)已知a>0，b>0，且a+b=1，求1b+ba的最小值．
19.(本小题12分)
已知二次函数f(x)对应方程f(x)=0的解分别为1和3，且f(0)=−3．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x)>1−m2(m∈R)．
20.(本小题12分)
下表为某市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米)．
(1)试写出用户所交水费为y(元)与用水量为x(立方米)的函数关系式；
(2)若某户居民一年交水费1110元，求其中水资源费和污水处理费分别为多少？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+b9−x2是定义在(a,b+3)上的奇函数．
(1)求实数a和b的值；
(2)判断函数f(x)在(a,b+3)上的单调性，并证明你的结论；
(3)f(m2−1)+f(m−1)>0，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x2−ax+a2−4，g(x)=x2−x+a2−314，(a∈R)
(1)当a=1时，解不等式f(x)>g(x)；
(2)若任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)若∀x1∈[0,1]，∃x2∈[0,1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，
则A∩B={3,4,5}．
故选：A．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)=x2+2x,x<32x−2,x≥3，
则f(1)=1+2=3，
则f(f(1))=f(3)=23−2=2．
故选：B．
根据题意，由函数的解析式求出f(1)的值，进而计算可得答案．
本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：“∀x∈R，x2+3x>0”的否定是：∃x∈R，x2+3x≤0．
故选：C．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A项，函数y=1x是奇函数，但是y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，
在定义域上不具有单调性，不符合题意；
对于B项，函数y=f(x)=x+1在R上单调递增，但是f(−x)=−x+1，而−f(x)=−x−1，
故y=x+1不是奇函数，不符合题意；
对于C项，设f(x)=|x|，因为f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，且定义域为R，
所以函数y=|x|是偶函数，不符合题意；
对于D项，函数y=f(x)=x2+x,x≥0−x2+x,x<0，
f(−x)=−x2−x,x≥0x2−x,x<0=−f(x)，所以f(x)为奇函数，
f(x)的图象如图：
故y=x2+x,x≥0−x2+x,x<0既是奇函数，又是增函数，符合题意．
故选：D．
结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：y=x2+3x+1，开口向上，对称轴方程为x=−32，
因为x∈[−2,1]，−32∈[−2,1]，
所以f(x)min=f(−32)=(−32)2+3×(−32)+1=−54，
又因为|1−(−32)|>|−2−(−32)|，所以f(x)max=f(1)=12+3×1+1=5．
故函数的值域为[−54,5]．
故选：C．
由函数的解析式，求出对称轴方程，求出函数在所给区间的最值．
本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：x>0且x≠1时，x+1x>2，A错误；
当x>1时，t= x>1，y=t+1t>2，B错误；
当x<0时，C显然错误；
当x≠0时，x2>0，x2+1x2≥2 x2⋅1x2=2，当且仅当x2=1x2，即x2=1时取等号，D正确．
故选：D．
结合对勾函数单调性检验选项A，B，举出反例检验选项C，结合基本不等式检验选项D．
本题主要考查了基本不等式应用条件的检验，还考查了函数单调性的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：记f(x)=ax2+bx+c，因为1∈{x|−30，故A错误；
因为3∉{x|−3由题知−3和2是方程ax2+bx+c=0的两个实根，所以−ba=−3+2=−1，ca=−3×2=−6，且a<0，
解得b=a，c=−6a，故cx2+ax+b=−a(6x2−x−1)>0⇔6x2−x−1>0⇔x>12或x<−13，C错误；
cx2+bx+a=−a(6x2−x−1)>0⇔6x2−x−1>0⇔x>12或x<−13，D正确．
故选：D．
赋值法可解AB，消去参数可解CD．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x)=2f(x−2)，
且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x)=−(x−1)2+1∈[0,1]，
当x∈(2,4]时，x−2∈(0,2]，
则f(x)=2f(x−2)=2(x−2)[2−(x−2)]=−2(x−3)2+2∈[0,2]，
当x∈(4,6]时，x−4∈(0,2]，
则f(x)=4f(x−4)=4(x−2−2)[4−(x−2)]=−4(x−5)2+4∈[0,4]，
当x∈(−2,0]时，x+2∈(0,2]，
则f(x)=12f(x+2)=12(x+2)(−x)=−12(x+1)2+12∈[0,12]，
作出函数f(x)的大致图象，如图所示：
对任意x∈(−∞,m]，都有f(x)≤3，
设m的最大值为t，
则f(t)=3，
所以−4(t−5)2+4=3，解得t=92或t=112，
结合图象知m的最大值为92，
即m的取值范围是(−∞,92].
