必刷题型05 新定义及阅读理解题-2023-2024学年七年级数学下册期末解答压轴题必刷专题训练（华师大版）

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已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的表达式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得表达式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”，解决问题：
(1)已知二元次方程组则______，______．
(2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需35元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
【答案】(1)4，2；(2)45元
【详解】（1）解：，
①②得：，
①②得：，
，
故答案为：4，2；
（2）购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元，
由题意得：，
①②得：，
∴
答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需45元．
2．阅读下面解题过程，再解题．
已知，试比较-2023a+1与-2023b+1的大小．
解：因为，①
所以-2023a＞-2023b，②
所以-2023a+1＞-2023b+1．③
问：
(1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②；(2)错误地运用了不等式的基本性质3；(3)见解析
【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误；
（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）∵，
∴-2023a＜-2023b，
∴-2023a+1＜-2023b+1；
3．阅读以下材料：对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例知：；；．
(1)若，求的取值范围；
(2)如果，求的值．
【答案】(1)；(2)1或2．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：．
故答案为：；
（2）解：依题意，．
∴，
即是中最小的一个，
当中最小的一个是3时，
∴，解得；
当中最小的一个是时，
∴，
∴，
综上所述，的值为1或2．
4．认真阅读下列材料，并完成相应任务．
德智体美劳是对人的素质定位的基本标准，也是人类社会教育的趋向目标，劳动教育是培养学生进行劳动观念和劳动技能的教育，劳动可以树德、可以增智、可以强体、可以育美．开学初，某中学师生自己动手整修操场，已知让七年级师生单独完成需要7小时，八年级师生单独完成需要5小时．现七八年级师生一起劳动2小时后，剩下的由七年级师生单独完成．求剩下的部分由七年级师生单独完成需要几小时．
“兴趣小组”分析如下：如果把总工作量设为1，则七年级的工作效率为，八年级的工作效率为．基本数量关系为“工作效率×工作时间＝工作量”．此问题的等量关系有两种表示，一是按时间分为两个阶段，即①“七八年级合作两小时的工作量+七年级单独完成的工作量＝总工作量”；二是按年级分，即②“七年级完成的工作量+八年级完成的工作量＝总工作量”．设剩下的部分七年级单独完成需要x小时，列方程为：．
任务一：“兴趣小组”列方程根据的等量关系是______（填上述材料中的①或②），方程中“”表示的实际意义是______．
任务二：在上述等量关系的两种表示中另选一种列方程，并解答问题．
【答案】任务一：②，七年级总共完成的工作量；任务二：见解析
【详解】解：任务一：因为七年级的工作效率为，八年级的工作效率为，则是指七年级的工作时间，是根据上述材料中的②进行列式的；“”表示的实际意义是七年级总共完成的工作量，
故答案为：②，七年级总共完成的工作量；
任务二：设剩下的部分七年级单独完成需要x小时．
根据题意得，解得，
答：剩下的部分七年级单独完成需要小时．
5．阅读材料并完成相应的任务．
小逸在趣味数学书上看到这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是什么？
【回顾】
小逸回顾做过的一道简单的类似题目：
已知，设，那么的取值范围是①．
【探究】
小逸想：可以将趣味数学书上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目．
由得，则，
由，，得关于的一元一次不等式组②，
解该不等式组得到的取值范围为③，
则的取值范围是④．
任务一：补充材料中的信息．
①：___________；②：___________；③：___________；④：___________．
任务二：（1）已知，且，，设，求的取值范围．
（2）若，且，，，设，且为整数，求所有可能的值的和．
【答案】任务一：；；；；任务二：（1）；（2）
【详解】解：任务一：
回顾：∵，，
∴，
∴，
探究：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴可得关于的一元一次不等式组，
解该不等式组得到的取值范围为，
∴，
∴的取值范围是，
故答案为：；；；；
任务二：
（1）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴可得关于的一元一次不等式组，
解该不等式组得，
∴，
∴的取值范围为；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴可得关于的一元一次不等式组，
解得，
∴，
∴的取值范围为，
∵为整数，
∴的取值为，，，
∴所有可能的值的和为，
∴所有可能的值的和为．
6．阅读探索．
知识累积：解方程组，
解：设，，原方程组可变为
解方程组，得：，即，解得．此种解方程组的方法叫换元法．
(1)举一反三：运用上述方法解下列方程组：；
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解是_________；
(3)拓展提高：若方程组的解是，则方程组的解是_________．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：设，，原方程组可变为
