专题03 特殊三角形（重点，浙江期中精选）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）

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1．（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义依次判断即可．
【解析】解：A选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
C选项图形不能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D选项图形能找到一条直线，使它沿着该直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是掌握如果一个图形能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形．
2．（2022秋·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．，，C．5，12，13D．1，，
【答案】B
【分析】满足两边的平方和等于第三边的平方即可，即，可以构成直角三角形，据此进行判断即可．
【解析】解：A. ，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B. ，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C. ，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D. ，能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理,熟练掌握两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形是解题的关键．
3．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，点D是的中点．连接，若，则的长度是（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．5
【答案】C
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即，进而求得的长度．
【解析】解：∵，点D是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
4．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）在中，，，，平分交于点E，则的长是（ ）．
A．3B．5C．D．6
【答案】B
【分析】根据题意画图，先利用勾股定理求得，过E作于D，根据角平分线的性质得到，进而证明得到，然后利用勾股定理求解即可．
【解析】解：如图，过E作于D，
∵在中，，，，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的证明以及角平分线的性质，会利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．
5．（2022秋·浙江台州·八年级校联考期中）如图，中，，，点在线段上，，，与相交于点，若，则（ ）

A．7B．C．6D．
【答案】C
【分析】过作交于，延长与的延长线交于点，由得到，则为等腰直角三角形，于是，由得到平分，根据等腰三角形性质得，即，然后根据“”证明，则，所以．
【解析】解：过作交于，延长与的延长线交于点，如图，
，
，
为等腰直角三角形
，
，
，
平分，
而，
，即，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
6．（2022秋·浙江嘉兴·八年级校联考期中）如图，在中于点为上一点连结交于点，若，，则与的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由于点，可以得到和是直角三角形，根据直角三角形的判定“”，可以证明,得到，进而得到．
【解析】解：∵于点
∴
在和中

∴
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定性质、等角对等边、直角三角形的两个锐角互余等知识点，证明是解题的关键．
7．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可得，，，最后利用勾股定理解即可．
【解析】解：中，，，
，
将直角边沿折叠，使它落在斜边上，
，
，
设，则，
由折叠的性质，可得，，
在中，，
，
解得，
等于．
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．
8．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，是等边三角形，过边上的点作的垂线交于点，作交于点，作FG⊥AC交于点，，相交于点．若，，则的长为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.5
【答案】A
【分析】如图所示，过点M作于H，先证明，由含30度角的直角三角形的性质求出，进而求出即可得到答案．
【解析】解：如图所示，过点M作于H，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．（2022秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【解析】解：如图所示：
分三种情况：
①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，，
综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
10．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．5D．6
【答案】B
【分析】过点A作于H，在上截取，证明，则，可得，由得到的最小值是的长，由勾股定理得到，根据等积法求出的长即可．
【解析】解：过A作于H，在上截取，
∵的平分线交于点D，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∵，
∴的最小值是的长．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及角平分线的定义，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题
11．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ．
【答案】“两个角相等的三角形是等腰三角形”
【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等腰三角形， 结论为两个角相等，互换即可．
【解析】解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”，
故答案为：“两个角相等的三角形是等腰三角形”．
【点睛】本题考查逆命题的概念，解决本题的关键是熟练掌握逆命题的概念，知道题设和结论互换．
12．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】22
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解析】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，
∴不能构成三角形；
当腰为9时，4+9＞9，
∴能构成三角形，周长是：4+9+9＝22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（2022秋·浙江·八年级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
【答案】或/或
【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．
【解析】解：在等腰中，，为腰上的高，，
当在内部时，如图1，
为高，
，
，
，
；
当在外部时，如图2，
为高，
，
，
，
，
而，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
故答案为：或．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
14．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，则小正方形与大正方形的面积之比为 ．
【答案】/1:5
【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，
∴小正方形的边长为1，
根据勾股定理得：大正方形的边长＝，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
15．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，中，，，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点，点为边上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理求得的长，设到的距离为，则，根据题意可知是的角平分线，根据角平分线的性质得出即为的最小值，根据等面积法计算即可求解．
【解析】解：∵中，，，，
∴，
设到的距离为，则
根据题意可知是的角平分线，
∴，
∵
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，作角平分线，垂线段最短，掌握角平分线的性质是解题的关键．
16．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，在 中，，以为斜边作等腰直角，交于点G，过D作，垂足为 E，交于点F，，设的面积为，的面积为，则 ．
【答案】4
【分析】过点E作于点N，过点D作于点M，过点D作交延长线于点H，连接，根据勾股定理可得的长，再由等腰直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到的长，，，，从而得到的长，再证得，可得，，进而得到，再由，即可求解．
【解析】解：如图，
∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据题意得到是解题的关键．
三、解答题
17．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市青春中学校考期中）如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，得到，根据判定即可得到结论；
【解析】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题主要考查用判定直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握直角三角形全等的判定．
18．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，，，，，又已知．求这块土地的面积．