故选：C．
根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得．
本题考查了求分段函数的解析式、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为−1不是自然数，所以A错误；
对于B，因为0不是正整数，所以B正确：
对于C，因为 2不是有理数，所以C正确；
对于D，因为π不是有理数，所以D正确．
故选：BCD．
根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可．
本题主要考查元素和集合之间的关系，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵a>b>c，ca<0，
∴a>0>c，
又bc>0，
∴b<0，即a>0>b>c，①
∴abac，A正确，C正确；
ab由①得，b2故选：ACD．
利用不等式的性质，对各选择逐一分析可得答案．
本题考查不等关系与不等式，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为函数f(x)在R上单调递减，且为奇函数，f(1)=−1，则f(−1)=−f(1)=1，
|f(x2−1)|≤1可转化为−1≤f(x2−1)≤1，
所以−1≤x2−1≤1，
解得− 2≤x≤ 2．
故选：ABC．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：因为f(x)=x2+2ax+11,x≤2a1−x,x>2满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，
所以f(x)在R上单调递减，
所以−a>0−a≥24+4a+11≥a1−2，解得−3≤a≤−2．
故选：AB．
由已知得，f(x)在R上单调递减，然后结合分段函数的性质即可求解．
本题主要考查了二次函数及反比例函数单调性的应用，还考查了分段函数性质的应用，属于中档题．
13.【答案】[4,+∞)
【解析】解：要使函数有意义，则x−4≥0x≠0，
即x≥4，
故函数的定义域为[4,+∞)．
故答案为：[4,+∞)．
根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题．
14.【答案】充要
【解析】解：若b=0，根据二次函数的性质可知，f(x)=x2+c为偶函数，
若函数f(x)=x2+bx+c为偶函数，则对称轴x=−b2=0，即b=0，
故“b=0”是“函数f(x)=x2+bx+c为偶函数”的充要条件．
故答案为：充要．
由已知结合二次函数的性质检验充分及必要性即可．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了函数奇偶性的判断及应用，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：关于x的不等式ax2−x+a≤0在x∈(0,+∞)有解，
即a(x2+1)≤x在x∈(0,+∞)有解，也即a≤xx2+1在x∈(0,+∞)有解，
记f(x)=xx2+1，x>0，则a≤f(x)max，
因为x>0，所以f(x)=xx2+1=1x+1x≤12 x⋅1x=12，
当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，所以a≤12，即a的最大值为12．
故答案为：12．
分离参数，转化为求解函数f(x)=xx2+1的最值问题，利用基本不等式求解即可．
本题考查不等式有解，考查基本不等式，属于中档题．
16.【答案】3
【解析】解：因为x>0，由x+4≥6x−x，得x≤−3或x≥1，
则f(x)=max{|x|+4,6x−x}=x+4,x≥16x−x,0当x≥1时，f(x)≥5；
当05，
综上，当x>0时，f(x)≥5，
又因为f(x)≥m+2恒成立，
即5≥m+2，解得m≤3，
则m的最大值是3．
故答案为：3．
根据定义，得到分段函数，再求f(x)的最小值即可求解．
本题属于新概念题，考查了幂函数、一次函数及复合函数的单调性，属于基础题．
17.【答案】解：(1)当m=2时，B={x|0∴∁RB={x|x≤0或x≥4}，
∴A∩(∁RB)={x|−2(2)∵A∩B=A，∴A⊆B，
∴2−m≤−22+m≥3，
解得m≥4，
即实数m的取值范围为[4,+∞)．
【解析】(1)利用集合的基本运算求解；
(2)由A∩B=A可得A⊆B，进而列出不等式组，求出m的取值范围．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)a−b=x2+4x+4=(x+2)2≥0，
∴a≥b．
(2)由题可知1b+ba=a+bb+ba=1+ab+ba≥1+2 ab⋅ba=3，
当且仅当ab=ba，即a=b=12时，等号成立，
∴1b+ba的最小值为3．
【解析】(1)利用作差比较即可判断；
(2)利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了比较法的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由已知可设f(x)=a(x−1)⋅(x−3)(a≠0)，
又因为f(0)=−3，所以3a=−3，
即a=−1，
所以f(x)=−x2+4x−3；
(2)由(1)知f(x)=−x2+4x−3，
由题意可得−x2+4x−3>1−m2，
即x2−4x+4−m2<0，整理可得(x+m−2)(x−m−2)<0，
因为方程(x+m−2)(x−m−2)=0的根为2+m，2−m，
当2+m=2−m，即m=0时，不等式为(x−2)2<0，不等式的解集为⌀；
当2−m<2+m，即m>0时，则不等式的解集为(2−m,2+m)；
