湘教版九年级上册第1章 反比例函数1.2 反比例函数的图像与性质精品巩固练习

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一、选择题
1．（2023八下·杭州期末）若反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点(m，m)，则该图象必经过第（ ）象限
A．一、三B．二、四C．一、二D．三、四
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点(m，m)
∴k=m2＞0
∴反比例函数的图象必经过第一、三象限.
故答案为：A.
【分析】 由点(m，m) 的坐标先求出反比例系数k，再根据k的大小确定图象经过哪两个象限即可.
2．（2023八下·舟山期末）已知反比例函数y=a+1x的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（ ）
A．a=−1B．a≠−1C．a>−1D．a<−1
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=a+1x的图象位于第一、三象限，
∴a+1>0，
∴a>-1.
故答案为：C.
【分析】y=kx，当k>0时，图象位于一、三象限；
当k<0时，图象位于二、四象限.
3．（2023八下·泉州期末）如图，点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为3，则k的值为（ ）
A．12B．−12C．6D．−6
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为3
∴△ABO的面积为3×2=6
∴k2=6
∵反比例函数在第二象限
∴k=-12
故答案为：B.
【分析】根据三角形中线的性质，先求出△ABO的面积，再由反比例函数k的几何意义即可求出k的值
4．（2023八下·新昌期末）在反比例函数y=−2x图象上的点的坐标是（ ）
A．(−1，−2)B．(−12，4)C．(−2，−1)D．(−12，−4)
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵y=-2x，
∴xy=-2.
A、-1×-2=2，不符合题意；
B、-12×4=-2，符合题意；
C、-2×-1=2，不符合题意；
D、-12×-4=2，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数横纵坐标之积为-2，即可求出图像上对应的点的坐标.
5．（2023八下·德清期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象经过△AOB的顶点B.若AB//y轴，点A的坐标为(3，2)，△OAB的面积为3，5，则k的值为（ ）
A．6.5B．7C．13D．14
【答案】C
【知识点】点的坐标；反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），△OAB的面积为3.5，
∴12×AB×3=3.5，
∴AB=73，
∴B（3，133）.
将B（3，133）代入y=kx中可得k=3×133=13.
故答案为：C.
【分析】由三角形的面积公式结合点A的坐标可得AB的值，表示出点B的坐标，然后代入y=kx中进行计算就可求出k的值.
6．（2023八下·德清期末）在平面直角坐标系xOy中，若点A(2，y1)，B(5，y2)在反比例函数y=kx(k>0，k为常数)的图象上，则（ ）
A．y1>y2B．y1≥y2C．y1=y2D．y1【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=kx（k>0），
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵2<5，
∴y1>y2.
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
7．（2023八下·东阳期末）如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3B．﹣6C．6D．﹣3
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AO，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥OC，
∴S△OAB=S△CAB=3.
∵S△OAB=|k|2，k<0，
∴k=-6.
故答案为：-6.
【分析】连接AO，则AB∥OC，根据等底等高的三角形面积相等可得S△OAB=S△CAB=3，由反比例函数系数k的几何意义可得S△OAB=|k|2，据此求解.
8．（2023·泰安）一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、根据直线的位置可以判断a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴双曲线的两个分支应该在第一、三象限，所以A不符合题意；
B、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以B不符合题意；
C、根据直线的位置可以判断a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以C不符合题意；
D、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】对于每个选项，首先根据直线的位置，判断a、b的正负，从而得出ab的正负，然后判断出双曲线的位置，选择与与图象一致的选项即可。
二、填空题
9．（2023八下·绿园期末）若点A(a，b)在反比例函数y=2x的图象上，则代数式ab−4的值为 ．
【答案】-2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 把点A(a，b)代入y=2x中，得ab=2，
∴ab-4=2-4=-2.
故答案为-2：.
【分析】把点A(a，b)代入y=2x中求出ab值，再代入原式计算即可.
10．（2023八下·玄武期末）已知反比例函数y=k−2x的图像在第二、第四象限，则k的取值范围是 .
【答案】k<2
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=k-2x的图象在第二、第四象限，
∴k-2<0，
∴k<2.
故答案为：k<2.
【分析】根据反比例函数的图象在二、四象限可得k-2<0，求解就可得到k的范围.
11．（2023八下·相城期末）某反比例函数的图象过点（-1，6），则该反比例函数的解析式为 .
【答案】y=−6x
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为y=kx，
把点（-1，6）代入y=kx中，得k=-6，
∴反比例函数解析式为y=−6x；
故答案为：y=−6x.
【分析】利用待定系数法求解即可.
12．（2023八下·东阳期末）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
【答案】y1＜y3＜y2
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=6x，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴点A位于第三象限，B、C位于第一象限.
∵2<3，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：y1＜y3＜y2.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
13．（2023八下·眉山期末）如图，已知点A是一次函数y=12x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，点B是l上一点（点B在点A上方），在AB的右侧以线段AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B，C，若△OAB的面积为8，则k的值为 ．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为点D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AE=BE=CE，
设AE=a，则BE=CE=a，AB=2a，
∵点A在直线y=12x上，
∴可设A（m，m2），
∴B（m，m2+2a），C（m+a，m2+a），
又∵点B、C都在反比例图象上，
∴m（m2+2a）=（m+a）×（m2+a），
∴m=2a，∴S△OAB=12×AB×DE=12×2a×m=8，
∴12×2a×2a=8，
∴a=2，
∴B（4，6），
∴k=4×6=24.
故第1空答案为：24.
