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2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）素质评估数学试卷（三）
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这是一份2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）素质评估数学试卷（三），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）素质评估数学试卷（三）
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4
C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+5
2．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（4分）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosα B．5cosα C．5sinα D．5sinα
4．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°，则∠ABO的度数是（ ）
A．52° B．26° C．38° D．104°
5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（ ）
A．（8，6） B．（9，6） C．(912，6) D．（10，6）
6．（4分）如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
7．（4分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
8．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
9．（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是（ ）
A．2 B．12 C．55 D．255
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ）
A．14 B．7 C．9 D．6
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
11．（5分）如图所示，在同心圆中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB＝8，则圆环的面积为 ．
12．（5分）如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=5−1，则线段CD的长为 ．
13．（5分）已知2+1是方程x2﹣（3tanθ）x+2=0的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为 ．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E在△ABC所在的平面内，且CE＝1，点D在AC的上方，连接AE，BD．若AE＝BD，则四边形ABED面积的最大值为 ．
三、解答题（本题共4小题，每题8分，共32分）
15．（8分）如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是6m，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？
16．（8分）在△ABC中，有asinA=bsinB=csinC，请画一个锐角三角形并给出证明．
17．（8分）如图，在△ABC中∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，若AB＝9，BC＝6，求S△DCES四边形ABED的值．
18．（8分）已知：在△ABC中，AD为∠A平分线．
求证：ABAC=BDDC．
四、（本题共2题，每题10分，共20分）
19．（10分）如图，A、B是双曲线y=kx（x＞0）上两点，A、B两点的横坐标分别为1、2，线段AB的延长线交x轴于点C，若△AOC的面积为6，求k的值．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC=12，求⊙O的直径．
五、（本题共2题，每题12分，共24分）
21．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点E．
（1）作EF垂直BC于点F，求证：点F是线段BC的2等分点；
（2）连接DF交AC于点G，作CH垂直BC于点H，求证：点H是线段BC的3等分点；
（3）你能在图中作出线段BC的一个4等分点吗？
22．（12分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
六、（本题14分）
23．（14分）如图，点B、C分别在射线AM、AN上，且∠MAN为锐角，∠MAN内有一动点P，使得∠BPC＝90°．
（1）若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．
①求证：△CPA∽△APB；
②连接BC，若BC⊥AC，求PCBC的值；
（2）若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8，求AC的长．
2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）素质评估数学试卷（三）
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4
C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+5
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝2（x﹣2）2+5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
2．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AFGF=ABGD=2，结合FG＝2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴AFGF=ABGD=2，
∴AF＝2GF＝4，
∴AG＝6．
∵CG∥AB，AB＝2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE＝2AG＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
3．（4分）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosα B．5cosα C．5sinα D．5sinα