当2−m>2+m，即m<0，则不等式的解集为(2+m,2−m)．
综上所述：当m=0，不等式的解集为⌀；
当m>0，不等式的解集(2−m,2+m)；
当m<0，不等式的解集(2+m,2−m)．
【解析】(1)由题意设两根式函数的解析式，由f(0)=−3，可得参数的值，即求出函数的解析式；
(2)比较方程的两根的大小，分类讨论可得不等式的解集．
本题考查分类讨论求出二次不等式的解集及二次函数的解析式的求法，属于基础题．
20.【答案】解：(1)依题意，当0≤x≤180时，y=5x，
当180当260所以，用户所交水费为y(元)与用水量为x(立方米)的函数关系式是：
y=5x,x∈[0,180]7x−360,x∈(180,260]9x−880,x∈(260,+∞)；
(2)当5x=1110时，则x=220∉[0,180]，不符合题意，
当7x−360=1110时，则x=210∈(180,260)，符合题意，
当9x−880=1110时，则x=19909∉(260,+∞)，不符合题意，
所以x=210，
则水资源费为1.5×210=315元，污水处理费为1.4×210=294元．
【解析】(1)根据水价表可写出函数解析式即可；
(2)由所交水费计算出用水量，再计算水资源费和污水处理费即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题已知f(0)=b=09a+b+3=0，解得a=−3，b=0；
(2)由(1)知f(x)=−3x9−x2，定义域为(−3,3)，
函数f(x)在(−3,3)上单调递减，理由如下：
∀x1，x2∈(−3,3)，且x1则f(x1)−f(x2)=−3x19−x1^−−3x29−x2^=(x1−x2)(3x1x2−27)(9−x12)(9−x22)
∵−3∴9−x12>0，9−x22>0，x1−x2<0，3x1x2−27<0，
∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(−3,3)上单调递减．
(3)∵f(x)为奇函数，f(m2−1)+f(m−1)>0，
∴f(m2−1)>−f(m−1)=f(1−m)，
又由(2)知f(x)在(−3,3)上单调递减，
∴m2−1<1−m−3【解析】(1)由已知结合奇函数定义及性质即可得关于a，b的方程，可求；
(2)任取x1，x2∈(−3,3)，且x1(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数奇偶性的应用，还考查了函数单调性的判断及函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)a=1时，f(x)=2x2−x−3，g(x)=x2−x−274，
所以f(x)−g(x)=x2+154>0，
所以f(x)>g(x)，
所以f(x)>g(x)的解集为R；
(2)若对任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，即x2+(1−a)x+154>0在x>0恒成立，
解一：设h(x)=x2+(1−a)x+154，x>0，
则函数h(x)的对称轴为x=a−12，由题意，只须h(x)min>0，
①当a−12≤0，即a≤1时，h(x)在(0,+∞)上单调递增，所以h(x)>h(0)=154，符合题意，所以a≤1；
②当a−12>0，即a>1时，h(x)在(0,a−12)上单调递城，在(a−12,+∞)单调递增，
所以h(x)>h(a−12)=−(a−1)24+154>0，解得1− 151，所以1综上a<1+ 15，
即实数a的取值范围为：(−∞,1+ 15)；
解二：不等式可化为(a−1)x0)，
即a−1设k=x+154x，x>0由题意，只须a−1根据基本不等式，可知k=x+154x≤2 x⋅154x= 15，
即kmin= 15，当且仅当x= 152时，等号成立，
所以a−1< 15，a<1+ 15，
即实数a的取值范围为：(−∞,1+ 15)；
(3)若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[0,1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，
即只需满足f(x)min>g(x)min，x∈[0,1]，
因为g(x)=x2−x+a2−314，对称轴x=12，
所以g(x)在[0,12)递减，在(12,1]递增，
所以g(x)min=g(a2)=a2−8，
f(x)=2x2−ax+a2−4，x∈[0,1]，对称轴x=a4，
①a4≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]递增，f(x)min=f(0)=a2−4>g(x)min=a2−8恒成立；
②0所以f(x)min=f(a4)=78a2−4，g(x)min=a2−8，
所以78a2−4>a2−8，
故0③a4≥1，即a≥4时，f(x)在[0,1]递减，
所以f(x)min=f(1)=a2−a−2，g(x)min=a2−8，
所以a2−a−2>a2−8，解得4≤a<6，
综上：实数a的取值范围为(−∞,6)．
【解析】(1)将a=1代入，根据f(x)−g(x)>0求解即可；
(2)由题意可得x2+(1−a)x+154>0在x>0恒成立，
解一：利用二次函数的性质求解即可；
解二：将问题转化为a−1(3)由题意可得f(x)min>g(x)min，结合二次函数的性质，分别求出函数f(x)，g(x)的最小值，再代入求解即可．
本题考查了二次函数的性质、转化思想、分类讨论思想及基本不等式的应用，属于中档题．阶梯
户年用水量(立方米)
水价
其中
自来水费
水资源费
污水处理费
第一阶梯
0～180(含)
5.00
2.1
1.5
1.4
第二阶梯
180～260(含)
7.00
4.1
第三阶梯
260以上
9.00
6.1