高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用背景图课件ppt

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6.4　平面向量的应用6.4.3　余弦定理、正弦定理第1课时　余弦定理
1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.
b2＋c2－2bccs A
c2＋a2－2cacs B
a2＋b2－2abcs C
[提醒]　(1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形．(2)余弦定理和勾股定理的关系在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，若角C＝90°，则cs C＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
练一练：在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)A．c2＝a2＋b2－2abcs CB．c2＝a2－b2－2bccs AC．b2＝a2－c2－2bccs A[解析]　由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A．
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_______.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___________.
想一想：已知三角形内角的余弦值求角时，是否存在多解的情况？提示：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cs x在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况．
[分析]　(1)由余弦定理可直接求第三边；(2)先由余弦定理建立方程，从中解出a的长．
[归纳提升]　已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
整理得AC2＋3·AC－40＝0，解得AC＝5或AC＝－8(不合题意，舍去)，所以AC＝5.
(2)在△ABC中，a2－(b－c)2＝bc，则A＝(　　)A．30° B．60°C．120° D．150°
[归纳提升]　已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角．
　　　　　　　　(1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，则角B的余弦值是________.(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　)A．90° B．60° C．120° D．150°
[解析]　(1)在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝7，(2)因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.
　　　　　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccs Bcs C，试判断△ABC的形状．[分析]　利用余弦定理将已知等式化为边的关系．[解析]　已知等式变形为b2(1－cs2C)＋c2(1－cs2B)＝2bccs B·cs C，∴b2＋c2＝b2cs2C＋c2cs2B＋2bccs B·cs C，∵b2cs2C＋c2cs2B＋2bccs Bcs C＝(bcs C＋ccs B)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
[归纳提升]　利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
　　　　　　　　在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断△ABC的形状．
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
忽略三角形三边关系导致出错　　　　　设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
[错解]　∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，∴2a＋1是三边长中最长的边，设其所对角为θ，∵2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边，
[正解]　∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)>2a＋1，解得a>2.
设最长边2a＋1所对的角为θ，∴a的取值范围是(2,8)．
[误区警示]　由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误．在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形．
　　　　　　　　在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围．
[解析]　因为a，b，c是△ABC的三边，所以b－a1．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　)A．60° B．45°C．120° D．30°
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
[解析]　设BC＝4t，则AB＝5t(t>0)，由余弦定理可得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcsB，解得t＝1，因此AB＝5t＝5.