【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C．
∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．
∴AB=BCcosα=5cosα．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．
4．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°，则∠ABO的度数是（ ）
A．52° B．26° C．38° D．104°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB，根据等腰三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB，再求出∠ABO即可．
【解答】解：∵∠ACB＝52°，
∴由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝104°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB=12（180°﹣∠AOB）＝38°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此题的关键．
5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（ ）
A．（8，6） B．（9，6） C．(912，6) D．（10，6）
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，
∴BCEF=OBEO=13，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴13=BOBO+6，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出BO的长是解题关键．
6．（4分）如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN＝OM：PF，
∵EF＝x，MO＝3，PN＝4，
∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4，
∴（x﹣3）：4＝3：（x﹣4），
∴（x﹣3）（x﹣4）＝12，即x2﹣4x﹣3x+12＝12，
∴x＝0（不符合题意，舍去），x＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．
7．（4分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26（寸）．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
8．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：△=22−4(a−1)＞0a−1≠0，
解得：a＜2a≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是（ ）
A．2 B．12 C．55 D．255
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD＝AD＝3，CD＝1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义可求出∠ABC的正弦值．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD＝AD＝3，CD＝1，如图所示．
AB=BD2+AD2=32，BC=BD2+CD2=10．
∵12AC•BD=12AB•CE，即12×2×3=12×32•CE，
∴CE=2，
∴sin∠ABC=CEBC=210=55．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE，BC的长度是解题的关键．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ）
A．14 B．7 C．9 D．6
【分析】取AB的中点E，连接AD、EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
【解答】解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE．
在直角△ABC中，AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=12AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=12AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，
即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形三边之间的关系解答．
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
11．（5分）如图所示，在同心圆中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB＝8，则圆环的面积为 16π ．
【分析】连接OP，OA，如图，根据切线的性质得到OP⊥AB，再根据垂径定理得到AP＝BP＝4，利用勾股定理得到OA2﹣OP2＝16，然后利用圆环的面积＝S大半圆﹣S小半圆进行计算．
【解答】解：连接OP，OA，如图，
∵⊙O的弦AB切小⊙O于P，
∴OP⊥AB，
∴AP＝BP=12AB＝4，
∴OA2﹣OP2＝AP2＝16，
∴圆环的面积＝S大半圆﹣S小半圆＝OA2π﹣OP2π＝（OA2﹣OP2）×π＝16π．
故答案为16π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．
12．（5分）如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=5−1，则线段CD的长为 25−4 ．
【分析】由黄金分割点的定义得ADAB=5−12，BC＝AD=5−1，则AB＝2，再由CD＝AD+BC﹣AB进行计算即可．
【解答】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=5−1，
∴ADAB=5−12，BC＝AD=5−1，
∴AB＝2，
∴CD＝AD+BC﹣AB=5−1+5−1﹣2＝25−4．
故答案为：25−4．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
13．（5分）已知2+1是方程x2﹣（3tanθ）x+2=0的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为 22 ．
【分析】将x=2+1代入已知方程，列出关于tanθ的值，然后根据特殊角的三角形函数值求得θ的数值．最后根据锐角θ来求cosθ的值
