2023-2024学年山东省临沂市兰山区临沂实验中学九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市兰山区临沂实验中学九年级上册12月月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是【 】
A．B．C．D．1
2．已知点在反比例函数的图象上，则下列也在该函数图象上的点是（ ）．
A．B．C．D．
3．若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的弦，半径于点且则的长为（ ）．
A．B．C．D．
6．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
9．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28°B．30°C．36°D．56°
11．如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．
二、填空题（共8道题，每题4分，共32分）
13．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数上的一点，过点A向轴作垂线交轴于点，连接，若的面积为4，则的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数=的图象与一次函数=kx+b的图象交于A、B两点．若＜，则x的取值范围是 ．
16．列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到 ．
17．现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ．
18．如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．

19．如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
20．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论①；② ；③当与相切时，；④当时，．正确的结论有 ．

三、解答题（共5道题，共52分）
21．2022年3月23日．“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在 组；
(2)补全学生成绩频数直方图：
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
(4)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
22．如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
23．已知内接于，点D是上一点．
（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小．
24．如图，是的外接圆，是的直径，，E为的延长线与的交点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将一次函数向下平移个单位后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
参考答案与解析
1．B
【详解】∵是中心对称图形的有圆、菱形，
∴从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是．故选B．
2．B
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，将点代入反比例函数可求出值，再逐项检验即可；
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴符合此条件的只有点，
故选：B
3．B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
4．C
【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．
故选C
【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
5．D
【分析】连接OA，由垂径定理得AD=，在Rt△ADO中，由勾股定理求出OA，再根据CD=OC－OD求出CD即可．
【详解】连接OA，
∵OC⊥AB，AB=6则AD=3
且OA2=OD2+AD2，
∴OA2=16+9=25，
∴OA =OC=5cm．
∴DC =OC－OD=1 cm
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是连半径构造直角三角形．
6．B
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
7．D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：

∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
8．B
【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为l，
由题意得：，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．
9．B
【分析】首先作出正六边形的外接圆，根据正多边形的性质，得出阴影部分是正六边形，即将问题转化为阴影部分的面积与大正六边形的面积比，再表示出阴影部分面积和大正六边形的面积，一比即可求得概率．
【详解】作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为O，如图，
设正六边形ABCDEF的边长为2，AC与BF,BD的交点为H,N,
过点O作OM⊥AB于点M，则 ,
则为等边三角形，
∴S正六边形ABCDEF=6,
∴,
∴,
,
∴S正六边形ABCD=6,
由题可知阴影部分为正六边形，所以
,
∴,
∴ 为等腰三角形，
∴,
∴,
同理可得为等腰三角形，
∴, ,
∴ 为等边三角形，
∴
∴ ,
在Rt△AMH中， ,
,
解得,
∴,
∴S,
∴S阴影==,
∴S阴影：S正六边形ABCDEF= ,
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，垂径定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，等边三角形的判定与性质，三角函数，概率，解题关键在于熟练相关知识点．
10．A
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．C
【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接，
∵点I是的内心，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
12．C
【分析】设，则根据反比例函数的性质，列出等式计算即可．
【详解】设，
∵点B，C的横坐标都是3，，平行于x轴，点D在上，且其横坐标为1，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是解题的关键．
13．6
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
14．
【分析】本题考查反比例函数的k的几何意义．设，求出的值，可得结论．
【详解】解：设，
由题意得，
，
，
故答案为：．
15．x<0或1【分析】根据题意观察图象即可得到解答．
【详解】解：观察函数图象，当x＜0或1＜x＜3时，反比例函数图象都在一次函数图象下方，
故答案为：x＜0或1＜x＜3．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断题，解决本题的关键是读懂题目意思．
16．240
【分析】由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案.
【详解】解：由题意设
把代入得：

当h时，，
所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到，
故答案为：.
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键.
17．
【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.
【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：
3、5、8
3、5、10
3、5、13
3、8、10
3、8、13
3、10、13
5、10、13
5、8、10
5、8、13
8、10、13
其中能组成三角形的有：
①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；
②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；
③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；
④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；
所以有4种方案符合要求，
故能构成三角形的概率是P==，
故答案为：.
【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.
18．或
【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时，

