人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线复习练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线复习练习题，共4页。试卷主要包含了已知直线y＝k与抛物线C等内容，欢迎下载使用。

1．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B 【解析】当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条．
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
【答案】D 【解析】设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即切线方程为2x－y－1＝0.
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，该抛物线上点P的横坐标为2，则|PF|＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C 【解析】抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，点P的横坐标是2，所以|PF|＝2＋1＝3.
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A． eq \f(1,3)B． eq \f(\r(2),3)C． eq \f(2,3)D． eq \f(2\r(2),3)
【答案】D 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x＋2)，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4①.因为|FA|＝x1＋ eq \f(p,2)＝x1＋2，|FB|＝x2＋ eq \f(p,2)＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2②.由①②，得x2＝1或x2＝－2(舍去)，所以B(1，2 eq \r(2))，代入y＝k(x＋2)，得k＝ eq \f(2\r(2),3).
5．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则 eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)的最小值为( )
A． eq \r(3)B．1 C． eq \f(2\r(3),3)D．2
【答案】B 【解析】如图，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|.所以在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.由余弦定理，得|AB|2＝a2＋b2－2ab cs 60°＝a2＋b2－ab，配方，得|AB|2＝(a＋b)2－3ab.又因为ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－ eq \f(3,4)(a＋b)2＝ eq \f(1,4)(a＋b)2，得到|AB|≥ eq \f(1,2)(a＋b)＝|CD|.所以 eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)≥1，即 eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|)的最小值为1.
6．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1等于( )
A． eq \f(π,6)B． eq \f(π,4)C． eq \f(π,2)D． eq \f(2π,3)
【答案】C 【解析】如图，由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又因为∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝ eq \f(1,2)×π＝ eq \f(π,2)，即∠A1FB1＝ eq \f(π,2).
7．(多选)下列直线过点(－3，2)，且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的是( )
A．x＝－3 B．y＝2
C．x－3y＋9＝0 D．x＋y＋1＝0
【答案】BCD 【解析】显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝k(x＋3)，,y2＝4x，))得ky2－4y＋8＋12k＝0①.当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3，2)的直线方程为y＝2，满足条件．当k≠0时，方程①应有两个相等实根，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,Δ＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠0，,16－4k(8＋12k)＝0，))得k＝ eq \f(1,3)或k＝－1，所以直线方程为y－2＝ eq \f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.故选BCD.
8．抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为________．
【答案】(3，2 eq \r(6))或(3，－2 eq \r(6)) 【解析】设点P的坐标为(x，y)，∵|PF|＝5，∴2＋x＝5，∴x＝3.把x＝3代入方程y2＝8x，得y2＝24，∴y＝±2 eq \r(6).∴点P的坐标为(3，±2 eq \r(6)).
9．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋ eq \f(9,2)对称，则k的取值范围为________________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) 【解析】设M(x1，x12)，N(x2，x22)，两点关于直线y＝kx＋ eq \f(9,2)对称，显然k＝0时不成立，所以 eq \f(x12－x22,x1－x2)＝－ eq \f(1,k)，即x1＋x2＝－ eq \f(1,k).设MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝－ eq \f(1,2k)，y0＝k× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2k)))＋ eq \f(9,2)＝4.又中点P在抛物线y＝x2内，所以4> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2k))) eq \s\up12(2)，即k2> eq \f(1,16)，所以k> eq \f(1,4)或k<－ eq \f(1,4).10.已知抛物线y2＝2px(1(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N，求 eq \f(|MF|,|NF|)的值．
解：(1)由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＋\f(p,2)＝\f(5,4)，,2px0＝1，))消去x0得2p2－5p＋2＝0，因为1所以x0＝ eq \f(1,4)，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)因为F(1，0)，M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，
所以kMF＝－ eq \f(4,3)，直线MF的方程为4x＋3y－4＝0.