【解答】解：∵2+1是方程x2﹣（3tanθ）x+2=0的一个根，
∴x=2+1满足方程x2﹣（3tanθ）x+2=0，
∴（2+1）2﹣（3tanθ）（2+1）+2=0，解得，tanθ＝1．
∵θ是锐角，
∴θ＝45°，
∴cosθ=22
故答案是：22．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E在△ABC所在的平面内，且CE＝1，点D在AC的上方，连接AE，BD．若AE＝BD，则四边形ABED面积的最大值为 18 ．
【分析】当A，C，E在一条直线上且BD⊥AE时，四边形ABED的面积最大，利用勾股定理和面积公式解答即可．
【解答】解：如图．当A，C，E在一条直线上且BD⊥AE时，此时四边形ABED的对角线最长且相等，
故四边形ABED的面积最大，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∵EC＝1，
∴AE＝6，
∵AE＝BD，
∴AE＝BD＝6，
∴S四边形ABED=12AE⋅BD=12×6×6=18．
故答案为：18．
【点评】此题考查勾股定理，关键是利用勾股定理和面积公式解答．
三、解答题（本题共4小题，每题8分，共32分）
15．（8分）如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是6m，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？
【分析】光线最多就是面积最大，可设宽为xm，则长为（6﹣3x）÷2＝（3−32x）m，表示出面积，运用函数性质求解．
【解答】解：设窗户的宽为xm，则长为（6﹣3x）÷2＝（3−32x）m，
窗户的面积S＝x（3−32x）=−32x2+3x=−32（x﹣1）2+32，
当x＝1时，S有最大值为32，
即窗户的长为32m，宽为1m．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是理解光线最多就是窗子面积最大时，据此求面积表达式，运用函数性质求解．
16．（8分）在△ABC中，有asinA=bsinB=csinC，请画一个锐角三角形并给出证明．
【分析】首先画出图形，作锐角△ABC的外接圆⊙O，设⊙O的半径为R，连接CO并延长交⊙O于A′，连接A′B，根据圆周角定理得出∠A′BC＝90°，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出∠A′＝∠A．在直角△A′BC中，根据正弦函数定义得出sinA′=BCA′C=a2R，即asinA=2R，同理得出bsinB=2R，csinC=2R，即可证明asinA=bsinB=csinC．
【解答】解：如图，△ABC是锐角三角形，∠A、∠B、∠C对边分别是a、b、c．
作△ABC的外接圆⊙O，设⊙O的半径为R，连接CO并延长交⊙O于A′，连接A′B，则∠A′BO＝90°，∠A′＝∠A．
在直角△A′BC中，∵∠A′BC＝90°，
∴sinA′=BCA′C=a2R，
∵∠A′＝∠A，
∴sinA=a2R，
∴asinA=2R，
同理，bsinB=2R，csinC=2R，
∴asinA=bsinB=csinC．
【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，锐角三角函数定义．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．（8分）如图，在△ABC中∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，若AB＝9，BC＝6，求S△DCES四边形ABED的值．
【分析】如图，证明△DEC∽△ABC，求出DE的长度，借助相似三角形的性质，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵∠B的平分线为BD，DE∥AB，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ABD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE（设为λ）；则EC＝6﹣λ；
∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴DEAB=ECBC，即λ9=6−λ6，
解得：λ＝3.6；设△DEC、△ABC的面积分别为α、β；
∵△DEC∽△ABC，
∴αβ=(DEAB)2=425，
∴S△DCES四边形ABED=421．
即S△DCES四边形ABED的值为421．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质，这是灵活解题的关键．
18．（8分）已知：在△ABC中，AD为∠A平分线．
求证：ABAC=BDDC．
【分析】过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，先利用平行线的性质，得出BAAE=BDDC，再利用角平分线的性质和平行线的性质，得出AE＝AC，从而得出结论．
【解答】证明：过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，如图所示，
∵AD∥CE，
∴BAAE=BDDC，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△BCE中，由AD∥CE知，
∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴BDDC=ABAE=ABAC，
故ABAC=BDDC．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及平行线的性质，关键是作AD的平行线．
四、（本题共2题，每题10分，共20分）
19．（10分）如图，A、B是双曲线y=kx（x＞0）上两点，A、B两点的横坐标分别为1、2，线段AB的延长线交x轴于点C，若△AOC的面积为6，求k的值．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到A（1，k），B（2，k2），则OD＝1，DE＝1，AD＝2BE，所以BE为△ADC的中位线，得到CE＝DE＝1，然后根据三角形面积公式计算k的值．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
∵A、B两点的横坐标分别为1、2，
∴A（1，k），B（2，k2），
∴OD＝1，DE＝1，AD＝2BE，
∴BE为△ADC的中位线，
∴CE＝DE＝1，
∴OC＝3，
∵△AOC的面积为6，
∴12•3•k＝6，
∴k＝4．
【点评】本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC=12，求⊙O的直径．
【分析】（1）证明：连接OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线得到OD∥BC，再根据切线的性质得到DE⊥OD，然后根据平行线的性质可判断DE⊥BC；
