北师大版九年级下册数学期末质量监测

这是一份北师大版九年级下册数学期末质量监测，文件包含北师大版九年级下册期末质量监测原卷docx、北师大版九年级下册期末质量监测解析答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
初四数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 下列函数中是二次函数的是（ ）
A. y＝﹣2xB. y＝﹣C. y＝1﹣3x2D. y＝x+3
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案．
【详解】解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( )
A. y=(x+1)2+1B. y=(x﹣3)2+1C. y=(x﹣3)2﹣5D. y=(x+1)2+2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】抛物线y=x2﹣2x﹣1可化简为y=(x﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，
所得的抛物线的解析式y=(x﹣1+2)2﹣2+3=(x+1)2+1；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．
4. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，则方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A. 两个正根B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根D. 0和一个正根
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图像与坐标轴的交点即可求解
【详解】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另一个交点为A点，根据函数图象可知，点在轴正半轴，
所以方程ax2+bx+c＝0的解是0和一个正根
故选D
【点睛】本题考查了根据函数图象确定一元二次方程根的情况，数形结合是解题的关键．
5. 如图，是旗杆的一根拉线，测得米，，则的长为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦函数作答即可．
【详解】根据题意可知：，
即在中，米，，
有：（米），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解三角函数的定义，是解答本题的关键．
6. 若的半径，圆心到直线的距离，在直线上有一点，且，则点P（ ）
A. 在内B. 在外
C. 在上D. 可能在内，也可能在外
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外．
【详解】解：如图，

∵，
∴点P在上，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键．
7. 如图，，，，都是上的点，，垂足为，若，则（ ）
A. 15°B. 20°C. 30°D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理，可得，再根据圆周角定理，得∠AOB=2∠ADC，进而即可求解
【详解】解：∵，垂足为，
∴，
∴∠AOB=2∠ADC=2×35°=70°，
∴90°-70°=20°．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
8. 如图，内接于⊙O，．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，可证得是等腰直角三角形，求出，利用弧长公式即可求得结果．
【详解】解：连接，．
，
，
，
，
的长为，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，熟悉相关知识点是解题的关键．
9. 如图，，切于A，两点，切于点，交、于、，若的周长等于，则线段的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线长定理进行求解即可．
【详解】解：∵，切于A，两点，切于点，
∴，，
∵的周长等于，
∴，
即，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了切线长定理，从圆外一点出发的圆的两条切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
10. 如图，抛物线 （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2； ②3a+c＞0；③方程 的两个根是x1=﹣1，x2=3；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中结论正确的个数是（ ）
A 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【详解】分析：①根据抛物线与x轴的交点个数判断；②由对称轴方程得到a与b的关系，再根据x＝－1时的函数值变形；③抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称；④根据函数值大于0确定自变量的取值范围；⑤二次函数的增减性在对称轴的左侧与右侧不相同.
详解：①因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，即4ac＜b2，则①正确；
②因为对称轴为x＝1，所以，则b＝－2a，当x＝－1时，a－b＋c＝0，所以a＋2a＋c＝0，则3a＋c＝0，则②错误；
③因为x1＋x2＝2，x1＝－1，所以x2＝3，则③正确；
④抛物线与x轴的两个交点的坐标是(－1，0)，(3，0)，开口向下，所以当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，则④正确；
⑤因为抛物线开口向下，所以当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误.
故选B.
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，①抛物线的开口向上，则a＞0，开口向下，则a＜0；②对称轴是y轴，则b＝0，对称轴在y轴右侧，则a，b异号，在y轴左侧，则a，b同号；③抛物线过原点，则c＝0，与y轴的正半轴相交，则c＞0，与y轴的负半轴相交，则c＜0；④抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，有唯一交点，则△＝0，没有交点，则△＜0；⑤当x＝1时，y＝a＋b＋c，当x＝－1时，y＝a－b＋c.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11. 已知sinA=，则锐角∠A=______．
【答案】30°
【解析】
【分析】根据sin30°=进行解答即可．
【详解】∵sinA=，∠A为锐角，
∴∠A=30°，
故答案为30°．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
12. 已知点，，都在二次函数的图象上，，，的大小关系是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再比较各个点到对称轴的距离，即可求解.
【详解】解：∵，
∴抛物线图象开口向上，对称轴为直线，在对称轴右边y随x的增大而增大，左边y随x的增大而减小，
∵，，，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是理解函数图象的增减性.
13. 如图，中，，D为上一点，，，，则的长是________
【答案】
【解析】
【分析】根据的正切值，设得，再在中，利用勾股定理列式求出x的值，就可以得到的长．
【详解】解：在中，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得（舍去），，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
14. 已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得出劣弧所对的圆心角的度数，利用半径是2，由勾股定理求出即可．
【详解】解：∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，
∴劣弧的度数为:，
∴劣弧所对的圆心角的度数90°，
∵⊙的直径是4，
∴OB=OC=2，
∴BC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及勾股定理，根据已知得出圆心角的度数90°，再利用勾股定理求出是解题的关键．
15. 如图所示，已知AB是⊙O的直径，如果∠BAC=30°，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是_____________.
【答案】120°
【解析】
【分析】由AB为半圆直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB为直角，在三角形ABC中，∠BAC与∠B互余，由∠BAC的度数求出∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进而由∠B的度数即可求出∠D的度数．
【详解】∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°,又∠BAC=30°，
∴∠B=60°，
又四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
则∠D=180°−∠B=120°.
故答案为120°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
16. 某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平均增长问题，列出式子即可得到答案．
【详解】解：根据题意，y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，能读懂题意，列出正确的方程是解题的关键．
17. 如图，的内切与，，分别相切于点，，，且，的周长为，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，由与，，分别相切于点，，，得，进而可求；
【详解】解：连接，
∵与，，分别相切于点，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形内接圆的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
18. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为___．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的 O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2，从而得到CE的最小值为2﹣2.
【详解】连结AE，如图1，
∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=，
∴AB=AC=4，
∵AD为直径，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的O上，
∵O的半径为2，
∴当点O、E. C共线时,CE最小,如图2
在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，
∴OC=，
∴CE=OC−OE=2﹣2，
即线段CE长度的最小值为2﹣2.
故答案为:2﹣2.
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题关键在于结合实际运用圆的相关性质.
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】分别计算零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，再合并即可得到答案．
【详解】解：原式
＝1﹣1+2+2
＝4．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，考查了零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．
20. 已知是关于x的二次函数.
（1）求m的值.
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向上？
（3）当m为何值时，该函数有最大值？
【答案】（1）或.（2）当时，该函数图象的开口向上.（3）当时，该函数有最大值.
【解析】
【分析】根据题意可知，本题考查是二次函数的基础性质，（1）根据x的次数为2且二次项系数不为0，判断m的值；（2）通过二次项系数的正负判断开口方向，为正开口向上，为负开口向下；
（3）对任意的x值，函数有最大值，在函数开口向下时，函数才有最高点，即二次项系数小于0．
【详解】解：（1）根据题意，得解得
∴或.
（2）∵函数图象的开口向上，
∴，∴∴.
∴当时，该函数图象的开口向上.
（3）∵函数有最大值，∴.
∴，∴.
∴当时，该函数有最大值.
点睛】本题关键点：二次函数 中，；时开口向下，函数有最高点，即有最大值，时开口向上，函数有最低点，即有最小值．
21. 如图，是位于公路边的电线杆，高为，为了使拉线不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为的水泥撑杆，用于撑起电线．已知两根杆子之间的距离为，电线与水平线的夹角为．求电线的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．

