2023-2024学年山东省临沂市兰山区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市兰山区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，航天员汤洪波、唐胜杰、江新林与景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站胜利会师，再次展示了我国载人航天事业的强大实力.下列相关图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. 航天神舟B. 中国行星探测
C. 中国火箭D. 中国探月
2.一元二次方程x2+6x+4=0配方后正确的是( )
A. (x−3)2=5B. (x−3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=13
3.对于二次函数y=3(x−1)2+2的图象和性质，下列说法正确的是( )
A. 顶点坐标为(−1,2)
B. 抛物线的对称轴是直线x=1
C. 当x≥1时，y随x的增大而减小
D. 可由抛物线y=3x2+2向左平移1个单位得到
4.如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°，则∠BAC=( )
A. 23°
B. 24°
C. 25°
D. 26°
5.如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC.点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是( )
A. △ABC≌△DECB. ∠ADC=45°
C. AE=AB+CDD. AD= 2AC
6.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图中所示的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知反比例函数y=−7x图象上三个点的坐标是A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)，能正确反映y1，y2，y3的大小关系的是( )
A. y2>y1>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y2>y3>y1
8.在⊙O中按如下步骤作图：
(1)作⊙O的直径AD；
(2)以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
(3)连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是( )
A. ∠ABD=90°B. ∠BAD=∠CBD
C. AD⊥BCD. AC=2CD
9.“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德.小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是( )
A. 12B. 13C. 16D. 29
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是( )
A. ∠BCD=∠AB. △ACD∽△ABC
C. BC2=AD⋅ABD. CD2=AD⋅BD
11.如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何涉及四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为7xcm，左、右边衬的宽均为9xcm，那么x满足的方程是( )
A. (27−9x)(21−7x)=14×27×21B. (27−9x)(21−7x)=34×27×21
C. (27−18x)(21−14x)=14×27×21D. (27−18x)(21−14x)=34×27×21
12.如图，点E是边长为4的正方形ABCD内部一点，∠EAD=∠EBA，将DE按逆时针方向旋转90°得到DF，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 2 3
B. 72
C. 2 10−2 2
D. 2 6−2 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.在平面直角坐标系中，点(−3,2)关于原点对称的点的坐标是_________．
14.如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
15.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC、DE交于点F.若AEEB=23，则S△ADFS△AEF= ______．
16.如图，已知圆锥的母线AB长为40cm，底面半径OB长为10cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是______．
17.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac0；④当y>3时，x的取值范围是0三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−6x−7=0；
(2)x(2x−5)=4x−10．
19.(本小题8分)
有甲、乙、丙三个不透明的布袋，甲袋中装有3个相同的小球，它们分别标有字母A，B，C；乙袋中装有2个相同的小球，它们分别标有字母D和E；丙袋中装有2个相同的小球，它们分别标有字母H和I，从三个布袋中各随机取出一个小球．
(1)请画出树状图，并列举出所有可能结果；
(2)求取出的3个小球恰好有2个元音字母的概率．
20.(本小题8分)
如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点.A，B，C，O都在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图(画图过程用虚线表示，结果用实线表示，保留作图痕迹)．
(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A1B1C1；
(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB2C2；
(3)在图3中，在线段AB上找一点P，使BPAP=23．
21.(本小题10分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=4x的图象在第一象限交于点(m,4)，与x轴交于点B，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知点P为反比例函数y=4x图象上的一点，S△OBP=S△OAC，求点P的坐标．
22.(本小题10分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF/​/BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
(1)求证：直线AF是⊙O的切线；
(2)若∠AOF=30°，AF=2 3，求阴影部分的面积．
23.(本小题12分)
为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
(1)甲生的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米．
24.(本小题13分)
临沂“水韵琅琊”已经成为城市的一张靓丽的名片，《夜画琅琊》吸引了大批游客乘坐船感受临沂悠久的历史文化.在景观点河面上有一组喷泉，水柱从垂直于河面的喷水枪喷出，喷出的水柱路径可以看作是抛物线的一部分.记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为x m，距河面的竖直高度为y m，获得数据如表：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x,y)，并画出表示水柱运行轨迹形状的大致图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象回答：
①水柱的最高点距离河面为______米，水柱在河面上的落点距喷水枪的水平距离约为______米；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)现景点想通过喷泉设立一个新的游玩项目，准备通过调节水枪高度使得行进的平游船能从喷泉最高点的正下方通过(调节前后喷水枪喷出水的初速度相同).如果游船宽度为3.4m，顶棚到河面的高度为2m，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8m，问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：方程移项得：x2+6x=−4，
配方得：x2+6x+9=5，即(x+3)2=5．
故选：C．
方程移项后，两边加上9变形即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=3(x−1)2+2，
∴函数开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1,2)，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
二次函数y=3(x−1)2+2的图象可由抛物线y=3x2+2向右平移1个单位得到．
故B正确，
故选：B．
根据二次函数的性质即可直接判断．
本题考查了二次函数的性质，正确记忆函数的性质是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：连接OC，