（2）连接BD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠BDE，接着根据正切的定义在Rt△CDE中计算出CE＝2DE＝4，在Rt△BDE中计算出BE=12DE＝1，则BC＝5，然后利用OD为△ABC的中位线可求出OD，从而得到圆的直径．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵D为AC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠CDE＝90°，
而∠CDE+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BDE，
在Rt△CDE中，∵tanC=DECE=12，
∴CE＝2DE＝4，
在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=BEDE=12，
∴BE=12DE＝1，
∴BC＝BE+CE＝5，
∵OD为△ABC的中位线，
∴OD=12BC，
∴AB＝BC＝5，
即⊙O的直径为5．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
五、（本题共2题，每题12分，共24分）
21．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点E．
（1）作EF垂直BC于点F，求证：点F是线段BC的2等分点；
（2）连接DF交AC于点G，作CH垂直BC于点H，求证：点H是线段BC的3等分点；
（3）你能在图中作出线段BC的一个4等分点吗？
【分析】（1）由矩形的性质可知AE＝EC，由平行线分线段成比例定理可知BF＝FC；
（2）先证明△EFG∽△CDG，从而可得到EG：GC＝1：2，故此CG：AC＝1：3，然后由平行线分线段成比例定理可求得CH：CB＝1：3；
（3）过点E作EP⊥DC，连接FP交AC于点Q，过点Q作QM⊥BC，垂足为M则点M为BC的一个四等分点．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴点E为AC的中点．
∴AE＝EC．
∵EF⊥BC，AB⊥BC，
∴EF∥AB．
∴CF：FB＝CE：EA＝1．
∴CF＝FB．
∴点F是BC的中点．
（2）∵AE＝EC，BF＝FC，
∴EF是△BCD的中位线．
∴EF=12DC．
∵EF⊥BC，DC⊥BC，
∴△EFG∽△CDG．
∴EGGC=EFDC=12．
∴QCCA=13．
∵GH∥AB，
∴CHCB=QCAC=13．
∴点H是BC的三等分点．
（3）如图所示：过点E作EP⊥DC于P，连接FP交CE于Q，过Q做QM⊥BC，M为BC的四等分点．
【点评】本题主要考查的是矩形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质可判定，由△EFG∽△CDG求得QC＝2EG，从而得到AC＝3CG是解题的关键．
22．（12分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，
w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根据题意，得：
w＝w1+w2
＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950
＝﹣2（x−414）2+732818，
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值为9160，
答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是9160元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．
六、（本题14分）
23．（14分）如图，点B、C分别在射线AM、AN上，且∠MAN为锐角，∠MAN内有一动点P，使得∠BPC＝90°．
（1）若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．
①求证：△CPA∽△APB；
②连接BC，若BC⊥AC，求PCBC的值；
（2）若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8，求AC的长．
【分析】（1）①要证明△CPA∽△APB，可通过三角形内角和定理得出∠BAP+∠ABP＝45°，由∠BAP+∠PAC＝∠MAN＝45°，推出∠PBA＝∠PAC，即可得证；
②要求PCBC的值，易得△ABC是等腰直角三角形，进而得到AB=2AC，再根据①中结论，得出PC、AP和BP的关系，由勾股定理得出BC的长，即可求解；
（2）要求AC的长，可先通过作辅助线证明△APB∽△EPC，根据相似比求出EC的长，利用含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，再由已知角得到∠AEC＝90°，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）①证明：∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝45°，
∴∠BAP＝45°﹣∠PAC．
∵∠BPC＝90°，∠APB＝∠APC，
∴∠APB＝∠APC＝135°，
∴∠PBA＝180°﹣∠APB﹣∠BAP＝180°﹣135°﹣（45°﹣∠PAC）＝∠PAC，
∴△CPA∽△APB；
②解：∵BC⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝BC，AB=2AC，
由（1）知△CPA∽△APB，
∴CPAP=PAPB=CAAB=12=22，
∴PCPB=PCAP×APPB=(22)2=12，
∴2PC＝PB，
∵∠BPC＝90°，
∴在Rt△BPC中，BC=BP2+PC2=5PC，
∴PCBC=PC5PC=55；
（2）解：如图，作PE⊥PA交AB于点E，连接CE，
则∠AEP＝∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠EPC，
∵∠CBP＝∠BAP＝30°，
∴APPE=3，BPPC=3，
∴APPE=BPPC，
∴△APB∽△EPC，
∴ABEC=APEP=3，∠CEP＝∠BAP＝30°，
又∵AB＝8，
∴EC=833，
∵在Rt△APE中，∠BAP＝30°，AP＝3，
∴AE＝23，
∴∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AEC＝∠APE+∠CEP＝90°，
∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，
∴AC=AE2+EC2=(23)2+(833)2=1033．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，关键是找到相似三角形，用三角形相似的判定来证明．