解方程组，得：，即，解得．
（2）解：关于，的方程组的解为，
∴关于，的方程组的解为；解得：
（3）解：∵方程组的解是，则
∴的解为．
7．定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式．
(1)在不等式中，是的蕴含不等式的是 ；
(2)若是的蕴含不等式，求的取值范围；
(3)若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，求n的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：在不等式中，是的蕴含不等式的是．
故答案为：；
（2）解：解不等式，
可得，
则，
解得．
故的取值范围是；
（3）解：依题意有：，
解得．
故的取值范围是．
8．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
例题：解不等式．
解：由有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，
可得①或②，
解不等式组①得
解不等式组②得，
所以的解集为或．
请你利用上述解题思想解决下面的问题．
(1)求不等式的解集．
(2)根据有理数的除法法则求不等式 的解集．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
有或
解不等式组得，
解不等式组得无解，
所以不等式的解集是；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”，
有或
解不等式组得：，
解不等式组无解，
所以不等式的解集是．
9．阅读下列材料：求不等式的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：
①或②．
解①，得． 解②，得，
∴不等式的解集为或．
请你仿照上述方法解决下列问题：
(1)求不等式的解集；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)；(2)或
【详解】（1）解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：
①或②，
解①得，解②可知无解，
∴不等式的解集为；
（2）解：当，
根据“同号两数相除，商为正”可得：
①或②，
解①得，解②得，
∴不等式的解集为或；
当，即时，原不等式也成立；
综上所述，或．
10．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
(1)若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值；
(2)若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值．
【答案】(1)；(2)，或，或，
【详解】（1）解：解，得，
解，得，
由题意得，解得；
（2）解：解不等式C：得：，
解不等式D：得：，
∴，
∴，
∵m，n是正整数，
∴n为1或2或4，
∴，或，或，．
11．【阅读理解】：
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则．
【知识运用】：
（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）
①__________；②当时，__________；③若，则__________；
（2）试比较与与的大小，并说明理由；
【类比运用】：
（3）图1是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为；则与大小的大小关系为：；
（4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由．
【答案】（1）＞；＞；＜；（2）；（3）＜；（4），理由见解析
【详解】解：（1）①∵，
∴；
②∵，
又∵，
∴，
∴；
③∵，
又∵，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；；；
（2）
，
，
，
；
（3）∵新长方形的长为，宽为，
∴新长方形的面积，
∵新正方形的长为，
∴新正方形的面积，
∴
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（4），理由如下：
设，则，，
，
．
12．阅读下面的材料：求不等式的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”，得①或②
解①，得；解②，得.
所以，不等式的解集为或.
请你仿照上述方法，求：
(1)不等式的解集；
(2)不等式的解集．
【答案】(1)；(2)或．
【详解】（1）解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：
①或②，
解①可知无解，解②可知，
∴不等式的解集为；
（2）解：当，
根据“同号两数相除，商为正”可得：
①或②，
解①得，解②得，
∴不等式的解集为或；
当，即时，原不等式也成立；
综上所述，或．
13．请阅读下列材料，完成相应的任务：
凸四边形的性质研究
如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质：任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，例如，在图①中，凸四边形的对角线相交于点O，且，△AOB,△BOC,△COD,△AOD的面积分别为则有，证明过程如下：
…任务：
(1)请将材料中的证明过程补充完整；
(2)如图②，任意凸四边形的对角线相交于点O，分别记△AOB,△BOC,△COD,△AOD的面积为，求证：
(3)如图③，在四边形中，对角线相交于点O，，则四边形的面积为___________ ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)21
【详解】（1）∵，，
；
（2）如图，分别过点作于点于点．
，
，
，
；
（3）∵，根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，
∴，
∴四边形的面积=+++=．
故答案为：21
