2023-2024学年北京市中学数学九上期末学业质量监测模拟试题

这是一份2023-2024学年北京市中学数学九上期末学业质量监测模拟试题，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列事件中是必然事件的是，如图，在中，，若，，则与的比是等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．同时投掷两个骰子，点数和为5的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是( )
A．B．C．D．
4．下列函数是二次函数的是( ).
A．y＝2xB．y=+x
C．y＝x+5D．y＝(x+1)(x﹣3)
5．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．﹣a是负数B．两个相似图形是位似图形
C．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上D．平移后的图形与原来的图形对应线段相等
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=（ ）
A．
B．
C．
D．
7．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面．则这个圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．B．1C．D．2
8．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，已知A(-3，3)，B(-1，1.5)，将线段AB向右平移5个单位长度后，点A、B恰好同时落在反比例函数（x＞0）的图象上，则等于( )
A．3B．4C．5D．6
10．如图，在中，，若，，则与的比是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．计算sin245°+cs245°=_______．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin∠A＝_____.
13．公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了有关黄金矩形的问题．并建立起比例理论，他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比．所谓黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合这一比例．则在黄金矩形中宽与长的比值是______．
14．一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米，则这个建筑物的高度是__________．
15．如图1，点M，N，P，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，我们称四边形MNPQ是矩形ABCD的内接四边形．已知矩形ABCD，AB＝2BC＝6，若它的内接四边形MNPQ也是矩形，且相邻两边的比为3：1，则AM＝_____．
16．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，则树高_____________米(结果保留根号)．
17．如图，在矩形中，，点分别在矩形的各边上，，则四边形的周长是______________．
18．如图，已知在中，.以为直径作半圆，交于点.若，则的度数是________度．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC上方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线AC相交于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
20．（6分）阅读材料，解答问题：
观察下列方程：①；②；③；…；
（1）按此规律写出关于x的第4个方程为 ，第n个方程为 ；
（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确．
21．（6分）（1）计算：|﹣|+cs30°﹣（﹣）﹣1﹣+（π﹣3）0
（2）若，求•（a﹣b）的值．
22．（8分）用一段长为30m的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18m
（1）若围成的面积为72m2，球矩形的长与宽；
（2）菜园的面积能否为120m2，为什么？
23．（8分）如图，某农户计划用长12m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为7m．
（1）若生物园的面积为9m2，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？
（2）若要使生物园的面积最大，该怎样围？
24．（8分）一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，摸到红球的概率是多少？
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出两次都摸到白球的概率．
25．（10分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进30海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离CD的长（结果保留根号）．
26．（10分）先化简，再求值：已知，，求的值.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】试题解析：列表如下：
∵从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，且这些结果出现的可能性相等，其中点数的和为5的结果共有4种，
∴点数的和为5的概率为：．
故选B．
考点：列表法与树状图法．
2、D
【解析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴∽，
∴；
故选：D.
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.
3、B
【分析】根据左视图的定义画出左视图即可得答案.
【详解】从左面看，是正方形，对面中间有一条看不见的棱，用虚线表示，
∴B选项符合题意，
故选B.
此题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从左面看所得到的图形．
4、D
【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【详解】解：A、y＝2x，是一次函数，故此选项错误；
B、y＝+x，不是整式，故此选项错误；
C、y＝x+5，是一次函数，故此选项错误；
D、y＝(x+1)(x﹣3)，是二次函数，故此选项正确．
故选D．
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握函数的定义是解题关键．
5、D
【解析】分析: 根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案．
详解: A. −a是非正数，是随机事件，故A错误；
B. 两个相似图形是位似图形是随机事件，故B错误；
C. 随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，故C错误；
D. 平移后的图形与原来对应线段相等是必然事件，故D正确；
故选D.
点睛：考查随机事件，解决本题的关键是正确理解随机事件，不可能事件，必然事件的概念.
6、C
【解析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可.
【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=50°，
由圆周角定理得，2∠A=∠BOD=100°，
故选C．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7、A
【分析】根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径．
【详解】解：设圆锥底面的半径为r，
扇形的弧长为：，
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴根据题意得2πr=，
解得：r=，
故选A.
