2023-2024学年陕西省汉中市西乡一中高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省汉中市西乡一中高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=1 2x−3的定义域是
( )
A. (0,32)B. [32,+∞)C. (−∞,32]D. (32,+∞)
2.已知集合A={1,3,4,5}，集合B={0,1,2,3}，则A∩B的真子集个数为( )
A. 3B. 4C. 7D. 8
3.下列不等式中正确的是( )
A. a+4a≥4B. a2+b2≥4abC. ab≥a+b2D. x2+3x2≥2 3
4.A={x|0≤x≤2}，下列图象中能表示定义域和值域都是A的函数的是( )
A. B.
C. D.
5.已知f(12x−1)=2x−5，且f(a)=6，则a等于( )
A. −74B. 74C. 43D. −43
6.已知函数y=f(x)的关系如表：
则下列结论正确的是( )
A. f(f(4))=3B. f(x)的值域是{1,2,3,4}
C. f(x)的值域是[1,4]D. f(x)在区间[4,8]上单调递增
7.若集合A={3,a2}，B={2,4}，则“a=2”是“A∩B={4}”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，则不等式f(2x−1)>f(3)的解集为( )
A. (−2,1)B. (−1,2)
C. (−∞,−2)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(2,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中不正确的是( )
A. 0与{0}表示同一个集合
B. 集合{1,2,3}与{3,2,1}是两个相同的集合
C. 方程(x−1)2(x−2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}
D. 集合{x|410.已知a>b>0，则下列不等式中一定成立的有( )
A. ab>0B. ac>bcC. 1a<1bD. a2>b2
11.如果函数f(x)=x2−2ax+2在区间(−∞,1]上是减函数，则实数a的值可以是( )
A. 0B. 1C. 2D. −1
12.下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域可以是空集
B. 函数y=f(x)图像与直线x=1最多有一个交点
C. f(x)=x2−2x+1与g(t)=t2−2t+1是两个不同的函数
D. 若f(x)=x−6,x≥7f(x+2),x<7，则f(4)=2
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知集合A={1,2,4}，集合B={2,3,4}，则A∩B=______．
14.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,4)，则f(5)= ．
15.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+1，则f(−1)= ______ ．
16.已知x>1，求y=x2+x+1x−1的最小值______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
集合A={x|3(1)求A⋂B，A⋃B；
(2)求(∁RA)⋂B．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x,x≥2x2−3,x<2．
(1)求f(6)，f(−1)的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出y=f(x)的简图(不用列表)．
19.(本小题12分)
(1)已知函数f(x)是一次函数，且f(0)=1，f(x+1)−f(x)=2，求f(x)的解析式．
(2)已知f( x)=x+2 x，求f(x)的解析式．
20.(本小题12分)
已知命题p：x∈[1,3]；命题q：m(1)若命题p是命题q的充分条件，求m的取值范围；
(2)当m=2时，已知p且q是假命题，p或q是真命题，求x的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−x+m．
(1)当m=−2时，解不等式f(x)>0；
(2)若m>0，f(x)<0的解集为{x|a22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−ax+a，x∈[2,4]的最小值为φ(a)．
(1)求φ(a)的解析式；
(2)若φ(m+1)>φ(2m−3)，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，属于基础题．
直接由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0求解得答案．
【解答】
解：由2x−3>0，得x>32，
∴函数f(x)=1 2x−3的定义域是：(32,+∞)．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：∵集合A={1,5,3,4}，B={0,1,2,3}，
∴集合A∩B={1,3}，
∴A∩B的真子集的个数为：22−1=4−1=3．
故选：A．
求出集合A∩B={1,3}，由此能求出A∩B的真子集的个数．
本题考查交集的真子集的个数的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．