【分析】过点C作CD⊥y轴，垂足为点D，首先根据等腰直角三角形的性质得出AE=BE=CE，设AE=BE=CE=a，A（m，m2），然后分别用含有m，a的代数式表示点B、C的坐标，根据BC都在反比例函数图象上，得出m，a之间的关系，然后再根据△OAB的面积计算出a的值，从而得出B点的坐标，进一步求出k的值即可。
三、解答题
14．（2023九下·淮北月考）如图，一次函数y1=mx+n的图像与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2=kx的图像分别交于C，D两点，已知点C的坐标是(1，−3)，且AB=2BC，求一次函数与反比例函数的解析式．
【答案】解：∵点C(1，−3)在反比例函数y2=kx的图像上，
∴k=1×(−3)=−3，
∴y2=−3x，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠OAB=∠CAM，∠CMA=∠BOA=90°，
∴△AOB∽△AMC，
∴AOAM=ABAC=OBCM，
∵C(1，−3)，
∴OM=1，CM=3，
∵AB=2BC，
∴ABAC=23，
∴AOAO+OM=OBCM=23，
即AOAO+1=OB3=23，
∴OB=2，AO=2，
∴点A，B的坐标分别为A(−2，0)，B(0，−2)，
∵一次函数的解析式为：y1=mx+n，根据题意可得：
∴−2m+n=0n=−2，
解得m=−1n=−2，
∴y1=−x−2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】 将点C的坐标代入y2=kx求出k的值，过点C作CM⊥x轴于点M， 先证出△AOB∽△AMC，可得AOAM=ABAC=OBCM，再将数据代入求出A(−2，0)，B(0，−2)，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可。
15．（2023·池州模拟）如图，直线y=12x+b与双曲线y=4x（x>0）交于点A，并与坐标轴分别交于点B，C．过点A作AD∥y轴，交x轴于点D，连接DC，当△BOC的面积为4时，求线段DO的长．
【答案】解：直线y=12x+b与坐标轴分别交于点B，C，
∴B(−2b，0)，C(0，b)，且b＞0，
∴OB=2b，OC=b.
∵△BOC的面积是4，
∴12⋅2b⋅b=4，
解得b=±2（负值舍去），
∴直线AB的解析式为y=12x+2，
由y=12x+2与y=4x（x>0）联立，
解得x1=−2+23，x2=−2−23（舍去），
∴点A的横坐标为−2+23．
∵AD∥y轴，
∴线段DO的长为−2+23．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】先求出直线AB的解析式y=12x+2，再联立方程求出x的值，可得点A的横坐标，再求出线段DO的长为−2+23即可。
四、综合题
16．（2023八下·东阳期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 y=27x 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
​
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点 A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点 D'的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：作CH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，
∴C（9，3）；
（2）解：由（1）同理可得，点D（6，9），
∵点A'恰好落在反比例函数的图象上，
∴当y＝6时，x＝92，
∴m＝92，
∴D'（6+92，9），即D'（212，9）
（3）解：Q（92，272）或（92，﹣32）或（﹣92，6）或（92，2116）
【知识点】反比例函数的图象；菱形的性质；正方形的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）当OA'＝OP时，如图，
∵A'（92，6），
∴OA'＝152，
∵四边形OPQA'是菱形，
∴A'Q∥OP，A'Q＝OP，
∴Q′（92，272），
当点Q在第四象限时，Q（92，﹣32），
当A'O＝A'P时，如图，
则点A'与Q关于y轴对称，
∴Q（﹣92，6），
当PO＝PA'时，如图，设P（0，m），
则PO＝PA'，
∴m2＝（6﹣m）2+（92）2，
解得m＝22548，
∴OP＝A'Q＝22548，
∴Q（92，2116），
综上：Q（92，272）或（92，﹣32）或（﹣92，6）或（92，2116）．
【分析】（1）作CH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，由同角的余角相等可得∠OAB＝∠CBH，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得到BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，据此可得点C的坐标；
（2）由（1）同理可得：点D（6，9），令反比例函数解析式中的y=6，求出x的值，据此可得点D′的坐标；
（3）当OA'＝OP时，根据点A′的坐标可得OA'＝152，由菱形的性质可得A'Q∥OP，A'Q＝OP，据此可得点Q的坐标；当A'O＝A'P时，则点A'与Q关于y轴对称，据此可得点Q的坐标；当PO＝PA'时，设P（0，m），则PO＝PA'，利用两点间距离公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
17．（2023八下·玄武期末）如图，反比例函数y=mx的图象与一次函数y=kx+n的图象交于点A(2，a)，B(−6，b).
（1）若a=6，求m与b的值；
（2）关于x的不等式kx+n（3）连接OA，OB，若△AOB的面积为12，则m的值为 .
【答案】（1）解：当a=6时，
将(2，6)代入y=mx得6=m2，解得m=12，
∴反比例函数的表达式为y=12x.
将(−6，b)代入y=12x得b=−2.
（2）x<−6或0（3）9
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（2）由图象可得kx+n故答案为：x<-6或0（3）分别过A、B向x轴、y轴作垂线交于点G，交x轴于点E，交y轴于点F，
∴S△AOB+S△BOG+S△AOG=S△ABG，
∴12+12×8(-b)+12×2(a-b)=12×8(a-b)，
∴3a+b=12.
∵A（2，a）、B（-6，b）在y=mx的图象上，
∴a=m2，b=-m6，
∴3m2-m6=12，
∴m=9.
故答案为：9.
【分析】（1）将A（2，6）代入y=mx中可得m的值，据此可得反比例函数的表达式，然后将x=-6代入进行计算就可求出b的值；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）分别过A、B向x轴、y轴作垂线交于点G，交x轴于点E，交y轴于点F，则S△AOB+S△BOG+S△AOG=S△ABG，结合三角形的面积公式可得3a+b=12，根据点A、B在反比例函数图象上可得a=m2，b=-m6，代入求解即可.