本题考查了圆锥的计算，掌握弧长公式、周长公式和圆锥与扇形的对应关系是解题的关键．
8、D
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解.
【详解】由题意，得
平移后的抛物线为
故选：D.
此题主要考查抛物线的平移规律，熟练掌握，即可解题.
9、D
【分析】根据点平移规律，得到点A平移后的点的坐标为（2,3），由此计算k值.
【详解】∵已知A(-3，3)，B(-1，1.5)，将线段AB向右平移5个单位长度后，
∴点A平移后的点坐标为（2,3），
∵点A、B恰好同时落在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴，
故选：D.
此题考查点平移的规律，点沿着x轴左右平移的规律是：左减右加；点沿着y轴上下平移的规律是：上加下减，熟记规律是解题的关键.
10、D
【分析】根据平行即可证出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论．
【详解】解：∵
∴△ADE∽△ABC
∴
故选D．
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握利用平行判定两个三角形相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据特殊角的三角函数值先进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．
【详解】原式=()2+()2=+=1．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，需要熟记，比较简单．
12、
【解析】根据勾股定理先得出AB，再根据正弦的定义得出答案即可．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=；
∴sinA=，
故答案为:．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．
13、
【分析】根据黄金矩形指的就是矩形的宽与长的比适合黄金分割比例，所以求出黄金分割比例即可，设线段长为1，较长的部分为x，则较短的部分为1-x，根据较长部分对于全部之比，等于较短部分对于较长部分之比，求出x，即可得到比值．
【详解】解：设线段长为1，较长的部分为x，则较短的部分为1-x
∴
∴x1=，x2=（舍）
∴黄金分割比例为：
∴黄金矩形中宽与长的比值：
故答案为：．
本题主要考查了黄金分割比例，读懂题意并且列出比例式正确求解是解决本题的关键．
14、1米
【分析】设建筑物的高度为x，根据物高与影长的比相等，列方程求解．
【详解】解：设建筑物的高度为x米，由题意得，
，解得x=1．
故答案为：1米．
本题考查了相似三角形的应用，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
15、
【分析】证明△AMQ∽△DQP，△PCN∽△NBM，设MA＝x，则DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，PC＝9x﹣3，NB＝27x﹣9，表示出NC，由BC长为3，可得方程，解方程即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形MNPQ为矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，∠DQP＝∠QMA，
∴△AMQ∽△DQP，
同理△PCM∽△NBM，
设MA＝x，∵PQ：QM＝3：1，
∴DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，
PC＝6﹣（9﹣9x）＝9x﹣3，NB＝3PC＝27x﹣9，
BM＝6﹣x，
∴NC＝，
∴＝3，
解得x＝．
即AM＝．
故答案为：．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程的思想方法．
16、
【解析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．
解：如图所示，
在RtABC中，tan∠ACB=，∴BC=，
同理：BD=，
∵两次测量的影长相差8米，∴=8，
∴x=4，
故答案为4．
“点睛”本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．
17、
【分析】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解．
【详解】解：∵矩形中，，
由勾股定理得：，
∵EF∥AC，
∴，
∵EH∥BD，
∴，
∴，
∴，
∵EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH的周长=，
故答案为：．
本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的对角线相等和勾股定理，根据平行线分线段成比例定理得出是解题的关键，也是本题的难点．
18、1
【分析】首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=20°，即可得∠ABD=70°，继而求得∠AOD的度数，则可求得的度数．
【详解】解：连接AD、OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴
∴∠ABD=70°，
∴∠AOD=1°
∴的度数1°；
故答案为1．
此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题(共66分)
19、（1）直线的解析式为；（2）当的长度最大时，点的坐标为．
【分析】（1）根据题意，先求出点A和点C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出答案；
（2）根据题意，利用m表示DE的长度，然后根据二次函数的性质，即可求出点D的坐标.