【解答】
解：a<0，则a+4a≥4不成立，故A错；
a=1，b=1，a2+b2<4ab，故B错；
a=4，b=16，则 abx2+3x2≥2 x2·3x2=2 3，
当且仅当x2=3x2时，即x2= 3，等号成立；
故D项正确．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：对于A，函数的定义域与值域都是[0,2].满足题意；
对于B，函数的定义域[0,2]与值域是[1,2].不满足题意；
对于C，函数的定义域[0,2]与值域是{1,2}.不满足题意；
对于D，函数的定义域[0,2]与值域都是{1,2}.不满足题意．
故选：A．
利用函数的图象，判断函数的定义域以及函数的值域，即可．
本题考查函数的图象的应用，函数的定义域以及函数的值域的判断，考查计算能力．
5.【答案】B
【解析】解：∵f(12x−1)=2x−5，且f(a)=6，
∴令2x−5=6，
解得x=112，
∴a=12×112−1=74．
故选：B．
根据题意，令2x−5=6，求出x的值，再计算对应a的值．
本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
6.【答案】B
【解析】解：∵f(4)=3，f(3)=2，∴f(f(4))=2，故A错误；
∵函数f(x)分别在区间[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8]内为常函数，
∴f(x)的值域是{1,2,3,4}，故B正确，C错误；
∵f(4)=f(5)=3，
∴f(x)在区间[4,8]上单调递增判断错误，故D错误．
故选：B．
求得f(f(4))=2否定选项A；求得f(x)的值域判断选项B、C；举反例否定选项D．
本题主要考查函数的值域，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查含参数的交集运算问题，属于基础题，
根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：∵“a=2”⇒A={3,4}，又B={2,4}，得“A∩B={4}”，充分性成立；
由A∩B={4}得a2=4，
由a2=4⇒a=2或−2，故必要性不成立；
∴“a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，f(x)为偶函数且在[0,+∞)单调递减，
则f(2x−1)>f(3)⇒f(|2x−1|)>f(3)⇒|2x−1|<3，
解可得：−1即不等式的解集为(−1,2)；
故选：B．
根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x−1)>f(3)⇒f(|2x−1|)>f(3)⇒|2x−1|<3，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：0是元素不是集合，{0}表示以0为元素的一个集合，故A错误；
集合{1,2,3}与{3,2,1}的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确；
方程(x−1)2(x−2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,2}，集合中的元素是不同的，故C错误；
集合{x|4故选：ACD．
根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论．
本题主要考查了结合的表示，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
对选项进行逐个分析，即可解出．
【解答】
解：根据不等式的性质，选项A，两个正数的积是正数，故正确；
选项B，c=0时，ac=bc，故错误，
选项C，∵a>b>0，∴1b−1a=a−bab>0，故正确；
选项D，∵a>b>0，∴a2−b2=(a−b)(a+b)>0，故正确；
故选：ACD．
11.【答案】BC
【解析】解：f(x)=x2−2ax+2开口向上，对称轴为x=a，
要使函数f(x)=x2−2ax+2在区间(−∞,1]上是减函数，故a≥1，
故AD错误，BC正确．
故选：BC．
根据对称轴和函数单调性得到a≥1，得到答案．
本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：对于A，函数的定义域为非空数集，不能为空集，A错误；
对于B，由函数的定义，函数y=f(x)的图像与直线x=1最多有一个交点，B正确；
对于C，f(x)=x2−2x+1与g(t)=t2−2t+1的定义域和对应关系都相同，是同一函数，C不正确；
对于D，若f(x)=x−6,x≥7f(x+2),x<7，则f(4)=f(6)=f(8)=8−6=2，D正确．
故选：BD．
根据题意，结合函数的定义及分段函数求值依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
13.【答案】{2,4}
【解析】解：集合A={1,2,4}，集合B={2,3,4}，
则A∩B={2,4}．
故答案为：{2,4}．
运用集合的交集的定义，由所有属于A和B的元素构成的集合，即可得到所求集合．
本题考查集合的交集的求法，运用定义法解题是关键，属于基础题．
14.【答案】25
【解析】【分析】
本题考查了幂函数，考查了待定系数法求函数解析式的问题，是基础题．
设出幂函数f(x)的解析式，根据图象过点(2,4)，求出解析式，计算f(5)的值．
【解答】
解：设幂函数f(x)=xα，(α∈R)，
它的图象经过点(2,4)，