14．定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”．
(1)若关于的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______；
(2)若关于的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数的值；
(3)若关于的方程与互为“相反方程”，直接写出代数式的值．
【答案】(1)；(2)b的值为；(3)1
【详解】（1）解：∵关于的方程①：的解是，
∴，
∴，
∴方程①为，
∴方程①的“相反方程”是，
解得，
故答案为：；
（2）关于x的方程的“相反方程”为，
由得，
由得，
∵关于的方程与其“相反方程”的解都是整数，
∴与都为整数，
又∵b为整数，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上所述，整数b的值为；
（3）方程整理得，，
∵关于的方程与互为“相反方程”，
∴，
∴，
∴，
∴
．
15．三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点．
问题1：如图1：是△ABC的中线，求证：
问题2：如图2：，求证：
问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积：
（1）如图3：在四边形，小孙同学的辅助线：
①连接对角线，②作交的延长线于E；③取的中点M，则直线为所求直线．
（2）如图4：在四边形，小悟同学的辅助线：
①连接对角线和；②取的中点O，③连接；④过点O作的平行线与四边形的边交点于P，则直线则为所求直线．
下面就请你完成小孙和小悟的证明．
问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形，请你也尝试画一画吧！
（保作图痕迹并写出作图方法）
【答案】【问题1】见解析；【问题2】见解析；【问题3】见解析；【问题4】①连接对角线和；②过点B作BM∥AC，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求．
【详解】【问题1】证明：如图，过点A作于点P，
∴，
∵是△ABC的中线，
∴，
∴；
【问题2】
证明：如图，分别过点A，D作，垂足分别点K，L，
∴，
∵，
∴，
∴；
【问题3】
（1）∵，
∴
∴，即，
∵M为中点，
∴平分△ABE的面积，即平分四边形的面积．
（2）∵O为中点，
∴平分的面积，平分的面积，
∴折线A－O－C平分四边形的面积，
即，
∵AC∥OP，
∴，
∴，即
∴平分四边形的面积；
【问题4】
解：①连接对角线和；②过点B作BM∥AC，交延长线于M；过点E作EN∥AD，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求．
∵BM∥AC，EN∥AD，
∴，，
∴，，
∴，，
∵点H为的中点，
∴，
∴，
即线平分五边形．
16．【概念认识】在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形中，，点在边上且是四边形的“映角点”，若，，则的度数为 ；
（2）如图②，在四边形中，，点在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点，求证：∠ADP=∠CEB．
【综合运用】在四边形中，，点是四边形的“映角点”，、分别平分、，当和所在直线相交于点时，请直接写出与满足的关系式．
【答案】【初步思考】（1）60；（2）见解析；【综合运用】当时，；当时，．
【详解】[初步思考]（1）解：根据题意可知，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，故答案为：．
（2）∵点是四边形的“映角点”，
∴，
又，
∴，
在四边形中，
∴，
又
∴．
[综合运用]当时，；当时，．
如图，
，
由（2）可知，
设，，
；
当时，；
如图，
，
由可知，，
设，，
，
则，
，
，
，
，
．
当时，．
17．基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，是△ABC边上的中线，则．
理由：因为是△ABC边上的中线，所以．
又因为，，所以．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：
在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
(1)如图2，延长△ABC的边到点D，使，连接．若的面积为，则（用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长△ABC的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若△DEC的面积为，则（用含a的代数式表示）；
(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为，则（用含a的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D是△ABC的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且△ABC的面积为，则的面积为（用含a的代数式表示），并写出理由．
【答案】(1)a；(2)2a；(3)6a；(4)2a，见解析
【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使，
为的中线，
即；
（2）如图3，连接，
延长△ABC的边到点，延长边到点，使，，
，，
，
即；
（3）由（2）得，
同理：，，
；
（4），理由如下：
理由：∵点E是线段的中点，
∴，．
∴．
∵点F是线段的中点，
∴．
∴．
18．如图，已知的面积是，请完成下列问题：
(1)如图，△ABC中，若是边上的中线，则的面积______△ACD的面积填“”、“”或“”；
(2)如图，若、分别是△ABC的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：
连接，由得，
同理，可得．
设，，则，．
由题意得，．
可列方程组，解得______，
通过解这个方程组可得四边形的面积为______；
(3)如图，，，请直接写出四边形的面积______不用书写过程
