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七年级数学下册高分突破专题01平行线综合各市好题必刷(期中复习压轴专题满分攻略)(原卷版+解析)
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这是一份七年级数学下册高分突破专题01平行线综合各市好题必刷(期中复习压轴专题满分攻略)(原卷版+解析)，共49页。
1．（2022秋•内乡县期末）如图，CD∥BE，如果∠ABE＝120°，那么∠AOC＝（ ）度．
A．60B．120C．30D．90
2．（2022秋•永兴县期末）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．两点之间线段最短
3．（2022秋•内乡县期末）如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．∠2与∠B是内错角B．∠A与∠1是内错角
C．∠3与∠B是同旁内角D．∠A与∠3是同位角
4．（2023•碑林区校级一模）直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝77°，则∠2的度数为（ ）
A．42°B．37°C．32°D．7°
5．（2022秋•长安区校级期末）如图，在三角形ABC中，点E，D，F分别在AB，BC，AC上，连接ED，CE，EF，下列条件中，能推理出DE∥AC的是（ ）
∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD
C．∠DEC＝∠ECF D．∠FEC＝∠BCE
6．（2022秋•渝北区期末）如图，MN∥PQ，将一块三角板ABC如图所示放置，∠ABC＝90°，∠BDQ＝70°，则∠ABN的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
7．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，若∠ABC＝58°，则∠ECD的度数为（ ）
A．39°B．29°C．38°D．28°
8．（2022秋•洪江市期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形的三个内角的和等于180度
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的角平分线是一条射线
D．三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半
9．（2023•新城区一模）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．40°
10．（2022秋•达川区期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：
①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．
其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
11．（2022秋•卧龙区校级期末）如图所示，下列推理正确的个数有（ ）
①若∠1＝∠2，则AB∥CD
②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°
③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC
④若AB∥CD，则∠3＝∠4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．（2022春•潼关县期中）如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为B和D，BE和DF分别平分∠ABN和∠CDN．下列结论：①AB∥CD；②∠1＝∠2；③CD⊥EF；④∠E+∠F＝180°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．（2022春•牡丹区校级期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠β﹣∠α＝90°B．∠β+∠α＝90°
C．∠β＝3∠αD．2∠α+∠β＝180°
14．（2022春•漳平市期中）如图，将周长为16的△ABC沿BC方向平移2个单位得△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．18B．20C．22D．24
15．（2022春•东湖区校级期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．6B．9C．18D．24
16．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（ ）
A．（a+1.8）h m2B．（h+1.8）a m2
C．1.8（h+a）m2D．1.8ah m2
17．（2022春•藁城区校级月考）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
18．（2022春•仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（ ）
A．18°B．27°C．30°D．45°
19．（2022•长兴县开学）如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝6，AF＝14，则BE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
二．填空题
20．（2022秋•临淄区期末）如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
21．（2022秋•小店区校级期末）如图，直线AB、CD被EF所截，若∠1＝∠2，则∠AEF+∠2＝ ．
22．（2022秋•衡山县期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝ ．
23．（2021秋•市南区校级月考）如图所示，AB∥ED，∠CAB＝142°，∠ACD＝76°，则∠CDE的度数是 ．
24．（2023•高新区校级开学）如图，若直线a∥b，则∠A的度数是 ．
三．解答题（共26小题）
25．（2022春•观山湖区期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC，试猜想∠3与∠B的关系，并说明理由．
26．（2022秋•金牛区期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
27．（2022秋•连平县校级期末）填空，将本题补充完整．
如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°，将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝ ，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ （等量代换），
∴AB∥GD（ ），
∴∠BAC+ ＝180°（ ），
∵∠BAC＝75°（已知），
∴∠AGD＝ °．
28．（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；
（2）若∠EOC＝∠EOD，求∠BOD的度数．
29．（2021秋•昭平县期末）如图，有以下四个条件：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED．请在四个条件中选择三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，给予证明．
30．（2022秋•榆树市期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
31．（2022春•武昌区期中）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：BF∥DE；
（2）若DE⊥AC，∠2＝144°，求∠AFG的度数．
32．（2022秋•榕城区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
32．（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
33．（2022春•盐都区月考）【探究】（1）如图1，∠ADC＝100°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
（4）如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
34．（2022春•市南区校级期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
【类比应用】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由．
（2）如图3，设∠PAB＝α、∠CDP＝β、直接写出∠α、∠β、∠P之间的数量关系为 ．
【联系拓展】如图4，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠P，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由．
35．（2022春•顺德区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并直接写出结论．
（3）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150° ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
38．（2022春•岳麓区校级期末）如图①，已知AB∥CD，∠A＝∠D＝100°．
（1）请你说明：AC∥BD；
（2）如图②，若点E、F在AB上，且∠FCB＝∠DCB，CE平分∠ACF，求∠ECB的度数；
（3）在（2）的条件下，若左右平行移动BD，如图③，则∠CBA：∠CFA的值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出这个比值．
39．（2022春•聊城期末）如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）①当∠A＝56°时，∠ABN的度数是 124° ；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝ ∠CBN ；
（2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）；
（3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律；
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN+∠A的度数．
