安徽省六安市裕安中学2021—2022学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份安徽省六安市裕安中学2021—2022学年上学期九年级期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）若csA＝，则锐角∠A为（ ）
A．30°B．15°C．45°D．60°
2．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
3．（4分）下列命题中一定错误的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
4．（4分）若反比例函数的图象上有两点P1（2，y1）和P2（3，y2），那么（ ）
A．y1＜y2＜0B．y1＞y2＞0C．y2＜y1＜0D．y2＞y1＞0
5．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB=1,BC＝5，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cs∠ABC等于（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）
A．AB：AC＝AC：BCB．AC＝
C．AB＝D．BC≈0.618AB
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCDB．∠DAC＝∠ABC
C．AC2＝BC•CDD．
9．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（1，n），以下结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③5a-2b+c＜0;④b2＝4a（c﹣n）．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（4分）如图，在2×2的正方形网格中，动点P、Q同时从A、B两点匀速出发，以每秒1个单位长度的速度沿网格线运动至格点G停止．动点P的运动路线为：A→M→F→G；动点Q的运动路线为：B→N→C→G，连接PE、QE．设动点P运动时间为t（s），△EPQ的面积为S，则S与t之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题5分，共20分）
11．（5分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1与x轴的交点坐标分别是（﹣3，0）和（2，0），那么关于x的一元二次方程2x2+bx﹣1＝0的根是 ．
12．（5分）已知抛物线y＝（x﹣3）2+4，当1≤x≤4时，函数值y的取值范围是 ．
13．（5分）在△ABC中，∠B=35°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为 ．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，且∠ACB=30°，F，E分别是线段AC，DC边上的点，且∠BFE=120°，BH⊥AC于点H．
（1）当点F与点H重合时，EF＝ ；
（2）当点F在线段HC上时，设线段AF长为a,BF长为b,EF长为c,则c=
（用含有a，b的代数式表达）．
三、解答题（共90分）
15．计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣
16．二次函数图象的顶点坐标是（﹣2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．
17．已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1．
18．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
19．如图，为测量古塔的高度AB，在某楼房点C处测得古塔顶端A点的仰角为20°，点C到地面的距离（CD）为5米，从地面的点E处测得古塔顶端A点的仰角为45°，DE=10米，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，求古塔的高度AB．（结果精确到0.1米．参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36）．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图像与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝（a≠0）的图象交于P（﹣2，m），Q（n，﹣1）两点.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式﹣x+2≥的解集．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3）、设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．
（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）求∠DAB的度数；
（3）若抛物线与y轴相交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在线段AD上，当△APE与△ABD相似时，求AP的长．
22．2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k=4时，求这条抛物线的解析式．
（2）当k=4时，求运动员落水点与点C的距离．
（3）图中CE＝米，CF＝5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
