2022-2023学年安徽省合肥三十中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥三十中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列各式中，是的二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    抛物线不经过的象限是(    )

A. 第一、二象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限

3.    将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    已知，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知抛物线上的两点和，如果，那么下列结论一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    对于函数，下列说法错误的是(    )

A. 它的图象分布在二、四象限
B. 它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 当时，的值随的增大而增大
D. 当时，的值随的增大而减小

7.    如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    在中，为边上一点，则下列条件一定能得到一对相似三角形的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.    如图，中，，，为边上的中线，，分别为，边上的点，且，过点作于点以下结论：∽；；；其中正确结论的个数是个．(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，，点是边上一动点不与，重合，，交于点，下列结论：与一定相似；与一定相似；当时，；其中正确的结论有几个？(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高______

12. 如图，在反比例函数的图象上有一点向轴作垂线交轴于点、为线段的中点，又点在轴上，且，则的面积为______．

13. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么的值为______．

14. 已知，抛物线上有两点和
    此抛物线的对称轴是______．
    若，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    已知二次函数．
    若抛物线与轴有两个不同的交点，求的取值范围；
    若抛物线的顶点在轴上，求的值．
16. 本小题分
    如图，在中，、分别是、边上的高，求证：∽．

17. 本小题分
    如图，在中，，，，，求长及四边形的周长．

18. 本小题分
    新冠疫情暴发后，口罩的需求量增大．某口罩加工厂承揽生产万个口罩的任务，计划用天完成．
    写出每天生产口罩万个与生产时间天之间的函数表达式；
    由于国外的疫情形势严峻，卫生管理部门要求厂家提前天交货，那么加工厂每天要多做多少万个口罩才能完成任务？用含的代数式表示
19. 本小题分
    如图：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    求的面积；
    根据图象直接写出，当为何值时，．

20. 本小题分
    如图，在四边形中，，，平分，是的中点．
    求证：；
    若，，求的长．

21. 本小题分
    某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过万件，该产品的生产费用万元与年产量万件之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分如图所示；该产品的销售单价元件与年销售量万件之间的函数图象是如图所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为万元．毛利润销售额生产费用
    请直接写出与以及与之间的函数关系式；
    求与之间的函数关系式；
    由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过万元，求今年可获得最大毛利润．
22. 本小题分
    如图，在正方形中，是边的中点，是边上的一点，且，求证：
    ∽；
    ；
    平分．

23. 本小题分
    如图所示，已知抛物线与轴的交点为、点在点的左侧，与轴的交点为，顶点为．
    直接写出、、三点的坐标，及直线的解析式不写过程；
    如图，平行于轴的直线与直线相交于点，与抛物线相交于点和点，设，若，求的取值范围；
    在第一象限内，抛物线上是否存在一点，连接交于点，使：的值最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项合题意；
C、不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：．
利用二次函数定义进行解答即可．
本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
抛物线经过第三、四象限，
不经过第一、二象限，
故选：．
由解析式可求得其对称轴及顶点坐标，结合开口方向可求得图象所在的象限，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
把要求的式子化成，再把代入进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，较简单，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，即抛物线开口向下，
抛物线有最大值为，
抛物线对称轴为直线，
而，
．
故选A．
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，在对称轴左侧，随的增大而增大，所以时，．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下，对称轴为直线；在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小．
 

6.【答案】 

【解析】解：、它的图象分布在二、四象限，说法正确，不符合题意；
B、它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，不符合题意；
C、当时，的值随的增大而增大，说法正确，不符合题意；
D、当时，的值随的增大而减大，说法错误，符合题意；
故选：．
根据反比例函的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大，图象既是轴对称图形又是中心对称图形进行判断即可．
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：
反比例函数的图象是双曲线；
当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；
当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，
，
∽；
故符合题意；
当时，
，
∽；
故符合题意；
当时，
即：：，
，
∽；
故符合题意；
当时，即：：，
而，
所以不能判断和相似．
故不符合题意；
故选：．
根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
∽，
故选：．
由有两组角对应相等的两个三角形相似，可判定∽．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，，，
，
是边上的中线，
，，
，
∽，
故正确；
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
故正确；
≌，
，
，
，
，
故正确；
，
，
但无法说明，
故错误，
综上，正确，正确的个数是个，
故选：．
可说明和，即可判断正确；通过证明≌，得，可判断正确；由，得，但无法说明，可判断错误．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，．
，
．
，
∽．
正确；
，
．
，
．
．
，
∽．
正确；
由知：∽，
．
．
．
．
正确；
点是边上一动点不与，重合，
．
垂线段最短，
当时，取得最小值．
．
，
．
．
，
．
正确．
综上，正确的结论有：．
故选：．
利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以判定正确；根据相似三角形对应边成比例，利用∽得出比例式求得的长，进而得出正确；利用判定正确的结论，通过分析的取值范围即可得出正确．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行相似三角形的判定是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，，，，
，
米，
米，
故答案为：．
利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上离地面的高度即可求得树高．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
 

