新教材2024版高中数学第三章圆锥曲线的方程章末检测新人教A版选择性必修第一册

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第三章章末检测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的离心率是 (　　)A． eq \f(\r(13),3)　　 B． eq \f(\r(5),3)　　 C． eq \f(2,3)　　　 D． eq \f(5,9)【答案】B　【解析】因为椭圆方程为 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1，所以a＝3，c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(9－4)＝ eq \r(5).所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(5),3).2．已知点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为 (　　)A. eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(y＞0) B． eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x＞0)C. eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,5)＝1(y＞0) D． eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,5)＝1(x＞0)【答案】B　【解析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(x＞0，a＞0，b＞0)，则c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x＞0).3．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图是一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面上升1 m，则水面宽度为 (　　)A．2 eq \r(6) m B．4 eq \r(6) m C．4 eq \r(2) m D．12 m【答案】C　【解析】根据题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py，又由当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m，即点(4，－2)和(－4，－2)在抛物线上，则有16＝－2p·(－2)，解得p＝4，故抛物线的方程为x2＝－8y.若水面上升1 m，即y＝－1，则有x2＝8，解得x＝±2 eq \r(2)，此时水面宽度为2 eq \r(2)－(－2 eq \r(2))＝4 eq \r(2)(m).4．(2023年哈尔滨期末)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则下列选项中满足题意的方程为 (　　)A． eq \f(x2,81)＋ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(x2,65)＋ eq \f(y2,81)＝1C． eq \f(x2,100)＋ eq \f(y2,64)＝1 D． eq \f(x2,64)＋ eq \f(y2,100)＝1【答案】A　【解析】∵用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切，∴4ab＝144，即ab＝36.对于A，a＝9，b＝4，满足a＞b＞0且ab＝36，故A正确；对于B，a＝ eq \r(65)，b＝9，不满足a＞b＞0，故B错误；对于C，a＝10，b＝8，不满足ab＝36，故C错误；对于D，a＝8，b＝10，不满足a＞b＞0，故D错误．故选A.5．已知F是双曲线C：x2－y2＝2的一个焦点，点P在C上，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若△FPQ为等腰直角三角形，则△FPQ的面积为 (　　)A． eq \f(1,4) B． eq \f(5,4) C． eq \r(2) D． eq \r(3)【答案】A　【解析】如图，不妨设F为双曲线的右焦点，点P在第一象限．∵△FPQ为等腰直角三角形，F(2，0)，∴直线PF的方程为y＝－x＋2.∴可设P(x，2－x)，将其代入双曲线C的方程中，得x2－(2－x)2＝2，解得x＝ eq \f(3,2)，∴P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，∴S△FPQ＝ eq \f(1,2)×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4).6．已知双曲线C：x2－ eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则 eq \f(1,|PF1|)＋ eq \f(1,|PF2|)的取值范围为 (　　)A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))) B．(0，2]C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))【答案】C　【解析】不妨设点P在右支上，有|PF2|≥1，则 eq \f(1,|PF1|)＋ eq \f(1,|PF2|)＝ eq \f(1,|PF2|＋2)＋ eq \f(1,|PF2|)≤ eq \f(1,3)＋1＝ eq \f(4,3)，则 eq \f(1,|PF1|)＋ eq \f(1,|PF2|)的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).故选C.7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝ (　　)A． eq \f(1,3) B． eq \f(\r(3),3) C． eq \f(2\r(3),3) D． eq \f(4,3)【答案】D　【解析】设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝ eq \f(2\r(3),3).设P(x0，y0)，则x0＝± eq \f(2\r(3),3)，代入x2＝4y中，得y0＝ eq \f(1,3).所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝ eq \f(4,3).8．已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋ eq \f(3,16)a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为 (　　)A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(6),4)【答案】B　【解析】由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝ eq \f(13,16)a2，圆心D(a，0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0)).将x＝ eq \f(a,2)代入圆D的方程，得y＝± eq \f(3a,4).不妨设点A在x轴上方，即A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(3a,4)))，代入椭圆C的方程，得 eq \f(1,4)＋ eq \f(9a2,16b2)＝1，所以 eq \f(3,4)a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c.所以椭圆C的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2).二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程可以为 (　　)A． eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1C． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,9)＝1 D． eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,25)＝1【答案】BD　【解析】2c＝6，所以c＝3，2a＋2b＝18，a2＝b2＋c2，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝4，))所以椭圆方程为 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1或 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,25)＝1.故选BD.10．已知椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是 (　　)A．△ABF2的周长为8B．椭圆的长轴长为2C．|AF2|＋|BF2|的最大值为5D．△ABF2面积的最大值为3【答案】ACD　【解析】如图，由题可知在椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1中，a＝2，b＝ eq \r(3)，c＝1，△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故A正确；椭圆的长轴长为2a＝4，故B错误；因为|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，当且仅当AB⊥F1F2时，|AB|最小，代入x＝－1，解得y＝± eq \f(3,2)，故|AB|＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最大值为5，故C正确；根据椭圆的性质可得当且仅当AB⊥F1F2时，△ABF2面积最大，故S＝ eq \f(1,2)|AB|·|F1F2|＝3，故D正确．故选ACD.11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是 (　　)A．x1x2＝1 B．kPQ＝－ eq \f(4,3)C．|PQ|＝ eq \f(25,4) D．l1与l2之间的距离为4【答案】ABC　【解析】如图，由抛物线的光学性质可知直线PQ过焦点F(1，0)，所以x1x2＝ eq \f(p2,4)＝1，故A正确；由题意可得点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，点Q的坐标为(4，－4)，所以kPQ＝ eq \f(－4－1,4－\f(1,4))＝－ eq \f(4,3)，故B正确；由抛物线的定义可知|PQ|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(1,4)＋4＋2＝ eq \f(25,4)，故C正确；因为l1与l2平行，所以l1与l2之间的距离d＝|y1－y2|＝5，故D错误．故选ABC.12．已知P是椭圆C： eq \f(x2,6)＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝ eq \f(1,5)上的动点，则 (　　)A．椭圆C的焦距为 eq \r(5) B．椭圆C的离心率为 eq \f(\r(30),6)C．圆D在椭圆C的内部 D．|PQ|的最小值为 eq \f(2\r(5),5)【答案】BC　【解析】由椭圆方程可得，a2＝6，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝5，所以焦距2c＝2 eq \r(5)，所以A不正确；离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(5),\r(6))＝ eq \f(\r(30),6)，所以B正确；C中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,6)＋y2＝1，,(x＋1)2＋y2＝\f(1,5)，))整理可得 eq \f(5x2,6)＋2x＋ eq \f(9,5)＝0，Δ＝22－4× eq \f(5,6)× eq \f(9,5)＝－2＜0，所以两个曲线无交点，所以圆在椭圆的内部，所以C正确；设P(x，y)，则由题意可得|PQ|＝ eq \r((x＋1)2＋y2)－ eq \f(\r(5),5)＝ eq \r(\f(5,6)x2＋2x＋2)－ eq \f(\r(5),5)＝ eq \r(\f(5,6)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(6,5)))\s\up12(2)＋\f(4,5))－ eq \f(\r(5),5)≥ eq \f(2\r(5),5)－ eq \f(\r(5),5)＝ eq \f(\r(5),5)，所以|PQ|的最小值为 eq \f(\r(5),5)，所以D不正确．故选BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线C： eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,3)＝1，则双曲线C的焦点到其渐近线的距离是________．【答案】 eq \r(3)　【解析】双曲线C： eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,3)＝1，则c2＝a2＋b2＝6＋3＝9，则c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)，其渐近线方程为y＝± eq \f(\r(3),\r(6))x，即x± eq \r(2)y＝0，则点(3，0)到渐近线的距离d＝ eq \f(3,\r(1＋2))＝ eq \r(3).14．在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,5)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝ eq \f(\r(5),2)x，则该双曲线的离心率是________．【答案】 eq \f(3,2)　【解析】由双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,5)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝ eq \f(\r(5),2)x，得 eq \f(\r(5),a)＝ eq \f(\r(5),2)，所以a＝2.所以双曲线的离心率为e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(4＋5),2)＝ eq \f(3,2).15．已知椭圆C： eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________. 【答案】4　8 eq \r(2)　【解析】由 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1知a＝5，b＝4，所以c＝3，即F1(－3，0)，F2(3，0)，所以|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF1|＝10－6＝4.于是S△PF1F2＝ eq \f(1,2)·|PF1|·h＝ eq \f(1,2)×4× eq \r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))\s\up12(2))＝8 eq \r(2).16．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以(1，1)为中点，则弦AB所在的直线方程为________．【答案】2x－y－1＝0　【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2，则y1＋y2＝2.又因为点A，B在抛物线y2＝4x上，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y12＝4x1，,y22＝4x2，))两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(4,y1＋y2)＝2，即直线AB的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在平面直角坐标系Oxy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；(2)求以A(－3，0)为一个焦点，实轴长为2 eq \r(5)的双曲线的标准方程．解：(1)根据题意，要求椭圆的长轴长为4，焦距为2，即2a＝4，2c＝2，则a＝2，c＝1，则b＝ eq \r(4－1)＝ eq \r(3).若要求椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1；若要求椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为 eq \f(y2,4)＋ eq \f(x2,3)＝1.