40．（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
41．（2022春•覃塘区期末）已知直线PQ∥MN，动点C在PQ与MN之间．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，求∠C，∠1，∠2三者之间的数量关系；
（2）如图2，将一块三角尺（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图中位置摆放，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，且∠CEG＝∠CEM，求∠GEN与∠BDF之间的数量关系．
阶段性复习压轴专题满分攻略
专题01 平行线综合各市好题必刷
一．选择题
1．（2022秋•内乡县期末）如图，CD∥BE，如果∠ABE＝120°，那么∠AOC＝（ ）度．
A．60B．120C．30D．90
【答案】A
【解答】解：∵CD∥BE，
∴∠ABE+∠BOD＝180°，
∵∠ABE＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°．
故选：A．
2．（2022秋•永兴县期末）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．两点之间线段最短
【答案】D
【解答】解：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理是两点之间线段最短．
故选：D．
3．（2022秋•内乡县期末）如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．∠2与∠B是内错角B．∠A与∠1是内错角
C．∠3与∠B是同旁内角D．∠A与∠3是同位角
【答案】B
【解答】解：A．∠2与∠B是内错角，不符合题意；
B．∠A与∠1不是内错角，符合题意；
C．∠3与∠B是同旁内角，不符合题意；
D．∠A与∠3是同位角，不符合题意；
故选：B．
4．（2023•碑林区校级一模）直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝77°，则∠2的度数为（ ）
A．42°B．37°C．32°D．7°
【答案】C
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，∠1＝77°，
∴∠EFC＝∠1＝77°，
∵∠EFG＝45°，
∴∠2＝∠EFC﹣∠EFG＝77°﹣45°＝32°．
故选：C．
5．（2022秋•长安区校级期末）如图，在三角形ABC中，点E，D，F分别在AB，BC，AC上，连接ED，CE，EF，下列条件中，能推理出DE∥AC的是（ ）
∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD
C．∠DEC＝∠ECF D．∠FEC＝∠BCE
【答案】C
【解答】解：由∠EDC＝∠EFC，不能判定DE∥AC，
故A不符合题意；
∵∠AFE＝∠ACD，
∴EF∥BC，
故B不符合题意；
∵∠DEC＝∠ECF，
∴DE∥AC，
故C符合题意；
∵∠FEC＝∠BCE，
∴EF∥BC，
故D不符合题意；
故选：C．
6．（2022秋•渝北区期末）如图，MN∥PQ，将一块三角板ABC如图所示放置，∠ABC＝90°，∠BDQ＝70°，则∠ABN的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】B
【解答】解：∵MN∥PQ，∠BDQ＝70°，
∴∠MBD＝∠BDQ＝70°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠MBD﹣∠ABC＝20°，
故选：B．
7．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，若∠ABC＝58°，则∠ECD的度数为（ ）
A．39°B．29°C．38°D．28°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝58°，
∴∠ABC＝∠BCD＝58°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD＝∠BCD＝29°，
故选：B．
8．（2022秋•洪江市期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形的三个内角的和等于180度
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的角平分线是一条射线
D．三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半
【答案】C
【解答】解：A、三角形的三个内角的和等于180度，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：C．
9．（2023•新城区一模）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．40°
【答案】D
【解答】解：如图：
∵∠AOC＝∠2＝45°时，OA∥b，即a∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣45°＝40°．
故选：D．
10．（2022秋•达川区期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：
①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．
其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故选：B．
11．（2022秋•卧龙区校级期末）如图所示，下列推理正确的个数有（ ）
①若∠1＝∠2，则AB∥CD
②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°
③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC
④若AB∥CD，则∠3＝∠4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥DC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误；
∵∠C+∠CDA＝180°，
∴AD∥BC，∴③正确；
由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误；
正确的个数有2个，
故选：C．
12．（2022春•潼关县期中）如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为B和D，BE和DF分别平分∠ABN和∠CDN．下列结论：①AB∥CD；②∠1＝∠2；③CD⊥EF；④∠E+∠F＝180°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴∠ABD＝∠CDN＝90°，
∴AB∥CD，
故①正确；
∵BE和DF分别平分∠ABN和∠CDN，
∴∠1＝∠ABD＝45°，∠2＝∠CDN＝45°，
∴∠1＝∠2，
故②正确；
∵CD⊥MN，EF与MN不一定平行，
∴CD与EF不一定垂直，
故③不正确；
∵∠1＝∠2，
∴EB∥FD，
∴∠E+∠F＝180°，
故④正确；
所以，上列结论，其中正确的结论有3个，
故选：C．
13．（2022春•牡丹区校级期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠β﹣∠α＝90°B．∠β+∠α＝90°
C．∠β＝3∠αD．2∠α+∠β＝180°
【答案】A
【解答】解：延长BC交直线DE于点F，
∵AB∥DE，
∴∠BFE＝∠α，
∵∠BCD＝90°，
∴∠FCD＝180°﹣∠BCD＝90°，
∵∠CDE是△CFD的一个外角，
∴∠β＝∠FCD+∠BFE＝90°+∠α，
∴∠β﹣∠α＝90°，
故选：A．
14．（2022春•漳平市期中）如图，将周长为16的△ABC沿BC方向平移2个单位得△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．18B．20C．22D．24
【答案】B
【解答】解：由平移的性质可知：DF＝AC，AD＝CF＝2，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴AB+BC+DG＝16，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝20，
故选：B．
15．（2022春•东湖区校级期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．6B．9C．18D．24
【答案】C
【解答】解：由平移的性质可知，空白部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
则阴影部分的面积＝5×3×2﹣2×2×3＝18（cm2），
故选：C．
16．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（ ）
A．（a+1.8）h m2B．（h+1.8）a m2
C．1.8（h+a）m2D．1.8ah m2
【答案】C
【解答】解：由题意得，地毯的长度为（a+h）米，
故地毯的面积为：1.8（h+a）m2．
故选：C．
17．（2022春•藁城区校级月考）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
【答案】D
【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
故选：D．
18．（2022春•仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（ ）
A．18°B．27°C．30°D．45°
【答案】B
【解答】解：设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，
∵AD⊥PQ，AF⊥AB，
∴∠BAF＝∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝90°+α，∠CEA＝∠ADE+∠DAE＝90°+α，
∴∠BAE＝∠CEA，
∵MN∥PQ，BC平分∠ABM，
∴∠BCE＝∠CBM＝∠CBA，
又∵∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠BAE＝360°，
∴∠BCE+∠CEA＝180°，
∴AE∥BC，
∴∠ACB＝∠CAE，即α＝45°，
∴α＝18°，
∴∠DAE＝18°，
∴Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（45°+18°）＝27°，
故选：B．
19．（2022•长兴县开学）如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝6，AF＝14，则BE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】A