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日期：2022/3/19 17:22:40；用户：湖北荆门掇刀区望兵石学校；邮箱：wbs@xyh.com；学号：31591624
2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）素质评估数学试卷（三）
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4
C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+5
2．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（4分）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosα B．5cosα C．5sinα D．5sinα
4．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°，则∠ABO的度数是（ ）
A．52° B．26° C．38° D．104°
5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（ ）
A．（8，6） B．（9，6） C．(912，6) D．（10，6）
6．（4分）如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
7．（4分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
8．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
9．（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是（ ）
A．2 B．12 C．55 D．255
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ）
A．14 B．7 C．9 D．6
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
11．（5分）如图所示，在同心圆中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB＝8，则圆环的面积为 ．
12．（5分）如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=5−1，则线段CD的长为 ．
13．（5分）已知2+1是方程x2﹣（3tanθ）x+2=0的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为 ．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E在△ABC所在的平面内，且CE＝1，点D在AC的上方，连接AE，BD．若AE＝BD，则四边形ABED面积的最大值为 ．
三、解答题（本题共4小题，每题8分，共32分）
15．（8分）如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是6m，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？
16．（8分）在△ABC中，有asinA=bsinB=csinC，请画一个锐角三角形并给出证明．
17．（8分）如图，在△ABC中∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，若AB＝9，BC＝6，求S△DCES四边形ABED的值．
18．（8分）已知：在△ABC中，AD为∠A平分线．
求证：ABAC=BDDC．
四、（本题共2题，每题10分，共20分）
19．（10分）如图，A、B是双曲线y=kx（x＞0）上两点，A、B两点的横坐标分别为1、2，线段AB的延长线交x轴于点C，若△AOC的面积为6，求k的值．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC=12，求⊙O的直径．
五、（本题共2题，每题12分，共24分）
21．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点E．
（1）作EF垂直BC于点F，求证：点F是线段BC的2等分点；
（2）连接DF交AC于点G，作CH垂直BC于点H，求证：点H是线段BC的3等分点；
（3）你能在图中作出线段BC的一个4等分点吗？
22．（12分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
六、（本题14分）
23．（14分）如图，点B、C分别在射线AM、AN上，且∠MAN为锐角，∠MAN内有一动点P，使得∠BPC＝90°．
（1）若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．
①求证：△CPA∽△APB；
②连接BC，若BC⊥AC，求PCBC的值；
（2）若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8，求AC的长．
2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）素质评估数学试卷（三）
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4
C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+5
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝2（x﹣2）2+5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
2．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AFGF=ABGD=2，结合FG＝2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴AFGF=ABGD=2，
∴AF＝2GF＝4，
∴AG＝6．
∵CG∥AB，AB＝2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE＝2AG＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
3．（4分）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5cosα B．5cosα C．5sinα D．5sinα
【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C．
∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．