故要求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1或 eq \f(y2,4)＋ eq \f(x2,3)＝1.(2)要求双曲线以A(－3，0)为一个焦点，实轴长为2 eq \r(5)，则其焦点在x轴上，即c＝3，2a＝2 eq \r(5)，则a＝ eq \r(5)，b＝ eq \r(c2－a2)＝2，则双曲线的标准方程为 eq \f(x2,5)－ eq \f(y2,4)＝1.18．(12分)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E交于点B，C.(1)若△ABC为直角三角形，求半径R的值；(2)在(1)的条件下，判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．解：(1)如图，由抛物线和圆的对称性可得点B，C关于x轴对称，再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线，xB＝ eq \f(p,2)，代入抛物线的方程可得yB＝p，所以圆的半径R＝p.(2)直线AB与抛物线E相切．由(1)知A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，|AF|＝p，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，则直线AB：y＝x＋ eq \f(p,2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋\f(p,2)，,y2＝2px，))整理得x2－px＋ eq \f(p2,4)＝0，所以Δ＝p2－p2＝0，所以直线AB与抛物线相切．19．(12分)已知双曲线C的离心率为 eq \r(3)，且过点( eq \r(3)，0)，过双曲线C的右焦点F2作倾斜角为 eq \f(π,3)的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求△AOB的面积．解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝ eq \r(3)， eq \f(c,a)＝ eq \r(3)，b2＝c2－a2，解得a2＝3，b2＝6，所以双曲线的方程为 eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,6)＝1.(2)由(1)可得F2(3，0)，F1(－3，0)，由题意设y＝ eq \r(3)(x－3)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与双曲线的方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)(x－3)，,2x2－y2＝6，))整理可得x2－18x＋33＝0，x1＋x2＝18，x1x2＝33，S△AOB＝ eq \f(1,2)|OF2|·|y1－y2|＝ eq \f(1,2)×3× eq \r(3) eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝ eq \f(3\r(3),2)· eq \r(182－4×33)＝36.即△AOB的面积为36.20．(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C： eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过点O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－ eq \f(1,3)，求椭圆C的离心率．解：(1)因为S△FAB＝ eq \f(1,2)|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝ eq \r(a2－1)＝1，所以a＝ eq \r(2).(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，则 eq \f(x2,a2)＋y2＝1， eq \f(x02,a2)＋＋y02＝1，kMA·kMB＝ eq \f(y－y0,x－x0)· eq \f(y＋y0,x＋x0)＝ eq \f(y2－y02,x2－x02)＝ eq \f(1－\f(x2,a2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x02,a2))),x2－x02)＝ eq \f(－\f(1,a2)(x2－x02),x2－x02)＝－ eq \f(1,a2)＝－ eq \f(1,3)，所以a2＝3，所以a＝ eq \r(3)，所以c＝ eq \r(a2－b2)＝ eq \r(2).所以椭圆C的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(2),\r(3))＝ eq \f(\r(6),3).21．(12分)如图，点A是抛物线y2＝4x上的动点，过点M(2，1)的直线AM与抛物线交于另一点B.(1)若M为线段AB的中点，求直线AB的方程；(2)已知点P(4，0)，求四边形AOBP面积的最小值．解：(1)设直线AB的方程x＝my＋n，由M在直线AB上，则m＋n＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由M(2，1)是AB的中点可得y1＋y2＝2×1＝2，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋n，))整理可得y2－4my－4n＝0.根据韦达定理可得y1＋y2＝4m＝2，解得m＝ eq \f(1,2).根据m＋n＝2可得n＝ eq \f(3,2)，则直线的方程为y＝2x－3.(2)设直线AB的方程x＝my＋n，因为M在直线AB上，则有m＋n＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋n，))整理可得y2－4my－4n＝0.根据韦达定理，可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－4n＝4m－8，))故(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝16m2－16m＋32＝16(m2－m＋2).当m＝ eq \f(1,2)时，|y1－y2|min＝4 eq \r(m2－m＋2)＝2 eq \r(7)，则四边形AOBP面积的最小值为S四边形OAPB＝ eq \f(1,2)|OP|·|y1－y2|min＝ eq \f(1,2)×4×2 eq \r(7)＝4 eq \r(7).22．(12分)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为M(2，0)，离心率为 eq \f(\r(2),2).(1)求椭圆C的方程；(2)点Q为左顶点，过点N(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当 eq \o(QA,\s\up6(→))• eq \o(QB,\s\up6(→))取得最大值时，求直线l的方程．解：(1)由题意可得a＝2， eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(2),2)，则c＝ eq \r(2)，则b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1.(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(－2，0)，B(2，0)，此时 eq \o(QA,\s\up6(→))· eq \o(QB,\s\up6(→))＝0；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，显然Δ＞0，y1＋y2＝ eq \f(－2t,t2＋2)，y1y2＝ eq \f(－3,t2＋2)，所以 eq \o(QA,\s\up6(→))· eq \o(QB,\s\up6(→))＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＝(t2＋1) eq \f(－3,t2＋2)＋3t eq \f(－2t,t2＋2)＋9＝ eq \f(－3t2－3－6t2,t2＋2)＋9＝ eq \f(－9t2－3,t2＋2)＋9＝ eq \f(15,t2＋2)，当t＝0时， eq \o(QA,\s\up6(→))· eq \o(QB,\s\up6(→))取最大值，最大值为 eq \f(15,2).此时直线l方程为x＝1.