【答案】
【解析】
【分析】过点D作于点F，证明四边形是矩形，根据勾股定理计算的长，后求和即可．
【详解】过点D作于点F，
∵，
∴四边形矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，

解得，
故电线的总长．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和矩形的判定是解题的关键．
22. 已知：抛物线经过A(，0)、B(5，0)两点，顶点为P．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求ABP的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法把A(，0)、B(5，0)两点代入求解即可；
（2）首先把抛物线的解析式配方成顶点式，然后求出顶点P的坐标，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线经过A(，0)、B(5，0)两点，
∴将A(，0)、B(5，0)两点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线的解析式为，
∴，
∴顶点P的坐标为(2，9)，
∵A(，0)、B(5，0)，
∴AB=5-(-1)=6，
∴．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的顶点坐标，坐标系中三角形面积的求解，解题的关键是利用待定系数法求出二次函数表达式．
23. 如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE∶EC=3∶5，求BF的长与sinC的值．
【答案】6，
【解析】
【详解】分析：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，根据解直角三角形的计算解答即可．
详解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，
∵sinB＝，
∴csB＝，
在Rt△ABD中，BD＝AB•csB＝5×＝3，
∵AB=AF AD⊥CB，
∴BF=2BD=6，
∵EF⊥CB AD⊥CB，
∴EF∥AD，
∴，
∵AE：EC=3：5DF=BD=3，
∴CF=5，
∴CD=8，
在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝5×＝4，
在Rt△ACD中，AC＝＝4，
∴sinC＝．
点睛：此题考查解直角三角形问题，关键是根据解直角三角形的计算解答．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点 D．
（1）证明：AD＝3BD；
（2）求弧BD的长度；
（3）求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）﹣
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质以及圆周角和圆心角的性质求出∠COD＝120°，结合圆的基本性质得出BC＝2BD，再根据直角三角形中30°角的性质得出AB＝2BC＝4BD，即可得出答案；
（2）根据弧长公式即可得出答案；
（3）根据割补法结合扇形的面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD；
（2）由（1）得∠B＝60°，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴弧BC的长为；
（3）∵BC＝4，∠BCD＝30°，
∴CD＝BC＝，
图中阴影部分面积＝S扇形COD﹣S△COD＝．
【点睛】本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握圆中的基本性质以及弧长和扇形的面积公式．
25. 如图，是的半径，是弦，且于点连接并延长交于点，若，，求半径的长．

【答案】5
【解析】
【分析】先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值．
【详解】解：弦，，
，
设的半径，
，
在中，
，
解得：，
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
26. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【答案】（1），9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43
【解析】
【分析】（1）若降价元，则每天销量可增加千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出对应函数值即可；
（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）令可解出对应的的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的的值即可．
【详解】（1）若降价元，则每天销量可增加千克，
∴，
整理得：，
当时，，
∴每天的利润为9600元；
（2），
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为9800，
∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；
（3）令，得：，
解得：，，
∵要让利于民，
∴，（元）
∴定价为43元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
27. 如图，直角三角形内接于圆，点是斜边上一点，过作的垂线交于，过点作，交的延长线于点，连接交圆于在此处键入公式。

（1）求证：是圆的切线；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）16
【解析】
【分析】（1）连接，证明即可得到答案；
（2）根据勾股定理直接求解即可得到答案；
【小问1详解】
证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
是圆的半径，
是圆的切线；
【小问2详解】
解：由题得，
设，则，
在直角三角形中，，
即，
解得：，
；
【点睛】本题考查切线证明及勾股定理，解题的关键是根据圆的性质得到．
28. 如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D(1，2)；（3）存在，m＝1或
【解析】
【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解；
（2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；
（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则或，即＝2或，即可求解．
【详解】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），
则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），
则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
则或，即＝2或，即＝2或，
解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），
故m＝1或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．