【答案】这块土地的面积为36平方米．
【分析】连接，由勾股定理求得，然后勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，进而根据，即可求解．
【解析】解：连接，

∵，
∴，
则，
因此是直角三角形，，
（平方米），
答：这块土地的面积为36平方米．
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．
19．（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，已知在中，，过边上一点作于点，延长，与的延长线相交于点．

(1)求证：．
(2)若是的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据等边对等角得到，再由直角三角形的性质得到，，则，再由，得到，由此即可证明；
（2）作于点，则由三线合一定理得到，再证明，得到，则．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：作于点，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，已知，，．
(1)用直尺和圆规作出的角平分线交于点D，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的基础上，若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）以A点为圆心，以合适长度为半径画弧交、于点N、M，再以M、N为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于点G，连接，交于点D，即可；
（2）先求出，再根据平分，可得，问题得解．
【解析】（1）作图如下，
点D即为所求；
（2）∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，直角三角形中两锐角互余等知识，掌握角平分线的尺规作图方法是解答本题的关键．
21．（2022秋·八年级统考期中）方格纸中小正方形的顶点叫格点，点A和点B是格点，位置如图．
(1)在图1中确定格点C，使得是直角三角形，画出一个这样的，并直接写出线段的长．
(2)在图2中确定格点D，使得是等腰三角形，画出一个这样的．
【答案】(1)见解析，5
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形，利用勾股定理求出即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解析】（1）解：如图1中，即为所求，
；
（2）解：如图2中，即为所求．
．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
22．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图，已知等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P．
(1)当时，求的度数；
(2)当时，求的度数（请用含x的代数式表示），并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据等边对等角求出等腰的底角度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据高的定义得到，从而可得；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到与的关系，即可得到结果．
【解析】（1），，
，
，
，
平分，
，
；
（2）∵，
∴，
由（1）可得：，，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，高与角平分线的定义，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是找到角之间的等量关系．
23．（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．

(1)求证：
(2)求证：
(3)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，再根据外角性质即可得出答案；
（2）根据三线合一，可得；
（3）根据勾股定理求出，由已知能推出，即可得出答案．
【解析】（1），，垂直平分，
，
，，
．
（2），
；
（3）在直角三角形中，
，
，
，，垂直平分，
，，
，
的周长．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
24．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）已知：如图，，M是的中点，连接、．
(1)求证：．
(2)若，求证：是等边三角形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）利用三角形外角的定义与性质证明，再结合（1）的结论即可作答．
【解析】（1）∵，
∴，是直角三角形，斜边均为，
∵M是的中点，
∴，，
∴；
（2）在（1）中已证明：，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵在（1）中已证明，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质等知识．掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．
25．（2022秋·浙江台州·八年级校联考期中）在等腰直角三角形中，．

(1)如图1，点D是上的一点（点D不与A、C重合），B、F、D、E四点共线，点F在线段上，求的度数．
(2)如图2，在第（1）题的条件下，若平分，探究与的数量关系，并证明结论．
(3)如图3，F是等腰直角三角形外一点，，求的面积．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)18
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可以得到结果；
（2）先根据平分，得到，则，根据等角对等边可得，，由（1）知，根据全等三角形的性质可以得到结果；
（3）过点A作交于点，连接，证明，根据全等三角形的性质可以得到结果．
【解析】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴．
在和中，
∴
∴．
∴．
（2）∵平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（3）过点A作交于点，连接，
则，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴
∴，，
又∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全封三角形的判定方法是解题的关键．
26．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在中，，，点为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角三角形，使，连接．

(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长；
(3)如图，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点与点重合，连接，求线段的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，故，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，即可求解；
（2）过作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，求得，根据勾股定理即可求得的值；
（3）过作于，过作于，于，根据折叠的性质可推得，，根据三角形内角和定理可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得，根据勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：．
理由如下：∵是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
则，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：过作于，如图1，

∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
则，
在中，．
（3）解：过作于，过作于，如图2所示：

由（2）可知，，
∵将沿线段翻折得到，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
，
，
∴，
∴，
故，
在与中，
，
∴，
∴，，
则，
在中，．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．