∵分别与相切于两点
∴，
∵．
∴
∵，
∴，
当点在上时，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键．
19．
【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可．
【详解】解：∵等腰中，
∴BC=2
∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1；
所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC ．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
20．①③##③①
【分析】本题考查线段的和与差，勾股定理，切线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．由题意可得：，，，，从而可判断①②；当与相切时，由勾股定理可求，从而可求，可判断③；当时，由勾股定理可求，从而可求，，即，可判断④．
【详解】解：由题意可得：，，，，
∴，故①正确；
，故②错误；
如图，当与相切时，
∴，
∴，
∴，故③正确；
当时，如图，
∴，
∴，，
∴，故④错误．
综上可知正确的结论有①③．
故答案为：①③．
21．(1)400 名，D
(2)见解析
(3)1680人
(4)见解析，
【分析】（1）用C组的人数除以C组所占的百分比可得总人数，再用总人数乘以B组所占的百分比，可求出m，从而得到第200位和201位数落在D组，即可求解；
（2）求出E租的人数，即可求解；
（3）用学校总人数乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解；
（4）根据题意，画树状图，可得共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：名，
所以本次调查一天随机抽取 400 名学生的成绩，
频数直方图中，
∴第200位和201位数落在D组，
即所抽取学生成绩的中位数落在D组；
故答案为：400，D
（2）解：E组的人数为名，
补全学生成绩频数直方图如下图：
（3）解：该校成绩优秀的学生有（人）；
（4）解：根据题意，画树状图如图，
共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，
恰好抽中一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查了频数直方图和扇形统计图，用样本估计总体，利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
22．（1），；（2）12．
【分析】（1）把点A的坐标代入m的值，得出A的坐标代入，求出一次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用B点的坐标求得的解析式；
（2）根据一次函数解析式求得点C的坐标，再将y轴作为分割线，求得△AOB的面积；
【详解】解：（1）∵，在函数的图象上，
∴m=5，
∴A(-2，5)，
把A(-2，5)代入得：，
∴b=4，
∴一次函数的表达式为：，
∵在函数的图象上，
∴n=2，
∴，
把代入得：2=，∴k=8，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵C是直线AB与y轴的交点，直线AB：，
∴当x=0时，y=4，
∴点C（0，4），即OC=4，
∵A(-2，5)，，
∴=×4×2+×4×4=12；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C点坐标是解题的关键．
23．（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知，，即可推出；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而求出．
（Ⅱ）连接，由平行线的性质可知．由圆内接四边形的性质可求出．再由三角形内角和定理可求出．从而由圆周角定理求出．由切线的性质可知．即可求出．
【详解】（Ⅰ）为的直径，
∴．
∵在中，，
∴；
∵，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵，
∴．
∵四边形是圆内接四边形，，
∴．
∴．
∴．
∵是的切线，
∴，即．
∴．
【点睛】本题为圆的综合题．考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，圆的内接四边形的性质以及切线的性质．利用数形结合的思想以及连接常用的辅助线是解答本题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长交于点，根据是的外接圆，得到，由平行线的性质，得到，即可得证．
（2）连接，等边对等角，求出的度数，圆周角定理求出度数，得到为等边三角形，求出半径和的度数，利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，
∵是的外接圆，
∴点是三边中垂线的交点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；

（2）解：连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，求弧长，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
25．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)1或9
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出反比例函数的解析式，从而可求出，再次利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出平移后的一次函数解析式为，再联立平移后的一次函数解析式和反比例函数解析式，整理出关于x的一元二次方程，结合图像有且只有一个公共点，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，最后根据其根的判别式求出m的值即可；
（3）过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，可求出．设．分类讨论：①当点P位于上时，如图点，可得出，，从而可求出，，进而由，得出关于ｔ的等式，解出ｔ的值即可；②当点P位于延长线上时，如图点，同理由，得出关于ｔ的等式，解出ｔ的值即可；
【详解】（1）解：将代入，得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入，得，
解得：，
∴．
∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：将一次函数向下平移个单位后的解析式为，
联立，
整理，得：．
∵平移后的一次函数与反比例函数的图像有且只有一个公共点，
∴一元二次方程有2个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的值为1或9；
（3）解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，
∵，，
∴，
∴．
设．
分类讨论：①当点P位于上时，如图点，
则，，
∴，．
∴，即，
解得：，
所以此时点P坐标为；
②当点P位于延长线上时，如图点，
则，，
∴，．
∴，即，
解得：，
所以此时点P坐标为．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，利用待定系数法求函数的解析式，函数的交点问题与一元二次方程的根的判别式的关系，坐标与图形等知识．掌握“函数的交点坐标与方程组的解的联系”和利用分类讨论和数形结合的思想是解本题的关键．
小华\小丽