2023-2024学年陕西省西安市周至四中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市周至四中高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1}，B={x|−1≤x<1}，则A∩B=( )
A. {0}B. {−1,0}C. {0,1}D. {−1,0,1}
2.命题：“∀x∈R，x2−x+2≥0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2−x+2≥0B. ∀x∈R，x2−x+2≥0
C. ∃x∈R，x2−x+2<0D. ∀x∈R，x2−x+2<0
3.已知向量a=(2,1),b=(x,−2)，若a//b，则a+b=( )
A. (−2,−1)B. (2,1)C. (3,−1)D. (−3,1)
4.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A. y=|x|+1B. y=−x3C. y=−x2+1D. y=−2x
6.函数y=1 x2−4的定义域为( )
A. (−∞,2)B. (2,+∞)
C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
7.△ABC中，若C=30°，a=8，b=8 3，则S△ABC等于( )
A. 32 3B. 12 3C. 32 3或16 3D. 16 3
8.不等式ax2−x+c>0的解集为{x|−2A. B.
C. D.
9.一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为12,13,14，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为 ( )
A. 124B. 1124C. 1724D. 1
10.已知实数x、y满足x>0、y>0，且2x+1y=1，则x+2y的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
11.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是36，点E在棱CC1上，且CE=2EC1，则三棱锥E−BCD的体积是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
12.已知甲、乙两组是按大小顺序排列的数据.甲组：27，28，37，m，40，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则mn等于( )
A. 127B. 107C. 43D. 74
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.i是虚数单位，复数3+2i1−i= ______．
14.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取______件.
15.已知向量a，b满足(a−2b)⋅(a+b)=−8，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为______．
16.已知2tanθ−tan(θ+π4)=7，则tanθ= ．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设f(x)=−x,x≤−1x2−1,−1(1)求f(f(f(0)))的值；
(2)若f(t)=2，求t值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2ax+3.x∈[−4,6]．
(1)当a=−2时，求f(x)的最值；
(2)使y=f(x)在区间[−4,6]上是单调函数，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
我校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间分别是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的平均数，众数和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数)．
20.(本小题12分)
在如图所示的四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点．
(1)求证：CE/​/平面PAB
(2)求证：平面PAC⊥平面PDC
21.(本小题12分)
计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
22.(本小题12分)
已知a→=(2sinx,cs2x)，b→=( 3csx,2)，f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
【解答】
解：∵A={−1,0,1}，B={x|−1≤x<1}，
∴A∩B={−1,0}．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：利用含量词的命题的否定形式得到：
命题：“∀x∈R，x2−x+2≥0”的否定是
“∃x∈R，x2−x+2<0”
故选C
利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．
考查含有全称量词的命题的否定．注意与否命题的区别．
3.【答案】A
【解析】解：∵a=(2,1),b=(x,−2)，且a//b，
∴2×(−2)−x=0，解得x=−4，
故b=(−4,−2)，a+b=(−2,−1)．
故选：A．
由向量平行易得2×(−2)−x=0，解之可得向量b的坐标，由向量的坐标运算可得答案．
本题考查向量的坐标运算以及向量平行的充要条件，属基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．
直接运用充分条件、必要条件的定义结合举反例判断即可．
【解答】
解：因为a，b都是实数，由a>b，不一定有a2>b2，
如−2>−3，但(−2)2<(−3)2，
所以“a>b”是“a2>b2”的不充分条件；
反之，由a2>b2也不一定得a>b，
如(−3)2>(−2)2，但−3<−2，
所以“a>b”是“a2>b2”的不必要条件．
故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
A选项，f(x)=|x|+1的定义域为(−∞,+∞)，
故f(−x)=|−x|+1=|x|+1=f(x)，故f(x)=|x|+1为偶函数，A错误；
B选项，y=−x3，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递减，B正确；
C选项，g(x)=−x2+1的定义域为R，且g(−x)=−(−x)2+1=−x2+1=g(x)，
故g(x)=−x2+1为偶函数，C错误；
D选项，y=−2x在(0,+∞)上单调递增，D错误．
故选：B．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、单调性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：依题意，x2−4>0，解得x<−2或x>2，
∴函数的定义域为(−∞,−2)∪(2,+∞)．
故选：D．
依题意，直接接不等式x2−4>0，即可求得定义域．
本题考查函数定义域的求法，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：△ABC中，∵C=30°，a=8，b=8 3，
∴S△ABC=12absinC=12×8×8 3×12=16 3．
故选：D．
利用三角形的面积公式S△ABC=12absinC可求得答案．
本题考查正弦定理的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，属于中档题．
由条件可得a<0，x2−1ax+ca<0的解集为{x|−2【解答】
解：∵不等式ax2−x+c>0的解集为{x|−2故x2−1ax+ca<0的解集为{x|−2∴−2和1是方程x2−1ax+ca=0的两个根，故−2+1=1a，−2×1=ca，解得a=−1，c=2．
故函数y=ax2+x+c=−x2+x+2=−(x+1)(x−2)，其图象为C．
故选C．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，以及互斥事件，属于基础题．
根据题意，只有一人解出的事件包含：A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出；这三个事件互斥，而三人解出答案是相互独立的，进而计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，只有一人解出的事件包含三个互斥的事件：
A解出而其余两人没有解出，
B解出而其余两人没有解出，
C解出而其余两人没有解出，
而三人解出答案是相互独立的，
则P(只有一人解出试题)
=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14
=1124，
