高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义练习

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1．某质点的运动规律为s＝t2＋1，则在时间(2，2＋Δt)内，质点的位移增量等于( )
A．4Δt＋(Δt)2B．4＋Δt＋ eq \f(2,Δt)
C．2Δt＋(Δt)2D．2＋Δt
【答案】A 【解析】位移增量＝s(2＋Δt)－s(2)＝(2＋Δt)2＋1－(22＋1)＝4Δt＋(Δt)2.
2．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，那么在时间段[2，2＋Δt]内的平均速度是( )
A．8＋2ΔtB．4＋2Δt
C．7＋2ΔtD．－8＋2Δt
【答案】A
3．(2022年重庆模拟)如果质点A运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s(t)＝ eq \f(2,t)，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度为( )
A． eq \f(2,3)米/秒 B．－ eq \f(2,3)米/秒
C． eq \f(2,9)米/秒 D．－ eq \f(2,9)米/秒
【答案】D 【解析】 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(s(3＋Δt)－s(3),Δt)＝ eq \f(\f(2,3＋Δt)－\f(2,3),Δt)＝－ eq \f(2,3(3＋Δt))，所以 eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3(3＋Δt))))＝－ eq \f(2,9).故选D.
4．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s(t)＝ eq \f(1,2)gt2，g＝9.8 m/s2.若 eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝24.5 m/s，则24.5 m/s是该物体( )
A．从0 s到1 s这段时间的平均速度
B．从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度
C．在t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度
【答案】B 【解析】根据题 eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝24.5 m/s，可知该物体从t＝1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度为24.5 m/s.
5．已知一物体做直线运动，其运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)满足：s(t)＝－t2＋4t，则该物体在t＝1到t＝3这段时间的平均速度为________m/s.
【答案】0 【解析】由Δs＝s(3)－s(1)＝－32＋4×3－(－12＋4×1)＝0，得 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(0,3－1)＝0，则该物体在t＝1到t＝3这段时间的平均速度为0 m/s.
6．已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3 B．k2＜k1＜k3
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
【答案】A 【解析】∵k1＝ eq \f(f(2)－f(1),2－1)＝4－1＝3，k2＝ eq \f(f(3)－f(2),3－2)＝9－4＝5，k3＝ eq \f(f(4)－f(3),4－3)＝16－9＝7，∴k1＜k2＜k3.
7．(多选)某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，则( )
A．物体在t＝1 s时的瞬时速度为0 m/s
B．物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s
C．瞬时速度为9 m/s的时刻是在t＝4 s时
D．物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s
【答案】BCD 【解析】 eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s(1＋Δt)－s(1),Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f((1＋Δt)2＋(1＋Δt)＋1－(12＋1＋1),Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (3＋Δt)＝3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s，A错误； eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s(0＋Δt)－s(0),Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f((0＋Δt)2＋(0＋Δt)＋1－1,Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (1＋Δt)＝1，即物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s，B正确；设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，又因为 eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s(t0＋Δt)－s(t0),Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1＝9，所以t0＝4，物体在t＝4 s时的瞬时速度为9 m/s，C正确； eq \(v,\s\up6(－))＝ eq \f(s(1)－s(0),1－0)＝2(m/s)，D正确．故选BCD.
8．(2022年新疆期中)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
【答案】A 【解析】由题意可知k＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f((0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－b,Δx)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (Δx＋a)＝a＝1.又因为点(0，b)在切线上，所以0－b＋1＝0，解得b＝1.故选A.
9．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其初速度为________，其在t＝________时的瞬时速度为1.
【答案】0 eq \f(1,14) 【解析】平均速度为 eq \f(s(t)－s(0),t)＝ eq \f(7t2＋8－8,t)＝7t，当t趋向于0时，平均速度为0，即初速度为0.根据瞬时速度的定义，得v＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(7(t＋Δt)2＋8－7t2－8,Δt)＝14t，所以当v＝1时，t＝ eq \f(1,14).
10．在赛车比赛中，一赛车的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2.求当t＝20 s，Δt＝0.1 s时的Δs与 eq \f(Δs,Δt).
解：Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05，故 eq \f(Δs,Δt)＝ eq \f(21.05,0.1)＝210.5.
B级——能力提升练
11．一点沿直线运动，如果由起点起经过t秒后的距离s＝ eq \f(1,3)t3－ eq \f(1,2)t2－2t＋1，那么速度为零的时刻是( )
A．1秒末 B．2秒末
C．3秒末 D．4秒末
【答案】B 【解析】根据瞬时速度的定义，知v＝ eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝ eq \(lim,\s\d4(Δ t→0)) eq \f(\f(1,3)(t＋Δt)3－\f(1,2)(t＋Δt)2－2(t＋Δt)＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)t3－\f(1,2)t2－2t＋1)),Δ t)＝t2－t－2.令v＝t2－t－2＝0，得t＝2或t＝－1(舍去).
12．(多选)已知曲线y＝x3－x＋1在点P处的切线平行于直线y＝2x，那么点P的坐标为( )
A．(1，0) B．(1，1)
C．(－1，1) D．(0，1)
【答案】BC 【解析】设y＝f(x)＝x3－x＋1，则f′(x)＝lim eq \(,\s\d4(Δx→0)) eq \f((x＋Δx)3－(x＋Δx)＋1－(x3－x＋1),Δx)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx,Δx)＝3x2－1.令3x2－1＝2，即x2＝1，解得x＝±1.又因为f(1)＝1，f(－1)＝1，所以P点坐标为(－1，1)或(1，1).故选BC.
13．已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
【答案】5 4.1 【解析】当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f((2＋Δx)2－1－22＋1,Δx)＝ eq \f((2＋1)2－22,1)＝5；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f((2＋0.1)2－1－22＋1,0.1)＝4.1.
14．枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速运动，位移公式可表示为s＝ eq \f(1,2)at2，如果枪弹的加速度a＝5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间t＝1.6×10-3 s，那么枪弹射出枪口时的瞬时速度为__________m/s.
【答案】800 【解析】位移公式为s＝ eq \f(1,2)at2，∵Δs＝ eq \f(1,2)a(t0＋Δt)2－ eq \f(1,2)at02＝at0Δt＋ eq \f(1,2)a(Δt)2，∴ eq \f(Δs,Δt)＝at0＋ eq \f(1,2)aΔt，∴lim eq \(,\s\d4(,Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝lim eq \(,\s\d4(,Δt→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(at0＋\f(1,2)aΔt))＝at0.已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10-3 s，∴at0＝800 m/s，∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
15．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx＞0).
(1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围；
(2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率．
解：(1)由题意得，割线AB的斜率为
eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f(2＋Δx)－f(2),Δx)
＝ eq \f(－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2),Δx)
＝ eq \f(－4Δx＋Δx－(Δx)2,Δx)＝－3－Δx，
由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞).
(2)由(1)知函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的斜率为k＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝ eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (－3－Δx)＝－3.