【解答】解：由平移的性质可知，BE＝AD，DF＝AC，
则DF﹣DC＝AC﹣DC，即CF＝AD，
∴AD＝（AF﹣CD）＝（14﹣6）＝4，
∴BE＝4，
故选：A．
二．填空题
20．（2022秋•临淄区期末）如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
【答案】11
【解答】解：由平移的性质可知：DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝acm，
∴EC＝（5﹣a）cm，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+2+4＝11（cm），
故答案为：11．
21．（2022秋•小店区校级期末）如图，直线AB、CD被EF所截，若∠1＝∠2，则∠AEF+∠2＝ ．
【答案】180°
【解答】解：∵直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠AEF+∠2＝180°．
故答案为：180．
22．（2022秋•衡山县期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝ ．
【答案】90°
【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．
∵AB∥CD，OP∥AB，
∴OP∥CD，
∴∠2＝∠POC，
∵∠AOP+∠POC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
23．（2021秋•市南区校级月考）如图所示，AB∥ED，∠CAB＝142°，∠ACD＝76°，则∠CDE的度数是 ．
【答案】38°
【解答】解：延长AC交ED于点F，
∵AB∥ED，∠CAB＝142°，
∴∠AFD＝180°﹣∠CAB＝38°，
∵∠ACD是△CFD的一个外角，∠ACD＝76°，
∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AFD＝38°，
故答案为：38°．
24．（2023•高新区校级开学）如图，若直线a∥b，则∠A的度数是 ．
【答案】22°
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠CDB＝50°，
∵∠CDB＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠CDB﹣∠ABD＝50°﹣28°＝22°．
故答案为：22°．
三．解答题（共26小题）
25．（2022春•观山湖区期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC，试猜想∠3与∠B的关系，并说明理由．
【解答】解：∠3＝∠B，理由如下：
∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∴∠3＝∠B（等量代换）．
26．（2022秋•金牛区期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴FG∥AE；
（2）解：∵FG⊥BC，
∴∠FHB＝90°，
∵AB∥CD，∠D＝120°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABH＝∠ABD＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°，
∴∠1的度数为60°．
27．（2022秋•连平县校级期末）填空，将本题补充完整．
如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°，将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝ ∠3 ，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ ∠3 （等量代换），
∴AB∥GD（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠BAC+ ∠AGD ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠BAC＝75°（已知），
∴∠AGD＝ 105 °．
【解答】解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥GD（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝75°（已知），
∴∠AGD＝105°．
故答案为：∠3；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；105．
28．（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；
（2）若∠EOC＝∠EOD，求∠BOD的度数．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝38°，
∴∠AOC＝∠BOD＝38°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝38°，
∴∠EOD＝180°﹣38°×2＝104°；
（2）∵∠EOC+∠EOD＝180°，∠EOC＝∠EOD，
∴∠EOC＝80°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°．
29．（2021秋•昭平县期末）如图，有以下四个条件：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED．请在四个条件中选择三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，给予证明．
【解答】解：答案不唯一，如：
1．真命题：若AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，则EF平分∠BED．
2．证明如下：
证明：∵CD平分∠BCA，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BEF＝∠DEF，
即EF平分∠BED．
30．（2022秋•榆树市期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ DCE （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ DCE （等量代换），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
【解答】【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠DCE（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；
【探究】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∴∠1＝∠2；
【应用】∵BE平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，
∵∠ABC：∠BAE＝4：5，
∴∠ABC＝80°，
∴∠CBE＝40°，
∴∠E＝∠CBE＝40°．
31．（2022春•武昌区期中）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：BF∥DE；
（2）若DE⊥AC，∠2＝144°，求∠AFG的度数．
【解答】（1）证明：∵∠AGF＝∠ABC，
∴BC∥GF，
∴∠AFG＝∠C．
∵∠1+∠2＝180°，∠CDE+∠2＝180°，
∴∠1＝∠CDE．
∵∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE，∠CFB＝180°﹣∠AFG﹣∠1，
∴∠CED＝∠CFB，
∴BF∥DE．
（2）解：∵DE⊥AC，BF∥DE，
∴∠AFB＝∠AED＝90°，
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝144°，
∴∠1＝36°．
∵∠AFG+∠1＝∠AFB＝90°，
∴∠AFG＝54°．
32．（2022秋•榕城区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF；
（2）解：∠AED+∠D＝180°；
理由：∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°；
（3）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，
∴∠CGF＝80°+30°＝110°，
又∵CE∥GF，
∴∠C＝180°﹣110°＝70°，
又∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C＝70°，
∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．
32．（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，
∴∠APC＝45°+55°＝100°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
33．（2022春•盐都区月考）【探究】（1）如图1，∠ADC＝100°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 20 °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ∠α+∠β﹣90° ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
（4）如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【解答】解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣100°﹣120°＝140°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB
＝∠CBE﹣∠DAB
＝（∠CBE﹣∠DAB）
＝（180°﹣∠ABC﹣∠DAB）
＝（180°﹣140°）
＝20°．
故答案为：20；
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝（180°﹣∠ABC﹣∠DAB），∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝（180°﹣360°+∠D+∠DCB）
＝∠D+∠DCB﹣90°
＝∠α+∠β﹣90°．
故答案为：∠α+∠β﹣90°；
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
（4）如图4：