【答案】(1)；(2)；；(3)
【详解】（1）解：如图，过作于，
是△ABC的边上的中线，
，
，，
，
故答案为：；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
所以原方程组的解为，
，
，
故答案为：，；
（3）解：如图，连接，
，
，
，
，
设，，则，，
由题意得：，，
可列方程组为：，解得：，
．
故答案为：．
19．先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如下图）可以看出只有大于-6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如下图）可以看出只有小于-6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
(1)的解集为，的解集为；
(2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是负整数．求m的值．
【答案】(1)；或；(2)
【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：
的解集为；的解集为或．
故答案为：；或．
（2）解：∵二元一次方程组
∴①+②可得：，即
∵
∴，即
∴
∴
∵m是负整数
∴．
20．定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是N：的“子集”．
(1)若不等式组：A：，B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填A或B）；
(2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ；
(3)已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中，下列三个不等式组：A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为 ；
(4)已知不等式组M：有解，且N：是不等式组M的“子集”，请写出m，n满足的条件： ．
【答案】(1)A；(2)；(3)；(4)
【详解】（1）解：A：的解集为，B：的解集为，M：的解集为，
∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集，
故答案为：A；
（2）解：不等式组的解集为
∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴，
故答案为：；
（3）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中，
∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解不等式组M：得：，
∵不等式组M有解，
∴，
∵N：是不等式组的“子集”，
∴，，
∴，
故答案为：．
21．阅读下列材料：
已知，且，，试确定的取值范围有如下解法：
解：，且，，又，
同理得．
由得，
的取值范围是．
按上述方法完成下列问题：关于，的方程组的解都为正数．
(1)求的取值范围；
(2)已知，且，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解方程组，得，
方程组的解都为正数，
，解得，
的取值范围为；
（2），，，
，，
，，
，，
．
22．（1）观察发现：
材料：解方程组，
将①整体代入②，得，
解得，
把代入①，得，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组
（3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值 ．
【答案】（1）；（2）；（3），2，3
【详解】解：（1），
由①得：，
把代入②得，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为；
故答案为：；
（2）
由①得：，
把代入②得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（3），
得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
∴满足条件的m的所有正整数值为，2，3．
故答案为：，2，3．
23．阅读下列材料，并深入理解“等量代换”的方法：
解答“已知，且，，试确定y的取值范围”有如下解法：
解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴y的取值范围是．
请解答以下问题：
已知，关于x，y的方程组的解都是正数．
(1)求a的取值范围；
(2)若，且，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：
①×2+②，得，解得：，
，得，解得：，
∵方程组的解都是正数，
∴，
解得a的取值范围是；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴b的取值范围是．
24．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，．
请你解决下列问题：
(1)_______；_______；
(2)如果，那么x的取值范围是________；
(3)如果，求x的值．
【答案】(1)3，；(2)；(3)3或
【详解】（1）解：由题意得：，，
故答案为：3，．
（2）解：，
，
故答案为：．
（3）解：，
，
解得，
，
又为整数，
或，
或．
25．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出满足方程的正整数解 ．
(2)若为非负整数，则满足条件的正整数x的值有 个．
(3)七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的签字笔与单价为7元的笔记本两种奖品，共花费63元，问有哪几种购买方案？
【答案】(1)，；(2)6；(3)有两种购买方案：①购买4元的笔记本7本，单价为7元的钢笔5支；②购买4元的笔记本14本，单价为7元的钢笔1支．
【详解】（1）解：由，得（x、y为正整数）．
∵，
即，且x为2的整数倍，
∴当时，；当时，；