23．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE=CF，连接AE、BF交于点P．
（1）如图①，判断AE和BF之间的数量关系和位置关系，并证明；
（2）如图②，连接AF，点M是AF中点，若BE=2，CE=3，求线段PM的长度；
（3）如图③，作CQ⊥BF于点Q，若△QAB∽△QEC，求证：点E是BC中点．
2021-2022学年安徽省六安市裕安中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）若csA＝，则锐角∠A为（ ）
A．30°B．15°C．45°D．60°
【答案】C
【解答】解：由csA＝，则锐角∠A为45°，
故选：C．
2．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标（2，
故选：A．
3．（4分）下列命题中一定错误的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
【答案】A
【解答】解：所有的等腰三角形都相似，如果顶角不相等．故A错误．
有一对锐角相等的两个直角三角形相似，全等的三角形一定相似．故B，C．
故选：A．
4．（4分）若反比例函数的图象上有两点P1（2，y1）和P2（3，y2），那么（ ）
A．y1＜y2＜0B．y1＞y2＞0C．y2＜y1＜0D．y2＞y1＞0
【答案】B
【解答】解：∵反比例函数解析式中的2＞3，
∴该反比例函数的图象位于第一、三象限．
又∵点P1（2，y4）和P2（3，y8）都位于第一象限，且2＜3，
∴y6＞y2＞0．
故选：B．
5．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB=1,BC＝5，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，
∴AB＝AH+HB＝8+1＝3，
∵l8∥l2∥l3，
∴，
∴，
故选：D．
6．（4分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cs∠ABC等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为＝2．
∴cs∠ABC＝＝．
故选：B．
7．（4分）如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）
A．AB：AC＝AC：BCB．AC＝
C．AB＝D．BC≈0.618AB
【答案】D
【解答】解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC＝AC：BC，AC＝，AB＝．
故选：D．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCDB．∠DAC＝∠ABC
C．AC2＝BC•CDD．
【答案】C
【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
9．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（1，n），以下结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③5a-2b+c＜0；④b2＝4a（c﹣n）．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＞0，
∴abc＜5，
故①错误，不符合题意；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（﹣2，0）和（﹣7．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞6，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＞5，
故②错误，不符合题意；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（﹣2，0）和（﹣6．
∴当x＝﹣2时，y＜0，
∴5a﹣2b+c＜0，
∵a＜7，
∴5a﹣2b+c＜4，
故③正确，符合题意；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴＝n，
∴b2＝3ac﹣4an＝4a（c﹣n），
所以④正确，符合题意．
故选：B．
10．（4分）如图，在2×2的正方形网格中，动点P、Q同时从A、B两点匀速出发，以每秒1个单位长度的速度沿网格线运动至格点G停止．动点P的运动路线为：A→M→F→G；动点Q的运动路线为：B→N→C→G，连接PE、QE．设动点P运动时间为t（s），△EPQ的面积为S，则S与t之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：①0≤t≤1时，如题干图，
S＝PQ×AP＝，
当t＝1时，S＝1，
该函数为一次函数；
②6＜t＜2时，如图，
则点P、Q的坐标分别为（t﹣1、（5，设直线PQ交GE于点H，
设直线PQ的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线PQ的表达式为：y＝x+，
当x＝1时，y＝+，
S＝×HE×（xQ﹣xP）＝×（+t2+t+；
该函数为开口向下的抛物线；
③当2≤t≤3时，
同理可得：S＝﹣（t﹣1）（t﹣5）；
该函数为开口向下的抛物线；
故选：A．
二、填空题（每题5分，共20分）
11．（5分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1与x轴的交点坐标分别是（﹣3，0）和（2，0），那么关于x的一元二次方程2x2+bx﹣1＝0的根是 ﹣3或2 ．