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝∠DAB，∠NBE＝∠CBE，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝∠DAB﹣∠NBE
＝∠DAB﹣∠CBE
＝（∠DAB﹣∠CBE）
＝（180°−α−β）
＝90°﹣α−β．
34．（2022春•市南区校级期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
【类比应用】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由．
（2）如图3，设∠PAB＝α、∠CDP＝β、直接写出∠α、∠β、∠P之间的数量关系为 ∠α+∠β﹣∠P＝180° ．
【联系拓展】如图4，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠P，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由．
【解答】解：【类比应用】（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠A＝50°，∠DPE+∠D＝180°，
∴∠DPE＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝50°+30°＝80°；
（2）如图3，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠DPE＝∠CDP＝β，∠APE+∠PAB＝180°，
∴∠APE＝180°﹣α，
∠DPE＝∠DPA+∠APE＝∠DPA+180°﹣α，
∴β＝∠DPA+180°﹣α，
∴α+β﹣∠P＝180°，
故答案为：∠α+∠β﹣∠P＝180°；
【联系拓展】
如图4，PD交AN于点O，
∵AP⊥PD，
∴∠APO＝90°，
∵∠PAN+∠PAB＝∠APD，
∴∠PAN+∠PAB＝90°，
∵∠POA+∠PAN＝90°，
∴∠POA＝∠PAB，
∵∠POA＝∠NOD，
∴∠NOD＝∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN＝∠PDC，
∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN
＝180°﹣（∠PAB+∠PDC），
由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，
∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，
∴∠AND＝180°﹣（∠PAB+∠PDC）
＝180°﹣（180°+∠APD）
＝180°﹣（180°+90°）
＝45°．
35．（2022春•顺德区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并直接写出结论．
（3）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150° ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：
如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，
∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，理由如下：
如图，当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（3）①∵AB∥CD，∠EPF＝60°，
∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ＝∠PEB，∠QFD＝∠PFD，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝×300°＝150°；
故答案为：150°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°．理由如下：
如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，
则∠EPF＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），
∠EQF＝α+β，
即∠EPF+2∠EQF＝360°．
38．（2022春•岳麓区校级期末）如图①，已知AB∥CD，∠A＝∠D＝100°．
（1）请你说明：AC∥BD；
（2）如图②，若点E、F在AB上，且∠FCB＝∠DCB，CE平分∠ACF，求∠ECB的度数；
（3）在（2）的条件下，若左右平行移动BD，如图③，则∠CBA：∠CFA的值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出这个比值．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AC∥BD；
（2）解：∵∠D+∠ACD＝180°，∠D＝100°，
∴∠ACD＝80°．
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE＝∠ECF，
∵∠FCB＝∠BCD，
∴∠ECB＝∠ECF+∠FCB＝（∠ACF+∠FCD）＝∠ACD＝40°；
（3）解：∠CBA：∠CFA的值不发生变化，
∵AB∥CD，
∴∠FBC＝∠DCB，
∵∠FCB＝∠DCB，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵∠FCB+∠FBC+∠CFB＝180°，∠CFA+∠CFB＝180°，
∴∠CFA＝∠FCB+∠FBC＝2∠CBA，
∴∠CBA：∠CFA＝1：2．
39．（2022春•聊城期末）如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）①当∠A＝56°时，∠ABN的度数是 124° ；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝ ∠CBN ；
（2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）；
（3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律；
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN+∠A的度数．
【解答】解：（1）①∵AM∥BN，∠A＝56°，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝124°；
②∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN；
故答案为：124°，∠CBN；
（2）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣x°，
∴∠ABP+∠PBN＝180°﹣x°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝180°﹣x°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°；
（3）不变，∠ADB：∠APB＝1：2．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1
∴∠ADB：∠APB＝1：2；
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠ABC，∠PBN＝2∠DBN，
∴∠ABP＝∠PBN＝2∠DBN＝∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN+∠A＝90°，
即2∠DBN+∠A＝90°．
40．（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 120 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠A+∠C+∠AMC＝360°，
∵∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，
∴∠MCD＝360°﹣∠BAM﹣∠AMC＝120°，
故答案为：120；
（2）∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
证明：过点M作MH∥AB，
MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°；
（3）∠FMN＝∠BAM，
理由：∵MN平分∠AMC，CE平分∠MCD，
∴∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，
∵MF∥CE，
∴∠FMC＝180°﹣∠MCE＝180°﹣∠MCD，
由（2）得：
∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
∴∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，
∵∠FMN＝∠FMC﹣∠NMC，
∴∠FMN＝180°﹣∠MCD﹣∠AMC
＝180°﹣（∠MCD+∠AMC）
＝180°﹣（360°﹣∠A）
＝180°﹣180°+∠A，
＝∠A，
∴∠FMN＝∠BAM．
41．（2022春•覃塘区期末）已知直线PQ∥MN，动点C在PQ与MN之间．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，求∠C，∠1，∠2三者之间的数量关系；
（2）如图2，将一块三角尺（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图中位置摆放，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，且∠CEG＝∠CEM，求∠GEN与∠BDF之间的数量关系．
【解答】解：（1）∠ACB＝∠1+∠2．
理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2；
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴＝＝2．
即∠GEN＝2∠BDF．
1．（2022秋•内乡县期末）如图，CD∥BE，如果∠ABE＝120°，那么∠AOC＝（ ）度．
A．60B．120C．30D．90
2．（2022秋•永兴县期末）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．两点之间线段最短
3．（2022秋•内乡县期末）如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．∠2与∠B是内错角B．∠A与∠1是内错角
C．∠3与∠B是同旁内角D．∠A与∠3是同位角
4．（2023•碑林区校级一模）直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝77°，则∠2的度数为（ ）