∴2α=4，即α=2，
∴f(x)=x2；
∴f(5)=52=25．
故答案为：25．
15.【答案】−2
【解析】解：因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，
当x>0时，f(x)=x+1，
所以f(1)=1+1=2，
则f(−1)=−f(1)=−2．
故答案为：−2．
根据函数解析式求得f(1)的值，再根据函数是奇函数则f(−1)=−f(1)，即可求解．
本题主要考查奇函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】3+2 3
【解析】解：由于x>1，所以x−1>0，
所以y=x2+x+1x−1=x2−2x+1+3(x−1)+3x−1
=x−1+3x−1+3≥2 (x−1)×3x−1+3=3+2 3，
当且仅当x−1=3x−1,x= 3+1时等号成立．
故答案为：3+2 3．
利用基本不等式求得正确答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为A={x|3所以A⋂B={x|3(2)因为∁RA={x|x≤3或x≥10}，
所以(∁RA)⋂B={x|2【解析】(1)根据交集与并集的概念直接运算即可；
(2)根据补集与交集的概念运算即可．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由已知可得，f(6)=26=13，f(−1)=(−1)2−3=−2．
(2)在坐标系中描点(2,1)，(4,0.5)，(− 3,0)，( 3,0)，(0,3)，
作出y=f(x)的简图：
．
【解析】(1)将x=6以及x=−1代入解析式，即可得出答案；
(2)在坐标系中，描出合适的点，用光滑的曲线连起来，即可得出函数图象．
本题考查了分段函数的图象与性质应用问题，也考查了函数值的求解，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设f(x)=ax+b，则有f(0)=b=1，
f(x+1)−f(x)=a(x+1)+b−(ax+b)=a=2，故f(x)=2x+1；
(2)令t= x，则t≥0，x=t2，
因为f( x)=x+2 x，所以f(t)=t2+2t，
所以f(x)=x2+2x(x≥0)．
【解析】(1)设f(x)=ax+b，根据已知列出方程，求解得出a，b的值即可；
(2)换元t= x，x=t2，代入即可得出答案．
本题考查求函数解析式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由已知可得，m<12m+3≥3，解得0≤m<1，即m的取值范围是[0,1)；
(2)当m=2时，命题q：2因为p且q是假命题，p或q是真命题，
所以，命题p与命题q一真一假．
当p真q假时，
有1≤x≤3x≤2或1≤x≤3x>7，
所以有1≤x≤2；
当p假q真时，
有x<1232所以有3综上所述，x的取值范围是[1,2]∪(3，7]．
【解析】(1)根据已知列出不等式组，求解即可得出答案；
(2)由已知可得q：2本题考查命题真假的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)当m=−2时，f(x)=x2−x−2．
令f(x)=x2−x−2=(x−2)(x+1)>0，解得x>2或x<−1．
∴不等式的解集为{x|x>2或x<−1}．
(2)∵f(x)<0的解集为{x|a∴a和b是方程f(x)=x2−x+m=0的两根，
∴a+b=1，ab=m>0，即a、b均为正数，
∴1a+4b=(a+b)(1a+4b)=5+ba+4ab≥5+2 4=9，
当且仅当ba=4ab，即b=2a=23时，等号成立，
故1a+4b的最小值为9．
【解析】(1)令f(x)=x2−x−2=(x−2)(x+1)>0，解之即可；
(2)由题知，a和b是方程f(x)=x2−x+m=0的两根，由韦达定理得，a+b=1，ab=m>0，即a、b均为正数，再利用“乘1法”即可求得1a+4b的最小值．
本题考查一元二次不等式的解法、利用基本不等式求最值，掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x2−ax+a的开口向上，对称轴x=12a，
又x∈[2,4]的最小值为φ(a)，
当12a<2，即a<4时，f(x)在[2,4]上单调递增，φ(a)=f(2)=4−a，
当2≤12a≤4，即4≤a≤8时，f(x)在[2,12a]上单调递减，在[12a,4]上单调递增，
φ(a)=f(12a)=a−a24；
当12a>4，即a>8时，f(x)在[2,4]上单调递减，φ(a)=f(4)=16−3a，
故φ(a)=4−a,a<4a−a24,4≤a≤816−3a,a>8；
(2)由(1)当a<4时，φ(a)=4−a单调递减，
当4≤a≤8时，φ(a)=a−a24单调递减，当a>8时，φ(a)=16−3a单调递减且函数在a=4及a=8处连续，
故φ(a)在R上单调递减，
若φ(m+1)>φ(2m−3)，
所以m+1<2m−3，
解得m>4，
故m的取值范围为{m|m>4}．
【解析】(1)由已知结合二次函数的对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论即可求解；
(2)先判断φ(a)的单调性，结合单调性即可求解不等式的解集．
本题主要考查了二次函数的闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，还考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．x
0≤x<2
2≤x<4
4≤x<6
6≤x≤8
y
1
2
3
4