∴AB=BCcosα=5cosα．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．
4．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°，则∠ABO的度数是（ ）
A．52° B．26° C．38° D．104°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB，根据等腰三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB，再求出∠ABO即可．
【解答】解：∵∠ACB＝52°，
∴由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝104°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB=12（180°﹣∠AOB）＝38°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB是解此题的关键．
5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（ ）
A．（8，6） B．（9，6） C．(912，6) D．（10，6）
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，
∴BCEF=OBEO=13，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴13=BOBO+6，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出BO的长是解题关键．
6．（4分）如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN＝OM：PF，
∵EF＝x，MO＝3，PN＝4，
∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4，
∴（x﹣3）：4＝3：（x﹣4），
∴（x﹣3）（x﹣4）＝12，即x2﹣4x﹣3x+12＝12，
∴x＝0（不符合题意，舍去），x＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边．
7．（4分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26（寸）．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
8．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：△=22−4(a−1)＞0a−1≠0，
解得：a＜2a≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．（4分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是（ ）
A．2 B．12 C．55 D．255
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD＝AD＝3，CD＝1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义可求出∠ABC的正弦值．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD＝AD＝3，CD＝1，如图所示．
AB=BD2+AD2=32，BC=BD2+CD2=10．
∵12AC•BD=12AB•CE，即12×2×3=12×32•CE，
∴CE=2，
∴sin∠ABC=CEBC=210=55．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE，BC的长度是解题的关键．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值（ ）
A．14 B．7 C．9 D．6
【分析】取AB的中点E，连接AD、EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
【解答】解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE．
在直角△ABC中，AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=12AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=12AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，
即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形三边之间的关系解答．
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
11．（5分）如图所示，在同心圆中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB＝8，则圆环的面积为 16π ．
【分析】连接OP，OA，如图，根据切线的性质得到OP⊥AB，再根据垂径定理得到AP＝BP＝4，利用勾股定理得到OA2﹣OP2＝16，然后利用圆环的面积＝S大半圆﹣S小半圆进行计算．
【解答】解：连接OP，OA，如图，
∵⊙O的弦AB切小⊙O于P，
∴OP⊥AB，
∴AP＝BP=12AB＝4，
∴OA2﹣OP2＝AP2＝16，
∴圆环的面积＝S大半圆﹣S小半圆＝OA2π﹣OP2π＝（OA2﹣OP2）×π＝16π．
故答案为16π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．
12．（5分）如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=5−1，则线段CD的长为 25−4 ．
【分析】由黄金分割点的定义得ADAB=5−12，BC＝AD=5−1，则AB＝2，再由CD＝AD+BC﹣AB进行计算即可．
【解答】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=5−1，
∴ADAB=5−12，BC＝AD=5−1，
∴AB＝2，
∴CD＝AD+BC﹣AB=5−1+5−1﹣2＝25−4．
故答案为：25−4．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
13．（5分）已知2+1是方程x2﹣（3tanθ）x+2=0的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为 22 ．
【分析】将x=2+1代入已知方程，列出关于tanθ的值，然后根据特殊角的三角形函数值求得θ的数值．最后根据锐角θ来求cosθ的值
【解答】解：∵2+1是方程x2﹣（3tanθ）x+2=0的一个根，