【详解】解（1）当时，．
，．
点的坐标是．
当时，．
点的坐标是．
设直线的解析式为,
，解得：．
直线的解析式为：．
（2）如图：
设点的横坐标为．
则点的坐标为，点的坐标为．
所以．
∵，
∴当时，线段长度最大．
将代入，
得．
∴当的长度最大时，点的坐标为．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，解答时，注意待定系数法的灵活运用．
20、（1）9，2n+1；（2）2n+1，见解析
【分析】（1）观察一系列等式左边分子为连续两个整数的积，右边为从3开始的连续奇数，即可写出第4个方程及第n个方程；
（2）归纳总结即可得到第n个方程的解为n与n+1，代入检验即可．
【详解】解：（1）x+＝x+＝9，x+＝2n+1；
故答案为：x+＝9；x+＝2n+1．
（2）x+＝2n+1，
观察得：x1＝n，x2＝n+1，
将x＝n代入方程左边得：n+n+1＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n是方程的解；
将n+1代入方程左边得：n+1+n＝2n+1；右边为2n+1，
左边＝右边，即x＝n+1是方程的解，
则经检验都为原分式方程的解．
本题主要考查的是分式方程的解，根据所给方程找出规律是解题的关键．
21、（1）﹣；（2）
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）已知等式整理得到a＝2b，原式约分后代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）原式
；
（2）已知等式整理得：，即，代入，
则原式．
此题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22、（1）矩形的长为12米，宽为6米；（2）面积不能为120平方米，理由见解析
【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为（30﹣2x）米，根据面积为72米2列出方程，求解即可；
（2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可．
【详解】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，
则x（30﹣2x）＝72，
解方程得：x1＝3，x2＝12.
当x＝3时，长＝30﹣2×3＝24＞18，故舍去，
所以x＝12.
答：矩形的长为12米，宽为6米；
（2）假设面积可以为120平方米，
则x（30﹣2x）＝120，
整理得即x2﹣15x+60＝0，
△＝b2﹣4ac＝152﹣4×60＝﹣15＜0，
方程无实数解，
故面积不能为120平方米．
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解．
23、（1）3m；（1）生物园垂直于墙的一边长为1m．平行于墙的一边长为6m时，围成生物园的面积最大，且为11m1
【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（11－3x）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为9平方米，列出方程，解方程即可；
（1）设围成生物园的面积为y，由题意可得：y＝x（11﹣3x）且≤＜4，从而求出y的最大值即可．
【详解】设这个生物园垂直于墙的一边长为xm，
（1）由题意，得x（11﹣3x）＝9，
解得，x1＝1（不符合题意，舍去），x1＝3，
答：这个生物园垂直于墙的一边长为3m；
（1）设围成生物园的面积为ym1．
由题意，得，
∵
∴≤＜4
∴当x＝1时，y最大值＝11，11﹣3x＝6，
答：生物园垂直于墙的一边长为1m．平行于墙的一边长为6m时，围成生物园的面积最大，且为11m1．
本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是正确解读题意，根据题目给出的条件，准确列出方程和二次函数解析式．
24、（1）；（2），见解析
【分析】（1）袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，摸到红球的概率即可求出；
（2）分别使用树状图法或列表法将抽取球的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次有2种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有6种，找出两次都是白球的的抽取结果，即可算出概率．
【详解】解：（1）∵袋中一共有3个球，有3种等可能的抽取情况，抽取红球的情况只有1种，
∴；
（2）画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴；
用列表法，根据题意，列表结果如下：
一共有6种等可能出现的结果，两次都抽取到白球的次数为2次，
∴．
本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．
25、海里
【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=1°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=1°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=1，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
【详解】解：∵DA⊥AD，∠DAC=60°，
∴∠1=1°．
∵EB⊥AD，∠EBC=1°，
∴∠2=60°．
∴∠ACB=1°．
∴BC = AB=1．
在Rt△ACD中，
∵∠CDB=90°，∠2=60°，
∴tan∠2=，
∴tan60°=，
∴CD=．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
26、，原式.
【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后把，代入化简的结果计算即可.
【详解】原式
，
当，时，
原式.
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12