【答案】﹣3或2．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx﹣5与x轴的交点坐标分别是（﹣3，0）和（5，
∴一元二次方程2x2+bx﹣7＝0的根是﹣3或4，
故答案为：﹣3或2．
12．（5分）已知抛物线y＝（x﹣3）2+4，当1≤x≤4时，函数值y的取值范围是 4≤x≤8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+7，
∴抛物线的顶点坐标为（3，4），
∴当x＝4时有最小值是4；
当x＝1时，y＝6，
当x＝4时，y＝5，
∴当7≤x≤3时，函数值y的取值范围为4≤x≤4；
故答案为：4≤x≤8．
13．（5分）在△ABC中，∠B=35°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•DC，则∠BCA的度数为 55°或125° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当∠BCA为锐角时，如图1所示，
∵AD2＝BD•DC，
∴＝，
又AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°，
∴△ADB∽△CDA，又∠B＝35°，
∴∠CAD＝∠B＝35°，∠BCA＝∠BAD，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝55°，
则∠BCA＝∠BAD＝55°；
当∠BCA为钝角时，如图7所示，
同理可得△ADB∽△CDA，又∠B＝35°，
可得∠CAD＝∠B＝35°，
则∠BCA＝∠CDA+∠CAD＝125°，
综上，∠BCA的度数为55°或125°．
故答案为：55°或125°
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，且∠ACB=30°，F，E分别是线段AC，DC边上的点，且∠BFE=120°，BH⊥AC于点H．
（1）当点F与点H重合时，EF＝ ；
（2）当点F在线段HC上时，设线段AF长为a,BF长为b,EF长为c,则c=b（2﹣a） （用含有a，b的代数式表达）．
【答案】（1）；
（2）c＝b（2﹣a）．
【解答】解：（1）如图：
∵矩形ABCD，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴BC＝＝，
∵BH⊥AC于点H，点F与点H重合，
∴∠BHC＝90°，
在Rt△HBC中，∠ACB＝30°，
∴CH＝BC•cs30°＝，
∵∠BFE＝120°，∠BHC＝90°，
∴∠CFE＝∠BFE﹣∠BHC＝30°，
∴∠CFE＝∠ABC，
∴∠FEC＝180°﹣∠BCD＝90°，
在Rt△FEC中，∠CFE＝30°，
∴EF＝CH•cs30°＝；
故答案为：；
（2）过F作FG⊥CD于G，如图：
∵矩形ABCD中，AB＝1，
∴AC＝2，BC＝，
Rt△BCH中，BH＝，
∵FG⊥CD，
∴FG∥BC∥AD，
∴∠GFB+∠FBC＝180°，＝，
∴＝，
∴FG＝（2﹣a），
∵∠BFE＝120°，
∴∠GFE+∠FBC＝60°，
∵∠ACB＝30°，BH⊥AC，
∴∠HBF+∠FBC＝60°，
∴∠HBF＝∠GFE，
∴cs∠HBF＝cs∠GFE，即＝，
∴＝，
∴c＝b（2﹣a），
故答案为：c＝b（2﹣a）．
三、解答题（共90分）
15．计算：（）﹣1﹣2tan45°+4sin60°﹣
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2﹣2×2+4×﹣2
＝3﹣2+2﹣2
＝5．
16．二次函数图象的顶点坐标是（﹣2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x+2）2+2，
把（1，2）代入得4a+3＝2，
所以二次函数解析式为y＝﹣（x+2）2+6．
17．已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，△A1B1C8为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
18．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABE＝∠ACD
又∵∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC
∴∠DAC＝∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
19．如图，为测量古塔的高度AB，在某楼房点C处测得古塔顶端A点的仰角为20°，点C到地面的距离（CD）为5米，从地面的点E处测得古塔顶端A点的仰角为45°，DE=10米，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，求古塔的高度AB．（结果精确到0.1米．参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36）．
【答案】13.4m．
【解答】解：如图，过C作CM⊥AB于M，
∴CD＝EF＝MB＝5m，MF＝BE，
设AB＝x m，
∵∠AEB＝45°，
∴BE＝EF＝AB＝x m，
在Rt△AMC中，tan∠ACM＝，
即 ≈2.36，
∴x≈13.4．
答：古塔约高13.4m．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图像与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝（a≠0）的图象交于P（﹣2，m），Q（n，﹣1）两点.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△OPQ的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式﹣x+2≥的解集．