∴x=2+1满足方程x2﹣（3tanθ）x+2=0，
∴（2+1）2﹣（3tanθ）（2+1）+2=0，解得，tanθ＝1．
∵θ是锐角，
∴θ＝45°，
∴cosθ=22
故答案是：22．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E在△ABC所在的平面内，且CE＝1，点D在AC的上方，连接AE，BD．若AE＝BD，则四边形ABED面积的最大值为 18 ．
【分析】当A，C，E在一条直线上且BD⊥AE时，四边形ABED的面积最大，利用勾股定理和面积公式解答即可．
【解答】解：如图．当A，C，E在一条直线上且BD⊥AE时，此时四边形ABED的对角线最长且相等，
故四边形ABED的面积最大，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∵EC＝1，
∴AE＝6，
∵AE＝BD，
∴AE＝BD＝6，
∴S四边形ABED=12AE⋅BD=12×6×6=18．
故答案为：18．
【点评】此题考查勾股定理，关键是利用勾股定理和面积公式解答．
三、解答题（本题共4小题，每题8分，共32分）
15．（8分）如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是6m，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？
【分析】光线最多就是面积最大，可设宽为xm，则长为（6﹣3x）÷2＝（3−32x）m，表示出面积，运用函数性质求解．
【解答】解：设窗户的宽为xm，则长为（6﹣3x）÷2＝（3−32x）m，
窗户的面积S＝x（3−32x）=−32x2+3x=−32（x﹣1）2+32，
当x＝1时，S有最大值为32，
即窗户的长为32m，宽为1m．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是理解光线最多就是窗子面积最大时，据此求面积表达式，运用函数性质求解．
16．（8分）在△ABC中，有asinA=bsinB=csinC，请画一个锐角三角形并给出证明．
【分析】首先画出图形，作锐角△ABC的外接圆⊙O，设⊙O的半径为R，连接CO并延长交⊙O于A′，连接A′B，根据圆周角定理得出∠A′BC＝90°，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出∠A′＝∠A．在直角△A′BC中，根据正弦函数定义得出sinA′=BCA′C=a2R，即asinA=2R，同理得出bsinB=2R，csinC=2R，即可证明asinA=bsinB=csinC．
【解答】解：如图，△ABC是锐角三角形，∠A、∠B、∠C对边分别是a、b、c．
作△ABC的外接圆⊙O，设⊙O的半径为R，连接CO并延长交⊙O于A′，连接A′B，则∠A′BO＝90°，∠A′＝∠A．
在直角△A′BC中，∵∠A′BC＝90°，
∴sinA′=BCA′C=a2R，
∵∠A′＝∠A，
∴sinA=a2R，
∴asinA=2R，
同理，bsinB=2R，csinC=2R，
∴asinA=bsinB=csinC．
【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，锐角三角函数定义．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．（8分）如图，在△ABC中∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，若AB＝9，BC＝6，求S△DCES四边形ABED的值．
【分析】如图，证明△DEC∽△ABC，求出DE的长度，借助相似三角形的性质，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵∠B的平分线为BD，DE∥AB，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ABD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE（设为λ）；则EC＝6﹣λ；
∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴DEAB=ECBC，即λ9=6−λ6，
解得：λ＝3.6；设△DEC、△ABC的面积分别为α、β；
∵△DEC∽△ABC，
∴αβ=(DEAB)2=425，
∴S△DCES四边形ABED=421．
即S△DCES四边形ABED的值为421．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质，这是灵活解题的关键．
18．（8分）已知：在△ABC中，AD为∠A平分线．
求证：ABAC=BDDC．
【分析】过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，先利用平行线的性质，得出BAAE=BDDC，再利用角平分线的性质和平行线的性质，得出AE＝AC，从而得出结论．
【解答】证明：过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，如图所示，
∵AD∥CE，
∴BAAE=BDDC，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△BCE中，由AD∥CE知，
∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴BDDC=ABAE=ABAC，
故ABAC=BDDC．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及平行线的性质，关键是作AD的平行线．
四、（本题共2题，每题10分，共20分）
19．（10分）如图，A、B是双曲线y=kx（x＞0）上两点，A、B两点的横坐标分别为1、2，线段AB的延长线交x轴于点C，若△AOC的面积为6，求k的值．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到A（1，k），B（2，k2），则OD＝1，DE＝1，AD＝2BE，所以BE为△ADC的中位线，得到CE＝DE＝1，然后根据三角形面积公式计算k的值．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
∵A、B两点的横坐标分别为1、2，
∴A（1，k），B（2，k2），
∴OD＝1，DE＝1，AD＝2BE，
∴BE为△ADC的中位线，
∴CE＝DE＝1，
∴OC＝3，
∵△AOC的面积为6，
∴12•3•k＝6，
∴k＝4．
【点评】本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE＝2，tanC=12，求⊙O的直径．
【分析】（1）证明：连接OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线得到OD∥BC，再根据切线的性质得到DE⊥OD，然后根据平行线的性质可判断DE⊥BC；