A．42°B．37°C．32°D．7°
5．（2022秋•长安区校级期末）如图，在三角形ABC中，点E，D，F分别在AB，BC，AC上，连接ED，CE，EF，下列条件中，能推理出DE∥AC的是（ ）
∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD
C．∠DEC＝∠ECF D．∠FEC＝∠BCE
6．（2022秋•渝北区期末）如图，MN∥PQ，将一块三角板ABC如图所示放置，∠ABC＝90°，∠BDQ＝70°，则∠ABN的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
7．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，若∠ABC＝58°，则∠ECD的度数为（ ）
A．39°B．29°C．38°D．28°
8．（2022秋•洪江市期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形的三个内角的和等于180度
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的角平分线是一条射线
D．三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半
9．（2023•新城区一模）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．40°
10．（2022秋•达川区期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：
①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．
其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
11．（2022秋•卧龙区校级期末）如图所示，下列推理正确的个数有（ ）
①若∠1＝∠2，则AB∥CD
②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°
③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC
④若AB∥CD，则∠3＝∠4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．（2022春•潼关县期中）如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为B和D，BE和DF分别平分∠ABN和∠CDN．下列结论：①AB∥CD；②∠1＝∠2；③CD⊥EF；④∠E+∠F＝180°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．（2022春•牡丹区校级期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠β﹣∠α＝90°B．∠β+∠α＝90°
C．∠β＝3∠αD．2∠α+∠β＝180°
14．（2022春•漳平市期中）如图，将周长为16的△ABC沿BC方向平移2个单位得△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．18B．20C．22D．24
15．（2022春•东湖区校级期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．6B．9C．18D．24
16．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（ ）
A．（a+1.8）h m2B．（h+1.8）a m2
C．1.8（h+a）m2D．1.8ah m2
17．（2022春•藁城区校级月考）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
18．（2022春•仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（ ）
A．18°B．27°C．30°D．45°
19．（2022•长兴县开学）如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝6，AF＝14，则BE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
二．填空题
20．（2022秋•临淄区期末）如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
21．（2022秋•小店区校级期末）如图，直线AB、CD被EF所截，若∠1＝∠2，则∠AEF+∠2＝ ．
22．（2022秋•衡山县期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝ ．
23．（2021秋•市南区校级月考）如图所示，AB∥ED，∠CAB＝142°，∠ACD＝76°，则∠CDE的度数是 ．
24．（2023•高新区校级开学）如图，若直线a∥b，则∠A的度数是 ．
三．解答题（共26小题）
25．（2022春•观山湖区期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC，试猜想∠3与∠B的关系，并说明理由．
26．（2022秋•金牛区期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
27．（2022秋•连平县校级期末）填空，将本题补充完整．
如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°，将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝ ，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ （等量代换），
∴AB∥GD（ ），
∴∠BAC+ ＝180°（ ），
∵∠BAC＝75°（已知），
∴∠AGD＝ °．
28．（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；
（2）若∠EOC＝∠EOD，求∠BOD的度数．
29．（2021秋•昭平县期末）如图，有以下四个条件：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED．请在四个条件中选择三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，给予证明．
30．（2022秋•榆树市期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
31．（2022春•武昌区期中）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：BF∥DE；
（2）若DE⊥AC，∠2＝144°，求∠AFG的度数．
32．（2022秋•榕城区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
32．（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
33．（2022春•盐都区月考）【探究】（1）如图1，∠ADC＝100°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
（4）如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
34．（2022春•市南区校级期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
【类比应用】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由．
（2）如图3，设∠PAB＝α、∠CDP＝β、直接写出∠α、∠β、∠P之间的数量关系为 ．
【联系拓展】如图4，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠P，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由．
35．（2022春•顺德区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并直接写出结论．
（3）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150° ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
38．（2022春•岳麓区校级期末）如图①，已知AB∥CD，∠A＝∠D＝100°．
（1）请你说明：AC∥BD；
（2）如图②，若点E、F在AB上，且∠FCB＝∠DCB，CE平分∠ACF，求∠ECB的度数；
（3）在（2）的条件下，若左右平行移动BD，如图③，则∠CBA：∠CFA的值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出这个比值．
39．（2022春•聊城期末）如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）①当∠A＝56°时，∠ABN的度数是 124° ；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝ ∠CBN ；
（2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）；
（3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律；
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN+∠A的度数．
40．（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
41．（2022春•覃塘区期末）已知直线PQ∥MN，动点C在PQ与MN之间．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，求∠C，∠1，∠2三者之间的数量关系；
（2）如图2，将一块三角尺（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图中位置摆放，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，且∠CEG＝∠CEM，求∠GEN与∠BDF之间的数量关系．
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专题01 平行线综合各市好题必刷
一．选择题
1．（2022秋•内乡县期末）如图，CD∥BE，如果∠ABE＝120°，那么∠AOC＝（ ）度．
A．60B．120C．30D．90
【答案】A
【解答】解：∵CD∥BE，
∴∠ABE+∠BOD＝180°，
∵∠ABE＝120°，
∴∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°．
