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特训01 三角形的初步认识压轴题（浙江精品归纳）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版）
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这是一份特训01 三角形的初步认识压轴题（浙江精品归纳）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末高分突破（浙教版），文件包含特训01三角形的初步认识压轴题浙江精品归纳原卷版docx、特训01三角形的初步认识压轴题浙江精品归纳解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共77页， 欢迎下载使用。
一、解答题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级统考阶段练习）【概念认识】如图①，在中，若，则射线BD，BE叫做的“三分线”． 其中，射线BD是“邻AB三分线”，射线BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
(1)如图②，在中，，若的三分线BD交AC于点D，则 ；
(2)如图③，在中，BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且，求的度数；
【拓展延伸】
(3)在中，是的外角，的三分线与的三分线交于点P． 若，直接写出的度数． （用含 α、β 的代数式表示）
2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．
(1)如图2，点C为三条内角平分线交点，连接、，在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：
(2)如图3，在（1）的条件下，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．
①与的数量关系为____．
②在中，如果有一个角是另一个角的2倍，求的度数．
3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）．
（探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．
（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由．
5．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：在中，，点在上，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积．
6．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．
（3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：．
7．（2023·浙江·八年级假期作业）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
8．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）【初步探索】
(1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
9．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，等腰中，，点在边上，连接并延长到，连接，．
(1)如图①，若，，在上取点，连接，使，试证明：
(2)如图②，若，，探究，，的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若，，探究，，的数量关系，并说明理由．
10．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
11．（2019秋·浙江·八年级统考期中）如图1，在中，，、是边上的点，连接、，以的边所在直线为对称轴作的轴对称图形，连接，若.
（1）求证：.
（2）如图2若，探索，，之间满足怎样的数量关系时，是正三角形.
（3）如图3若，求证：.
12．（2018秋·浙江·八年级统考阶段练习）(1)如图，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.
求证：.
(2)如图，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，(1)中的结论是否仍然成立？
(3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
13．（2020秋·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形.
(1)如图1，求证：AD=CE.
(2)如图2，设CE与AD交于点F，连接BF.
①求证：∠CFA=60°.
②求证：CF+BF=AF.
14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在中，于点
（1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数；
（2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明；
（3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.
15．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AD=AE，连接DC，点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点,
(1)观察猜想：如图 1 中，△PMN 是 三角形；
(2)探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD， CE．判断△PMN 的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请求△PMN 面积的取值范围．
16．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
17．（2018秋·全国·八年级专题练习）（）如图①，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．
求证：．
（）如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？
（）如图③，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
18．（2018秋·浙江·八年级统考阶段练习）我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能“或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ= 度；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．
(1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接．求证：；
(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：；
(3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请求出的值．
20．（2022秋·浙江·八年级专题练习）数学活动课中，老师给出以下问题：
（1）如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围______．
（2）如图2，在中，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连结，请探索由三条线段 、、构成的三角形的形状，并说明理由．
（3）已知：如图3，且，F是线段的中点．求证：．
21．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．
(1)如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求证：四边形ABCD是“准筝形”；
(2)如图2，在“准筝形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝4，CD＝3，求AC的长；
(3)如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，AB＝3－，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．
22．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知中，
（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．
（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．
23．（2022秋·八年级单元测试）如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
（1）如图2，当________时，；当______时，；
（2）如图③，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时；
①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度数；
③若使得，求的度数范围．
一、解答题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级统考阶段练习）【概念认识】如图①，在中，若，则射线BD，BE叫做的“三分线”． 其中，射线BD是“邻AB三分线”，射线BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
(1)如图②，在中，，若的三分线BD交AC于点D，则 ；
(2)如图③，在中，BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且，求的度数；
【拓展延伸】
(3)在中，是的外角，的三分线与的三分线交于点P． 若，直接写出的度数． （用含 α、β 的代数式表示）
2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．
(1)如图2，点C为三条内角平分线交点，连接、，在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：
(2)如图3，在（1）的条件下，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．
①与的数量关系为____．
②在中，如果有一个角是另一个角的2倍，求的度数．
3．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）．
（探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．
（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由．
5．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：在中，，点在上，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积．
6．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长．
（3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：．
7．（2023·浙江·八年级假期作业）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
8．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）【初步探索】
(1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
9．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，等腰中，，点在边上，连接并延长到，连接，．
(1)如图①，若，，在上取点，连接，使，试证明：
(2)如图②，若，，探究，，的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若，，探究，，的数量关系，并说明理由．
10．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
11．（2019秋·浙江·八年级统考期中）如图1，在中，，、是边上的点，连接、，以的边所在直线为对称轴作的轴对称图形，连接，若.
（1）求证：.
（2）如图2若，探索，，之间满足怎样的数量关系时，是正三角形.
（3）如图3若，求证：.
12．（2018秋·浙江·八年级统考阶段练习）(1)如图，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.
求证：.
(2)如图，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，(1)中的结论是否仍然成立？
(3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
13．（2020秋·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形.
(1)如图1，求证：AD=CE.
(2)如图2，设CE与AD交于点F，连接BF.
①求证：∠CFA=60°.
②求证：CF+BF=AF.
14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在中，于点
（1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数；
（2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明；
（3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.
15．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AD=AE，连接DC，点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点,
(1)观察猜想：如图 1 中，△PMN 是 三角形；
(2)探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD， CE．判断△PMN 的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请求△PMN 面积的取值范围．
16．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ；
（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；
（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．
17．（2018秋·全国·八年级专题练习）（）如图①，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．
求证：．
（）如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？
（）如图③，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
18．（2018秋·浙江·八年级统考阶段练习）我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能“或“不能”）
（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ= 度；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．
数学思考：
（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．
(1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接．求证：；
(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：；
(3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请求出的值．
20．（2022秋·浙江·八年级专题练习）数学活动课中，老师给出以下问题：
（1）如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围______．
（2）如图2，在中，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连结，请探索由三条线段 、、构成的三角形的形状，并说明理由．
（3）已知：如图3，且，F是线段的中点．求证：．
21．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．
(1)如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求证：四边形ABCD是“准筝形”；
(2)如图2，在“准筝形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝4，CD＝3，求AC的长；
(3)如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，AB＝3－，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．
22．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知中，
（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．
（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．
23．（2022秋·八年级单元测试）如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为的中点，将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
（1）如图2，当________时，；当______时，；
（2）如图③，当直角三角板的边、分别交、的延长线于点M、N时；
①与度数的和是否变化？若不变，求出与度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得，求出、的度数，并直接写出此时的度数；
③若使得，求的度数范围．
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