∵∠ABC=19°，
∴∠AOC=2∠ABC=38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=90°−38°=52°，
∴∠BAC=12∠BOC=26°，
故选：D．
连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC的度数，再利用圆周角定理可求解．
本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质得出CD=CA，∠EDC=∠BAC=135°，AB=DE，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC=45°=∠DAC，△ABC≌△DEC，AD= 2AC，
∴AE=AD+DE= 2CD+AB，故选项A，B，D正确，C错误，
故选：C．
由旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
6.【答案】D
【解析】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边成比例，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
D、两三角形对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由反比例函数y=−7x可知，k<0，图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
∵点C(2,y3)在第四象限，
∴y3<0，
∵−2<−1，
∴0∴y2>y1>y3，
故选：A．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据作图过程可知：
AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴A选项正确；
∵BD=CD，
∴BD=CD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴B选项正确；
根据垂径定理，得
AD⊥BC，
∴C选项正确；
∵DC=OD，
∴AD=2CD，
∴D选项错误．
故选：D．
根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，BD=CD，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC=OD，可得AD=2CD，进而可判断D选项．
本题考查了作图−复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．
9.【答案】B
【解析】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一处的结果数为3，
∴小刚和小强两人恰好选择同一处的概率=39=13，
故选：B．
画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一处的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
10.【答案】C
【解析】解：A、根据“同角的余角相等”推知∠BCD=∠A，结论正确，不符合题意；
B、由“∠CAD=∠BAC、∠ADC=∠ACB”推知△ACD∽△ABC，结论正确，不符合题意；
C、由射影定理知：BC2=BD⋅AB，结论不正确，符合题意；
D、由射影定理知：CD2=AD⋅BD，结论正确，不符合题意．
故选：C．
利用射影定理和相似三角形的判断方法进行分析判断．
本题主要考查相似三角形的判定，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
11.【答案】D
【解析】解：设上、下边衬的宽均为7xcm，左、右边衬的宽均为9xcm，则中央矩形的长与宽为(27−18x)cm，(21−14x)cm，
由题意得：(27−18x)(21−14x)=34×27×21．
故选：D．
由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积=34×封面的面积，依此列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式；另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积−截去的面积，然后根据题意列出方程．
12.【答案】C
【解析】解：在正方形ABCD中，∠EAD+∠EAB=90°，
∵∠EAD=∠EBA，
∴∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的圆上，
取AB中点G，连接GE，当DE过点G时，DE有最小值，
又∵DE按逆时针方向旋转90°得到DF，
∴EF= DE2+DF2= 2DE，
∴此时EF也取最小值，
∵AG，GE为⊙G的半径，即AG=GE=12AB=2，
∴此时DE=DG−GE= AG2+AD2−GE= 22+42−2=2 5−2，
∴EF= 2DE=2 10−2 2，
即EF的最小值为2 10−2 2，
故选：C．
根据∠EAD=∠EBA得到∠AEB=90°，则点E在以AB为直径的圆上，取AB中点G，当DE过点G时，DE有最小值，由旋转的性质得到EF= 2DE，则此时EF也取最小值，即可解答．
本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹．
13.【答案】(3,−2)
【解析】解：根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，
∴点(−3,2)关于原点对称的点的坐标是(3,−2)，
故答案为(3,−2)．
根据平面直角坐标系内，两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，即可得出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称的坐标特点，熟记关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题关键．
14.【答案】47
【解析】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的47，即这个点取在阴影部分的概率是47，
故答案为：47．
根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法，是解题的关键．
15.【答案】52
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵AEBE=23，
∴设AE=2a，则BE=3a，
∴AB=CD=5a，
∵AB/​/CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴AECD=EFDF=25，
∴S△ADFS△AEF=52，
故答案为：52．
通过证明△AEF∽△CDF，可得AECD=EFDF=25，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
16.【答案】40 2cm
【解析】解：将圆锥沿经过点B的母线展开，连接BC′，
设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥底面圆周长为2×10π=20π，
∴nπ×40180=20π，
解得：n=90，
∵BA=AC′=40，∠BAC′=90°，
∴BC′= 402+402=40 2，
即这根绳子的最短长度是40 2，
故答案为：40 2cm．
首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可．
此题考查了圆锥的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点．
17.【答案】①②④⑤
【解析】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2−4ac>0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点(−1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3，所以②正确；
∵x=−b2a=1，即b=−2a，
而x=−1时，y=0，即a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵当y=3时，x=0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=2时，y=3．
∴当y>3时，x的取值范围是0∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=−2a，然后根据x=−1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
18.【答案】解：(1)方程整理得：x2−6x−7=0，
(x−7)(x+1)=0，
x−7=0或x+1=0，
解得：x1=7，x2=−1；
(2)方程整理得：x(2x−5)−2(2x−5)=0，
分解因式得：(x−2)(2x−5)=0，
可得x−2=0或2x−5=0，
解得：x1=2，x2=2.5．
【解析】(1)方程利用配方法求出解即可；
(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−配方法，以及因式分解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)画树状图得：