12.【答案】 

【解析】解：设、，
点在反比例函数的图象上，
，
，，
．
故答案为：．
设、，根据函数解析式可知，由已知得，，再根据三角形的面积公式求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标与系数的关系，反比例函数的系数与图象面积的关系．关键是明确线段之间的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：矩形的面积是矩形面积的倍，各种开本的矩形都相似，
，
，
故答案为：．
根据矩形的面积是矩形面积的倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
 

14.【答案】直线   

【解析】解：抛物线，
对称轴为直线；
抛物线中，，
抛物线开口向上，
抛物线上有两点和，且，
，
解得，
故答案为：．
利用对称轴公式即可求得；
根据二次函数的性质，即可得到，解得即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：二次函数的图象与轴有两个交点

，
则的取值范围为；

根据题意得：
 ，
解得． 

【解析】根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出，进而求出的取值范围．
根据顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是，求出即可．
此题主要考查了二次函数的图象与轴交点的个数的判断以及图象顶点在坐标轴上的性质，熟练掌握其性质是解题关键．
 

16.【答案】证明：设与交于点，

，分别是，边上的高，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽． 

【解析】设与交于点，首先利用两个角相等可说明∽，得，从而证明∽．
本题主要考查了相似三角形的判定，证明∽，得出是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，，
∽，
，
，，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形的周长是：，
即的长为，四边形的周长是． 

【解析】证∽，根据线段比例关系求，，然后根据四边形是平行四边形求周长即可．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：写出每天生产口罩万个与生产时间天之间的函数表达式为：
；
由题意得：万个，
答：每天要多做万个口罩才能完成任务． 

【解析】根据每天生产口罩万个、生产时间天、生产总量之间的关系可直接列出函数表达式；
根据题意得到万个，于是得到结论．
本题主要考查了反比例函数的应用，了解每天生产口罩万个、生产时间天、生产总量之间的关系是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为，
点也在反比例函数的图象上，
，
即，
把点，点代入一次函数中，
得，
解得，
一次函数的表达式为；
故反比例函数解析式为，一次函数得到解析式为；

在中，当时，得，
直线与轴的交点为，
；

当或时，． 

【解析】把点坐标代入反比例函数求出的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，得到点的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
先求出直线与轴的交点坐标，从而轴把分成两个三角形，结合点、的横坐标分别求出两个三角形的面积，相加即可；
找出直线在反比例函数图形的上方的自变量的取值即可．
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式，难度中等．
 

20.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
又是的中点，
；
解：，，
，
又，
∽，
，
设，则，
，
解得：，
． 

【解析】利用平行线的性质和角平分线的定义可证，由点是的中点，可得；
由∽，得，设，则，从而求出的值，并解决问题．
本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟悉基本图形是解题的关键，属于基础题．
 

21.【答案】解：图可得函数经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
故与之间的关系式为，
图可得：函数经过点、，
设，则，
解得：，
故与之间的关系式为；


，
与之间的函数关系式为；
令，得，
解得：负值舍去，
由图象可知，当时，，


，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：今年最多可获得毛利润万元． 

【解析】利用待定系数法可求出与以及与之间的函数关系式；
根据的表达式及毛利润销售额生产费用，可得出与之间的函数关系式；
首先求出的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．
本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
∽，
．
是边的中点，
，
四边形是正方形，
，
．
；
由可知，，
，
，
，
∽，
，
即平分． 

【解析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．
利用同角的余角相等可得，利用正方形的性质可得，根据有两角对应相等的两个三角形相似可以判定结论成立；
利用中的结论，根据相似三角形对应边成比例得出比例式，利用正方形的性质，结论可得；
通过证明∽，可得，结论可得．
 

23.【答案】解：，，，解析式：
直线轴，
，
，
，
，
，
当时，；当时，；
，
，
；
存在，理由如下：
如图，设点的横坐标为，
作轴交于点，
，
当时，取最大值，
轴，
∽，
：：，
，
当取最大值时，：的值最小，
 

【解析】令，则，
，
令，则，
或，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
；
由题意可知，，则，可求，，所以；
设点的横坐标为，作轴交于点，则，可知∽，可求：：，所以当取最大值时，：的值最小，求出
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用相似是解题的关键．