故选：B．
10.【答案】D
【解析】解：∵x>0，y>0，且2x+1y=1，
∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+2 4yx⋅xy=8，
当且仅当4yx=xy时等号成立．
故选：D．
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
11.【答案】C
【解析】解：根据题意可得VE−BCD=23VC1−BCD=23×12VC1−ABCD=23×12×13V长方体ABCD−A1B1C1D1=19×36=4，
故选：C．
根据化归转化思想，锥体体积公式，柱体体积公式即可求解．
本题考查化归转化思想，锥体体积公式，柱体体积公式，属基础题．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查百分位数的定义，同时考查了学生的计算能力，属于基础题．
利用百分位数的定义求解．
【解答】
解：因为30%×6=1.8，50%×6=3，
所以第30百分位数为n=28，第50百分位数为37+m2=34+432，
解得m=40，
所以mn=4028=107．
故选：B．
13.【答案】12+52i
【解析】解：3+2i1−i=(3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+52i．
故答案为：12+52i．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
14.【答案】12
【解析】解：由题意知分层比为2：4：3：1，且总抽量为60件．
故甲产品应抽60×210=12件．
故答案为：12．
利用分层抽样的定义直接求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
15.【答案】π3
【解析】解：因为(a−2b)⋅(a+b)=−8，且|a|=1，|b|=2，
所以a2−a⋅b−2b2=−8，即12−a⋅b−2×22=−8，解得a⋅b=1，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=12，又〈a,b〉∈[0,π]，所以〈a,b〉=π3．
故答案为：π3．
根据数量积的运算律求出a⋅b，再由夹角公式计算可得．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】2
【解析】【分析】
利用正切的和角公式化简，然后解方程即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到一元二次方程的求解，属于基础题．
【解答】
解：因为2tanθ−tan(θ+π4)=7，
则2tanθ−1+tanθ1−tanθ=7，即tan2θ−4tanθ+4=0，
所以(tanθ−2)2=0，解得tanθ=2，
故答案为：2．
17.【答案】解：(1)f(f(f(0)))=f(f(−1))=f(1)=0．
(2)当t≤−1时，f(t)=−t=2，∴t=−2；
当−1当t≥2时，f(t)=t=2，∴t=2，
综上所述：t=−2或t= 3或t=2．
【解析】(1)根据分段函数的特征可计算f(f(f(0)))=0；
(2)就t的不同取值范围构建不同的方程后可求t的值．
本题考查函数求值，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当a=−2时，f(x)=x2−4x+3=(x−2)2−1，由于x∈[−4,6]，
∴f(x)在[−4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．
∴f(x)的最小值是f(2)=−1．
又f(−4)=35，f(6)=15，
故f(x)的最大值是35．
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x=−a，⇒
所以要使f(x)在[−4,6]上是单调函数，
应有−a≤−4，或−a≥6，
即a≤−6，或a≥4．
【解析】(1)根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
(2)求出函数的对称轴，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，得10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1，
解得a=0.005；
(2)这100名学生语文成绩的平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分)；
数据最多的在第二组，则众数为60+702=65(分)；
∵这100名学生语文成绩在[50,70)的频率为(0.005+0.04)×10=0.45，
这100名学生语文成绩在[70,80)的频率为0.03×10=0.3，
∴这100名学生语文成绩的中位数为70+10×0.5−0.450.3≈71.7(分)．
【解析】(1)根据长方形面积之和为1可解；
(2)根据(1)所求，再按照平均数，众数，中位数求解方法进行计算即可．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与中位数的计算问题，是基础题．
20.【答案】证明：(1)取PA的中点M，连接BM，ME，

由于M，E为中点，则ME/​/AD，且ME=12AD，
因为BC/​/AD，且BC=12AD，
所以ME/​/BC，且ME=BC，
所以四边形MECB是平行四边形，
所以BM/​/CE，
又CE⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，
所以CE/​/平面PAB；
(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥DC，
又AC2=AB2+BC2=2，CD2=AB2+(AD−BC)2=2，
故AC 2+CD2=AD2，
所以DC⊥AC，
因为AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，
所以DC⊥平面PAC，又DC⊂平面PDC，
所以平面PAC⊥平面PDC．
【解析】(1)根据中点关系可证明四边形MECB是平行四边形，即可根据线线平行求证，
(2)根据勾股定理可证明DC⊥AC，根据线面垂直的性质可得PA⊥DC，即可根据线面垂直的判定求解．
本题考查线面平行的证法及面面垂直的证法，属于中档题．
21.【答案】解：(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，
“丙获得‘合格证书’”为事件C，
则P(A)=45×12=25,P(B)=34×23=12,P(C)=23×56=59
从而P(A)所以丙获得“合格证书”的可能性大…(7分)
(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，
则甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率为：
P(D)=P(ABC−)+P(AB−C)+P(A−BC)=25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．
【解析】(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，“丙获得‘合格证书’”为事件C，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲、乙、丙三人获得合格证书的概率，由此得到丙获得“合格证书”的可能性大．
(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率．
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22.【答案】解：(1)a→=(2sinx,cs2x)，b→=( 3csx,2)，
由f(x)=a→⋅b→=2 3sinxcsx+2cs2x
= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ+π2⩽2x+π6⩽3π2+2kπ,k∈Z，
得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；
(2)由x∈[0,π2]可得：2x+π6∈[π6,7π6],
当2x+π6=7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0,
当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3,
故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．
【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
(1)由f(x)=a⋅b，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
(2)在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f(x)的最大值和最小值．