【答案】（1）y＝﹣；
（2）8；
（3）x≤﹣2或0＜x≤6．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象过P（﹣2，Q（n，
∴m＝﹣×（﹣2）+2＝4，
﹣n+7＝﹣1，
∴P（﹣2，8），﹣1），
又∵反比例函数y＝（a≠0）的图象过点P，
∴a＝﹣7×3＝﹣6，
∴反比例函数y＝﹣；
（2）∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、B两点，
∴A（4，0），5），
∴S△POQ＝S△POA+S△QOA
＝×8×3+
＝6+2
＝7，
答：△OPQ的面积为8；
（3）根据一次函数与反比例函数图象的交点坐标可知，
不等式﹣x+2≥．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3）、设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．
（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）求∠DAB的度数；
（3）若抛物线与y轴相交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在线段AD上，当△APE与△ABD相似时，求AP的长．
【答案】（1）抛物线的表达式为y＝x2﹣6x+8，顶点坐标为（3，﹣1）；
（2）∠DAB＝45°；
（3）AP＝2．
【解答】解：（1）设A（m，0），
则AB＝4﹣m，
由△ABD的面积是5知（2﹣m）×3＝3，
解得m＝5，
∴A（2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）（x﹣4），
将D（5，3）代入得：3a＝3，
∴y＝（x﹣8）（x﹣4）＝x2﹣5x+8＝（x﹣3）6﹣1
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣7x+8，顶点坐标为（3；
（2）如图4，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，0），3），3），
∴DF＝3，AF＝5，
∴∠DAB＝45°；
（3）如图2，
由A（2，8），3）得直线AD解析式为y＝x﹣2，
由B（8，0），3）可得直线BD解析式为y＝7x﹣12，
由C（0，8），8）可得直线CD解析式为y＝﹣x+8，
当y＝0时，﹣x+3＝0，
∴E（8，6），
①若△ADB∽△APE，则∠ADB＝∠APE，
∴BD∥PE，
设PE所在直线解析式为y＝3x+m，
将点E（8，4）代入得24+m＝0，
∴直线PE解析式为y＝3x﹣24，
由得，
∴此时点P（11，3）不在线段AD上；
②若△ADB∽△AEP，则∠ADB＝∠AEP，
∴tan∠ADB＝tan∠AEP＝，
设P（n，n﹣6），
则OG＝n，PG＝n﹣2，
∴GE＝8﹣n，
由tan∠AEP＝＝＝求得n＝4，
∴P（4，6），
∴AP＝＝7；
综上，AP＝2．
22．2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k=4时，求这条抛物线的解析式．
（2）当k=4时，求运动员落水点与点C的距离．
（3）图中CE＝米，CF＝5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：
根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，A（2，
设抛物线解析为：y＝a（x﹣5）2+4，
则4＝a（2﹣3）6+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4；
（2）由题意可得：当y＝8，则0＝﹣（x﹣3）3+4，
解得：x1＝5，x2＝5，
故抛物线与x轴交点为：（2，0），0），
当k＝8时，运动员落水点与点C的距离为5米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）6+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k＝6
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x＝时，y＝，即（3﹣k）+k≥0，
解得：k≤，
当x＝5时，y＝4a+k≤6，
解得：k≥4，
故4≤k≤．
23．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE=CF，连接AE、BF交于点P．
（1）如图①，判断AE和BF之间的数量关系和位置关系，并证明；
（2）如图②，连接AF，点M是AF中点，若BE=2，CE=3，求线段PM的长度；
（3）如图③，作CQ⊥BF于点Q，若△QAB∽△QEC，求证：点E是BC中点．
【答案】（1）AE＝BF，AE⊥BF，证明见解答；
（2）PM＝；
（3）证明见解答．
【解答】解：（1）AE＝BF，AE⊥BF，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABP+∠CBF＝90°
∴∠BAE+∠ABP＝90°
∴∠APB＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC＝AD，
由（1）知，AE＝BF，
∵BE＝2，CE＝3，
∴DF＝DC﹣CF＝BC﹣BE＝CE＝4，AD＝BC＝BE+CE＝2+3＝6，
在Rt△ADF中，由勾股定理得＝＝，
在Rt△APF中，∠APF＝90°，
∴；
（3）∵CQ⊥BF，
∴∠BQC＝∠BCF＝90°，
又∠CBQ＝∠FBC，
∴△CBQ∽△FBC，
∴，
∵AB＝BC，BE＝CF，
∴，
∵△QAB∽△QEC，
∴，
∴，
∴，
∴BE＝CE，
∴点E是BC中点．