（2）连接BD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠BDE，接着根据正切的定义在Rt△CDE中计算出CE＝2DE＝4，在Rt△BDE中计算出BE=12DE＝1，则BC＝5，然后利用OD为△ABC的中位线可求出OD，从而得到圆的直径．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵D为AC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠CDE＝90°，
而∠CDE+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BDE，
在Rt△CDE中，∵tanC=DECE=12，
∴CE＝2DE＝4，
在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=BEDE=12，
∴BE=12DE＝1，
∴BC＝BE+CE＝5，
∵OD为△ABC的中位线，
∴OD=12BC，
∴AB＝BC＝5，
即⊙O的直径为5．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
五、（本题共2题，每题12分，共24分）
21．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点E．
（1）作EF垂直BC于点F，求证：点F是线段BC的2等分点；
（2）连接DF交AC于点G，作CH垂直BC于点H，求证：点H是线段BC的3等分点；
（3）你能在图中作出线段BC的一个4等分点吗？
【分析】（1）由矩形的性质可知AE＝EC，由平行线分线段成比例定理可知BF＝FC；
（2）先证明△EFG∽△CDG，从而可得到EG：GC＝1：2，故此CG：AC＝1：3，然后由平行线分线段成比例定理可求得CH：CB＝1：3；
（3）过点E作EP⊥DC，连接FP交AC于点Q，过点Q作QM⊥BC，垂足为M则点M为BC的一个四等分点．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴点E为AC的中点．
∴AE＝EC．
∵EF⊥BC，AB⊥BC，
∴EF∥AB．
∴CF：FB＝CE：EA＝1．
∴CF＝FB．
∴点F是BC的中点．
（2）∵AE＝EC，BF＝FC，
∴EF是△BCD的中位线．
∴EF=12DC．
∵EF⊥BC，DC⊥BC，
∴△EFG∽△CDG．
∴EGGC=EFDC=12．
∴QCCA=13．
∵GH∥AB，
∴CHCB=QCAC=13．
∴点H是BC的三等分点．
（3）如图所示：过点E作EP⊥DC于P，连接FP交CE于Q，过Q做QM⊥BC，M为BC的四等分点．
【点评】本题主要考查的是矩形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质可判定，由△EFG∽△CDG求得QC＝2EG，从而得到AC＝3CG是解题的关键．
22．（12分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，
w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根据题意，得：
w＝w1+w2
＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950
＝﹣2（x−414）2+732818，
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值为9160，
答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是9160元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．
六、（本题14分）
23．（14分）如图，点B、C分别在射线AM、AN上，且∠MAN为锐角，∠MAN内有一动点P，使得∠BPC＝90°．
（1）若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．
①求证：△CPA∽△APB；
②连接BC，若BC⊥AC，求PCBC的值；
（2）若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8，求AC的长．
【分析】（1）①要证明△CPA∽△APB，可通过三角形内角和定理得出∠BAP+∠ABP＝45°，由∠BAP+∠PAC＝∠MAN＝45°，推出∠PBA＝∠PAC，即可得证；
②要求PCBC的值，易得△ABC是等腰直角三角形，进而得到AB=2AC，再根据①中结论，得出PC、AP和BP的关系，由勾股定理得出BC的长，即可求解；
（2）要求AC的长，可先通过作辅助线证明△APB∽△EPC，根据相似比求出EC的长，利用含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，再由已知角得到∠AEC＝90°，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）①证明：∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝45°，
∴∠BAP＝45°﹣∠PAC．
∵∠BPC＝90°，∠APB＝∠APC，
∴∠APB＝∠APC＝135°，
∴∠PBA＝180°﹣∠APB﹣∠BAP＝180°﹣135°﹣（45°﹣∠PAC）＝∠PAC，
∴△CPA∽△APB；
②解：∵BC⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝BC，AB=2AC，
由（1）知△CPA∽△APB，
∴CPAP=PAPB=CAAB=12=22，
∴PCPB=PCAP×APPB=(22)2=12，
∴2PC＝PB，
∵∠BPC＝90°，
∴在Rt△BPC中，BC=BP2+PC2=5PC，
∴PCBC=PC5PC=55；
（2）解：如图，作PE⊥PA交AB于点E，连接CE，
则∠AEP＝∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠EPC，
∵∠CBP＝∠BAP＝30°，
∴APPE=3，BPPC=3，
∴APPE=BPPC，
∴△APB∽△EPC，
∴ABEC=APEP=3，∠CEP＝∠BAP＝30°，
又∵AB＝8，
∴EC=833，
∵在Rt△APE中，∠BAP＝30°，AP＝3，
∴AE＝23，
∴∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AEC＝∠APE+∠CEP＝90°，
∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，
∴AC=AE2+EC2=(23)2+(833)2=1033．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，关键是找到相似三角形，用三角形相似的判定来证明．
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