故选：A．
2．（2022秋•永兴县期末）把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．两点之间线段最短
【答案】D
【解答】解：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理是两点之间线段最短．
故选：D．
3．（2022秋•内乡县期末）如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．∠2与∠B是内错角B．∠A与∠1是内错角
C．∠3与∠B是同旁内角D．∠A与∠3是同位角
【答案】B
【解答】解：A．∠2与∠B是内错角，不符合题意；
B．∠A与∠1不是内错角，符合题意；
C．∠3与∠B是同旁内角，不符合题意；
D．∠A与∠3是同位角，不符合题意；
故选：B．
4．（2023•碑林区校级一模）直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝77°，则∠2的度数为（ ）
A．42°B．37°C．32°D．7°
【答案】C
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，∠1＝77°，
∴∠EFC＝∠1＝77°，
∵∠EFG＝45°，
∴∠2＝∠EFC﹣∠EFG＝77°﹣45°＝32°．
故选：C．
5．（2022秋•长安区校级期末）如图，在三角形ABC中，点E，D，F分别在AB，BC，AC上，连接ED，CE，EF，下列条件中，能推理出DE∥AC的是（ ）
∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD
C．∠DEC＝∠ECF D．∠FEC＝∠BCE
【答案】C
【解答】解：由∠EDC＝∠EFC，不能判定DE∥AC，
故A不符合题意；
∵∠AFE＝∠ACD，
∴EF∥BC，
故B不符合题意；
∵∠DEC＝∠ECF，
∴DE∥AC，
故C符合题意；
∵∠FEC＝∠BCE，
∴EF∥BC，
故D不符合题意；
故选：C．
6．（2022秋•渝北区期末）如图，MN∥PQ，将一块三角板ABC如图所示放置，∠ABC＝90°，∠BDQ＝70°，则∠ABN的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】B
【解答】解：∵MN∥PQ，∠BDQ＝70°，
∴∠MBD＝∠BDQ＝70°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠MBD﹣∠ABC＝20°，
故选：B．
7．（2023•碑林区校级模拟）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，若∠ABC＝58°，则∠ECD的度数为（ ）
A．39°B．29°C．38°D．28°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABC＝58°，
∴∠ABC＝∠BCD＝58°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD＝∠BCD＝29°，
故选：B．
8．（2022秋•洪江市期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形的三个内角的和等于180度
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的角平分线是一条射线
D．三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半
【答案】C
【解答】解：A、三角形的三个内角的和等于180度，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、三角形的角平分线是一条线段，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、三角形的面积等于一条边上的长与该条边上的高的乘积的一半，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：C．
9．（2023•新城区一模）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．40°
【答案】D
【解答】解：如图：
∵∠AOC＝∠2＝45°时，OA∥b，即a∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣45°＝40°．
故选：D．
10．（2022秋•达川区期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：
①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．
其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．0个
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故选：B．
11．（2022秋•卧龙区校级期末）如图所示，下列推理正确的个数有（ ）
①若∠1＝∠2，则AB∥CD
②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°
③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC
④若AB∥CD，则∠3＝∠4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥DC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误；
∵∠C+∠CDA＝180°，
∴AD∥BC，∴③正确；
由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误；
正确的个数有2个，
故选：C．
12．（2022春•潼关县期中）如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为B和D，BE和DF分别平分∠ABN和∠CDN．下列结论：①AB∥CD；②∠1＝∠2；③CD⊥EF；④∠E+∠F＝180°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴∠ABD＝∠CDN＝90°，
∴AB∥CD，
故①正确；
∵BE和DF分别平分∠ABN和∠CDN，
∴∠1＝∠ABD＝45°，∠2＝∠CDN＝45°，
∴∠1＝∠2，
故②正确；
∵CD⊥MN，EF与MN不一定平行，
∴CD与EF不一定垂直，
故③不正确；
∵∠1＝∠2，
∴EB∥FD，
∴∠E+∠F＝180°，
故④正确；
所以，上列结论，其中正确的结论有3个，
故选：C．
13．（2022春•牡丹区校级期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ）
A．∠β﹣∠α＝90°B．∠β+∠α＝90°
C．∠β＝3∠αD．2∠α+∠β＝180°
【答案】A
【解答】解：延长BC交直线DE于点F，
∵AB∥DE，
∴∠BFE＝∠α，
∵∠BCD＝90°，
∴∠FCD＝180°﹣∠BCD＝90°，
∵∠CDE是△CFD的一个外角，
∴∠β＝∠FCD+∠BFE＝90°+∠α，
∴∠β﹣∠α＝90°，
故选：A．
14．（2022春•漳平市期中）如图，将周长为16的△ABC沿BC方向平移2个单位得△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．18B．20C．22D．24
【答案】B
【解答】解：由平移的性质可知：DF＝AC，AD＝CF＝2，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴AB+BC+DG＝16，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝20，
故选：B．
15．（2022春•东湖区校级期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．6B．9C．18D．24
【答案】C
【解答】解：由平移的性质可知，空白部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
则阴影部分的面积＝5×3×2﹣2×2×3＝18（cm2），
故选：C．
16．（2022秋•兴宁区校级期中）如图，某校区2号楼楼梯的示意图，现在要在楼梯上铺一条地毯，如果楼梯的宽度是1.8米，那么地毯的面积为（ ）
A．（a+1.8）h m2B．（h+1.8）a m2
C．1.8（h+a）m2D．1.8ah m2
【答案】C
【解答】解：由题意得，地毯的长度为（a+h）米，
故地毯的面积为：1.8（h+a）m2．
故选：C．
17．（2022春•藁城区校级月考）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
【答案】D
【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
故选：D．
18．（2022春•仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（ ）
A．18°B．27°C．30°D．45°
【答案】B
【解答】解：设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，
∵AD⊥PQ，AF⊥AB，
∴∠BAF＝∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝90°+α，∠CEA＝∠ADE+∠DAE＝90°+α，
∴∠BAE＝∠CEA，
∵MN∥PQ，BC平分∠ABM，
∴∠BCE＝∠CBM＝∠CBA，
又∵∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠BAE＝360°，
∴∠BCE+∠CEA＝180°，
∴AE∥BC，
∴∠ACB＝∠CAE，即α＝45°，
∴α＝18°，
∴∠DAE＝18°，
∴Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（45°+18°）＝27°，
故选：B．
19．（2022•长兴县开学）如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝6，AF＝14，则BE的长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】A
【解答】解：由平移的性质可知，BE＝AD，DF＝AC，
则DF﹣DC＝AC﹣DC，即CF＝AD，
∴AD＝（AF﹣CD）＝（14﹣6）＝4，
∴BE＝4，
故选：A．
二．填空题
20．（2022秋•临淄区期末）如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm．
【答案】11
【解答】解：由平移的性质可知：DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝acm，
∴EC＝（5﹣a）cm，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+2+4＝11（cm），
故答案为：11．
21．（2022秋•小店区校级期末）如图，直线AB、CD被EF所截，若∠1＝∠2，则∠AEF+∠2＝ ．
【答案】180°
【解答】解：∵直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠AEF+∠2＝180°．
故答案为：180．
22．（2022秋•衡山县期末）如图，学生使用的小刀，刀身是长方形，刀片的上下边沿是平行的，刀片转动时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝ ．
【答案】90°
【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1＝∠AOP．
∵AB∥CD，OP∥AB，
∴OP∥CD，
∴∠2＝∠POC，
∵∠AOP+∠POC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
23．（2021秋•市南区校级月考）如图所示，AB∥ED，∠CAB＝142°，∠ACD＝76°，则∠CDE的度数是 ．
【答案】38°
【解答】解：延长AC交ED于点F，
∵AB∥ED，∠CAB＝142°，
∴∠AFD＝180°﹣∠CAB＝38°，
∵∠ACD是△CFD的一个外角，∠ACD＝76°，
∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AFD＝38°，
故答案为：38°．
24．（2023•高新区校级开学）如图，若直线a∥b，则∠A的度数是 ．
【答案】22°
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠CDB＝50°，
∵∠CDB＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠CDB﹣∠ABD＝50°﹣28°＝22°．
故答案为：22°．
三．解答题（共26小题）
25．（2022春•观山湖区期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC，试猜想∠3与∠B的关系，并说明理由．
【解答】解：∠3＝∠B，理由如下：
∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∴∠3＝∠B（等量代换）．
26．（2022秋•金牛区期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴FG∥AE；
（2）解：∵FG⊥BC，
∴∠FHB＝90°，
∵AB∥CD，∠D＝120°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABH＝∠ABD＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°，
∴∠1的度数为60°．
27．（2022秋•连平县校级期末）填空，将本题补充完整．
如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝75°，将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝ ∠3 ，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ ∠3 （等量代换），
∴AB∥GD（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠BAC+ ∠AGD ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠BAC＝75°（已知），
∴∠AGD＝ 105 °．
【解答】解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥GD（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝75°（已知），
∴∠AGD＝105°．
故答案为：∠3；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；105．
28．（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；
（2）若∠EOC＝∠EOD，求∠BOD的度数．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝38°，
∴∠AOC＝∠BOD＝38°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝38°，
∴∠EOD＝180°﹣38°×2＝104°；
（2）∵∠EOC+∠EOD＝180°，∠EOC＝∠EOD，
∴∠EOC＝80°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°．
29．（2021秋•昭平县期末）如图，有以下四个条件：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED．请在四个条件中选择三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，给予证明．
【解答】解：答案不唯一，如：
1．真命题：若AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，则EF平分∠BED．
2．证明如下：
证明：∵CD平分∠BCA，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BEF＝∠DEF，
即EF平分∠BED．
30．（2022秋•榆树市期末）【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
将下列证明过程补充完整：
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ DCE （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ DCE （等量代换），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求证：∠1＝∠2．
【应用】如图③，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接写出∠E的度数．
【解答】【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠DCE（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠DCE（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：DCE；DCE；内错角相等，两直线平行；
【探究】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∴∠1＝∠2；
【应用】∵BE平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，
∵∠ABC：∠BAE＝4：5，
∴∠ABC＝80°，
∴∠CBE＝40°，
∴∠E＝∠CBE＝40°．
31．（2022春•武昌区期中）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：BF∥DE；
（2）若DE⊥AC，∠2＝144°，求∠AFG的度数．
【解答】（1）证明：∵∠AGF＝∠ABC，
∴BC∥GF，
∴∠AFG＝∠C．
∵∠1+∠2＝180°，∠CDE+∠2＝180°，
∴∠1＝∠CDE．
∵∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE，∠CFB＝180°﹣∠AFG﹣∠1，
∴∠CED＝∠CFB，
∴BF∥DE．
（2）解：∵DE⊥AC，BF∥DE，
∴∠AFB＝∠AED＝90°，
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝144°，
∴∠1＝36°．
∵∠AFG+∠1＝∠AFB＝90°，
∴∠AFG＝54°．
32．（2022秋•榕城区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF；
（2）解：∠AED+∠D＝180°；
理由：∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°；
（3）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，
∴∠CGF＝80°+30°＝110°，
又∵CE∥GF，
∴∠C＝180°﹣110°＝70°，
又∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C＝70°，
∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．
32．（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
请写出具体求解过程．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，
∴∠APC＝45°+55°＝100°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
33．（2022春•盐都区月考）【探究】（1）如图1，∠ADC＝100°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 20 °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ∠α+∠β﹣90° ；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
（4）如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【解答】解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣100°﹣120°＝140°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB
＝∠CBE﹣∠DAB
＝（∠CBE﹣∠DAB）
＝（180°﹣∠ABC﹣∠DAB）
＝（180°﹣140°）
＝20°．
故答案为：20；
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝（180°﹣∠ABC﹣∠DAB），∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝（180°﹣360°+∠D+∠DCB）
＝∠D+∠DCB﹣90°
＝∠α+∠β﹣90°．
故答案为：∠α+∠β﹣90°；
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