联立方程得方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,4x＋3y－4＝0，))消去x得y2＋3y－4＝0，解得y＝－4或1，
将y＝－4代入y2＝4x，解得x＝4，
则|MF|＝ eq \f(1,4)＋1＝ eq \f(5,4)，|NF|＝4＋1＝5，
所以 eq \f(|MF|,|NF|)＝ eq \f(\f(5,4),5)＝ eq \f(1,4).
B级——能力提升练
11．(多选)已知直线l：y＝k(x＋1)，抛物线C：y2＝4x，则下列说法正确的是( )
A．当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l与抛物线C有两个交点
B．当k＝0时，直线l与抛物线C有一个交点
C．当k＝±1时，直线l与抛物线C有一个交点
D．当k>1或k<－1时，直线l与抛物线C无交点
【答案】ABCD 【解析】由方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x＋1)，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，记Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2).①若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ>0，即k2≠0，且16(1－k2)>0，解得k∈(－1，0)∪(0，1)，所以当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l与抛物线C有两个交点．②若直线与抛物线有一个交点，则k2＝0或k2≠0时，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1，所以当k＝0或k＝±1时，直线l与抛物线C有一个交点．③若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ<0，解得k>1或k<－1，所以当k>1或k<－1时，直线l与抛物线C无交点．故选ABCD.
12．若抛物线y2＝x上A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于直线y＝x＋m对称，且y1y2＝－ eq \f(1,2)，则实数m的值为( )
A．－ eq \f(3,2)B． eq \f(3,2)C．1 D．－1
【答案】A 【解析】因为抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，所以 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－1，所以 eq \f(y1－y2,y12－y22)＝－1，所以y1＋y2＝－1.因为y1y2＝－ eq \f(1,2)，所以x1＋x2＝y12＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝2，所以两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)))，代入y＝x＋m，可得m＝－ eq \f(3,2).
13．已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
【答案】2 【解析】由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1，0)，所以直线AB的方程为y＝k(x－1).由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,y2＝4x，))得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝ eq \f(2(k2＋2),k2)，x1x2＝1.因为∠AMB＝90°，所以 eq \(MA,\s\up6(→))· eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2＝(1－k－k2) eq \f(2(k2＋2),k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，整理可解得k＝2.
14．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝kx＋b(k≠0)与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝6，线段AB的垂直平分线过点M(0，4)，则抛物线C的方程是________；若直线l过点F，则k＝________．
【答案】x2＝4y ± eq \f(\r(2),2) 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的焦半径公式可得|AF|＝y1＋ eq \f(p,2)，|BF|＝y2＋ eq \f(p,2)，则|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝6，即y1＋y2＝6－p.因为点M(0，4)在线段AB的垂直平分线上，所以|MA|＝|MB|，则x12＋(y1－4)2＝x22＋(y2－4)2.因为x12＝2py1，x22＝2py2，所以(y1－y2)(y1＋y2＋2p－8)＝0.因为y1≠y2，所以y1＋y2＝8－2p，则8－2p＝6－p，解得p＝2，故抛物线C的方程是x2＝4y.因为直线l过点F，所以直线l的方程是y＝kx＋1，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋1，))整理得x2－4kx－4＝0，则x1＋x2＝4k，从而y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2.因为y1＋y2＝6－p＝4，所以4k2＋2＝4，解得k＝± eq \f(\r(2),2).
15．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2 eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋λ eq \(OB,\s\up6(→))，求λ的值．
解：(1)直线AB的方程是y＝2 eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝ eq \f(5p,4).
由抛物线定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(5p,4)＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0即x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2 eq \r(2)，y2＝4 eq \r(2)，
从而A(1，－2 eq \r(2))，B(4，4 eq \r(2)).
设C(x3，y3)，
则 eq \(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2 eq \r(2))＋λ(4，4 eq \r(2))＝(4λ＋1，4 eq \r(2)λ－2 eq \r(2))，
又因为y32＝8x3，即[2 eq \r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.