即方程的正整数解是，，
故答案为：，；
（2）解：若为非负整数，
则有：，
即可以取1，2，4，5，10，20，
当即时，；
当即时，；
当即时，；
当即时，；
当即时，；
当即时，；
即满足条件x的值有6个，
故答案为：6．
（3）解：设购买单价为4元的笔记本m本，单价为7元的钢笔n支．
则根据题意得：，其中m、n均为自然数．
∴，
则有：，
解得：．
由于为正整数，则m为7的倍数．
∴当时，；
当时，；
答：有两种购买方案：①购买4元的笔记本7本，单价为7元的钢笔5支；
②购买4元的笔记本14本，单价为7元的钢笔1支．
26．如果一对数 ，，满足，我们称这一对数，为“友好数对”，记为；如果一对数 ，，满足，我们称这一对数对为“和气数对”，记为．
(1)若是“友好数对”，则________；
(2)若有一数对，既是“友好数对”，也是“和气数对”，求， 的值；
(3)若是“友好数对”，是“和气数对”，求代数式的值．
【答案】(1)；(2)，；(3)式子的值为．
【详解】（1）解：由“友好数对”的定义得：
，
解得：，
故答案为：；
（2）解：由题意得：
，
将②代入①，得：，
∴，
∴，
∴，
把代入②，得：，
∴，
∴，；
（3）解：∵是“友好数对”，
∴，
∴，
∵是“和气数对”，
∴，
∴
．
∴式子的值为．
27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”；
(2)若关于方程与是“美好方程”，求关于的方程的解．
【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”．(2)．
【详解】（1）解：方程与方程互为“美好方程”，理由如下：
解方程得，
解方程得，
∵，
∴方程与方程互为“美好方程”．
（2）解：解方程得，
∵关于方程与是“美好方程”，
∴方程的解为，
将变形为，
∴，
∴，
∴方程的解为．
28．【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．
如图②，在△ABC中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步应用】
如图③，点D，E分别是△ABC的边延长线上一点，
（1）若，则______；
（2）若，则______；
（3）若，则______．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是△ABC的边延长线上一点，
（4）若，分别作和的平分线交于点O，则______；
（5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______；
（6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）60；（5）100；（6）．
【详解】（1）由三角形外角的性质可得出．
故答案为：；
（2）∵，，
∴．
∵，，
∴．
故答案为：；
（3）由（2）同理可得．
∵，，
∴
故答案为：；
（4）∵和的平分线交于点O，
∴，，
∴．
由（2）可知，
∴，
∴．
故答案为：；
（5）∵，，
∴．
由（2）可知，
∴，
∴．
故答案为：100；
（6）∵，，
∴．
由（3）可知，
∴，
∴．
故答案为：．
29．【理解概念】
（1）如果一条直线将一个图形分割成面积相等的两个部分，则称这条直线叫做该图形的“等积线”．
（2）如图①，直线，点A是直线上的一点，，垂足为B，则线段的长度是与之间的距离．我们知道，两条平行线之间的距离处处相等．
【新知探究】
（1）如图②，过点A画出△ABC的等积线，并简要说明画法；
（2）如图③，直线，A、B是上的两点，P、Q是上的两点，分别连接与交于点O．设的而积为，的面积为，则______（填“”“”或“”）．
【拓展提高】
（1）如图④，点M是△ABC中边上的一点，．小峰同学做了如下的操作：
①连接，过点C画，交的延长线于点D：
②找出线段的中点E，画直线ME．
小峰认为直线就是△ABC的等积线，你同意吗？说明理由．
（2）如图⑤，在四边形中，连接AC, △ACD的面积小于△ABC的面积．
过点A画四边形的等积线，并简要说明画法，不需说理．
【答案】（1）见解析；（2）；（1）同意，见解析；（2）见解析．
【详解】（1）取中点，连接，是的等积线．
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（1）连接，
∵，
∴，
∴，
∵的中点是E，
∴，
∴
∴就是△ABC的等积线．
（2）过作交延长线于，连接，
取中点，连接，
与（1）同理可得，即为四边形的等积线．
30．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．
【概念理解】
(1)若△ABC为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；
(2)若△ABC为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；
(3)已知是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由；
【应用拓展】
(4)如图，平分△ABC的内角，交于点E，平分△ABC的外角，延长和交于点P，已知，若是开心△ABE中的一个开心角，设，求的度数．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)或或
【详解】（1）解：设最小角为，
∵△ABC为开心三角形，，
∴，
∴，
∴这个三角形中最小的内角为．
故答案为：；
（2）∵，
当与互为“开心角”时，则最小角为；
当与互为“开心角”时，设最小角为，
∴，
∴，
综上：△ABC为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为；
故答案为：40；
（3）∵是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，
∴另一个开心角是，
∴第三个内角是，
∵是最小内角，
∴，
∴；
（4）∵平分△ABC的内角，平分△ABC的外角，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵，则，
∵，，
∴，即，
∴，
∴
①当与互为开心角时，
或，
∴或，
解得或；
②当与互为开心角，
或，
∴或，
解得；
综上所述：或或．