（4）如图4：
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝∠DAB，∠NBE＝∠CBE，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝∠DAB﹣∠NBE
＝∠DAB﹣∠CBE
＝（∠DAB﹣∠CBE）
＝（180°−α−β）
＝90°﹣α−β．
34．（2022春•市南区校级期中）【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
证明：如图1，过点A作AD∥MN，
∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
【类比应用】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；说明理由．
（2）如图3，设∠PAB＝α、∠CDP＝β、直接写出∠α、∠β、∠P之间的数量关系为 ∠α+∠β﹣∠P＝180° ．
【联系拓展】如图4，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠P，运用（2）中的结论，求∠N的度数．说明理由．
【解答】解：【类比应用】（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠A＝50°，∠DPE+∠D＝180°，
∴∠DPE＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝50°+30°＝80°；
（2）如图3，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠DPE＝∠CDP＝β，∠APE+∠PAB＝180°，
∴∠APE＝180°﹣α，
∠DPE＝∠DPA+∠APE＝∠DPA+180°﹣α，
∴β＝∠DPA+180°﹣α，
∴α+β﹣∠P＝180°，
故答案为：∠α+∠β﹣∠P＝180°；
【联系拓展】
如图4，PD交AN于点O，
∵AP⊥PD，
∴∠APO＝90°，
∵∠PAN+∠PAB＝∠APD，
∴∠PAN+∠PAB＝90°，
∵∠POA+∠PAN＝90°，
∴∠POA＝∠PAB，
∵∠POA＝∠NOD，
∴∠NOD＝∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN＝∠PDC，
∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN
＝180°﹣（∠PAB+∠PDC），
由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣∠APD＝180°，
∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，
∴∠AND＝180°﹣（∠PAB+∠PDC）
＝180°﹣（180°+∠APD）
＝180°﹣（180°+90°）
＝45°．
35．（2022春•顺德区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系？请画图并直接写出结论．
（3）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150° ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：
如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，
∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，理由如下：
如图，当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（3）①∵AB∥CD，∠EPF＝60°，
∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ＝∠PEB，∠QFD＝∠PFD，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝×300°＝150°；
故答案为：150°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°．理由如下：
如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，
则∠EPF＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），
∠EQF＝α+β，
即∠EPF+2∠EQF＝360°．
38．（2022春•岳麓区校级期末）如图①，已知AB∥CD，∠A＝∠D＝100°．
（1）请你说明：AC∥BD；
（2）如图②，若点E、F在AB上，且∠FCB＝∠DCB，CE平分∠ACF，求∠ECB的度数；
（3）在（2）的条件下，若左右平行移动BD，如图③，则∠CBA：∠CFA的值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出这个比值．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AC∥BD；
（2）解：∵∠D+∠ACD＝180°，∠D＝100°，
∴∠ACD＝80°．
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE＝∠ECF，
∵∠FCB＝∠BCD，
∴∠ECB＝∠ECF+∠FCB＝（∠ACF+∠FCD）＝∠ACD＝40°；
（3）解：∠CBA：∠CFA的值不发生变化，
∵AB∥CD，
∴∠FBC＝∠DCB，
∵∠FCB＝∠DCB，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵∠FCB+∠FBC+∠CFB＝180°，∠CFA+∠CFB＝180°，
∴∠CFA＝∠FCB+∠FBC＝2∠CBA，
∴∠CBA：∠CFA＝1：2．
39．（2022春•聊城期末）如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）①当∠A＝56°时，∠ABN的度数是 124° ；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝ ∠CBN ；
（2）当∠A＝x°，求∠CBD的度数（用x的代数式表示）；
（3）当点P运动时，∠ADB与∠APB的度数之比是否随点P的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律；
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠DBN+∠A的度数．
【解答】解：（1）①∵AM∥BN，∠A＝56°，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝124°；
②∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN；
故答案为：124°，∠CBN；
（2）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣x°，
∴∠ABP+∠PBN＝180°﹣x°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝180°﹣x°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°；
（3）不变，∠ADB：∠APB＝1：2．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1
∴∠ADB：∠APB＝1：2；
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠ABC，∠PBN＝2∠DBN，
∴∠ABP＝∠PBN＝2∠DBN＝∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN+∠A＝90°，
即2∠DBN+∠A＝90°．
40．（2022春•随州期末）已知AB∥CD，点M在射线AB，CD之间．
（1）如图1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聪同学过点M作MH∥AB，利用平行线的性质，求得∠MCD＝ 120 度；
（2）如图2，请写出你发现的∠BAM，∠AMC，∠MCD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，MN平分∠AMC交AB于点N，CE平分∠MCD交AB于点E，MF∥CE交AB于点F，试猜想∠FMN与∠BAM的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠A+∠C+∠AMC＝360°，
∵∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，
∴∠MCD＝360°﹣∠BAM﹣∠AMC＝120°，
故答案为：120；
（2）∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
证明：过点M作MH∥AB，
MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°；
（3）∠FMN＝∠BAM，
理由：∵MN平分∠AMC，CE平分∠MCD，
∴∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，
∵MF∥CE，
∴∠FMC＝180°﹣∠MCE＝180°﹣∠MCD，
由（2）得：
∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
∴∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，
∵∠FMN＝∠FMC﹣∠NMC，
∴∠FMN＝180°﹣∠MCD﹣∠AMC
＝180°﹣（∠MCD+∠AMC）
＝180°﹣（360°﹣∠A）
＝180°﹣180°+∠A，
＝∠A，
∴∠FMN＝∠BAM．
41．（2022春•覃塘区期末）已知直线PQ∥MN，动点C在PQ与MN之间．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，求∠C，∠1，∠2三者之间的数量关系；
（2）如图2，将一块三角尺（其中∠A＝30°，∠C＝90°）按图中位置摆放，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，且∠CEG＝∠CEM，求∠GEN与∠BDF之间的数量关系．
【解答】解：（1）∠ACB＝∠1+∠2．
理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2；
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴＝＝2．
即∠GEN＝2∠BDF．
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