∴由图可知，共有12种等可能的结果；
(2)∵取出的3个小球上恰好有2个元音字母的结果有4种，
∴取出的3个小球恰好有2个元音字母的概率为：412=13．
【解析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
(2)首先求得取出的3个小球上恰好有2个元音字母的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)如图1，称△A1B1C1即为所求作．

(2)如图，△AB2C2即为所求作．

(3)如图3，点P即为所求．

理由如下：
∵BC/​/AD，
∴BCAD=BPPA=23．
【解析】(1)根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)根据题意作出图形即可；
(3)找到格点C、D，连接CD交AB于点P，即可得解．
本题考查作图−旋转变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)∵点A(m,4)在反比例函数y=4x的图象上，
∴4=4m，
∴m=1，
∴A(1,4)，
又∵点A(1,4)、C(0,3)都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴k+b=4b=3，
解得k=1b=3，
∴一次函数的解析式为y=x+3；
(2)对于y=x+3，当y=0时，x=−3，
∴OB=3，
∵C(0,3)，
∴OC=3，
过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，
∵S△OBP=2S△OAC，
∴12OB⋅PD=12OB=C⋅AH，即12×3×PD=12×3×1，
解得PD=1，
∴点P的纵坐标为1或−1，
将y=1或−1代入y=4x得x=4或−4，
∴点P(1,4)或(−1,−4)．
【解析】(1)把A(m,4)代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，由S△OBP=2S△OAC得到12OB⋅PD=2×12OC⋅AH，即12×3×PD=2×12×3×1，解得PD=2，即可求得点P的纵坐标为2或−2，进一步求得点P的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OC，

∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，
∵OF/​/BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
OC=OA∠AOF=∠COFOF=OF，
∴△AOF≌△COF(SAS)，
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∵OA为⊙O的半径，
∴AF为⊙O的切线；
(2)解：在Rt△AOF中，∠AOF=30°，AF=2 3，
∴OA= 3AF=6，
∵∠AOF=∠COF，
∴∠AOC=2∠AOF=60°，
在Rt△OCP中，OC=OA=6，
∴CP=OC⋅tan60°=6 3，
∴阴影部分的面积=△OCP的面积−扇形AOC的面积
=12OC⋅CP−60π×62360
=12×6×6 3−6π
=18 3−6π．
∴阴影部分的面积为18 3−6π．
【解析】(1)连接OC，先根据切线的性质可得∠OCP=90°，再根据平行线和等腰三角形的性质可得OF平分∠AOC，从而可得∠AOF=∠COF，然后利用SAS证明△AOF≌△COF，从而可得∠OAF=∠OCF=90°，即可解答；
(2)在Rt△AOF中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AO=6，再利用(1)的结论可得∠AOC=60°，然后在Rt△OCP中，利用锐角三角函数的定义求出CP=6 3，从而根据阴影部分的面积=△OCP的面积−扇形AOC的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意知BC⊥AB，DF⊥AD，
∴∠CBA=∠FDA=90°，
又∵∠CAB=∠FAD，
∴△CAB∽△FAD，
∴ADAB=DFBC，
由题意知AD=3m，AB=5m，BC=3.5cm，AD=3m，
∴35=DF3.5，
解得DF=2.1cm，
即小视力表中相应“E”的高是2.1cm；
(2)如图，作CD⊥MN于点D，延长线交A′B′于点E，

由题意知，AB//MN//A′B′，
∵MN//A′B′，CD⊥MN，
∴CE⊥A′B′，
∵MN//A′B′，
∴∠MNC=∠A′B′C，∠NMC=∠B′A′C，
∴△MNC∽△A′B′C，
∴MNA′B′=CDCE，
由题意知CE=5m，DE=3m，A′B′=AB=0.8m，
∴CD=CE−DE=2m，
∴MN0.8=25，
∴MN=0.32m，
∴镜长至少为0.32m．
【解析】(1)根据两组对角相等证明△CAB∽△FAD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解；
(2)作CD⊥MN于点D，延长线交A′B′于点E，先证△MNC∽△A′B′C，再根据相似三角形的相似比等于高的比列式求解．
本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
24.【答案】4.4 4.5
【解析】(1)如右图所示；
(2)①由表格可知(2,4,4)为该抛物线的顶点，即水柱的最高点距离河面为4.4米，
由表格可知水柱在河面上的落点距喷水枪的水平距离约为4.5米，
故答案为：4.4，4.5；
②由抛物线的顶点为(2,4,4)，可设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+4.4，
把(0,1.6)代入y=a(x−2)2+4.4，
得a(0−2)2+4.4=1.6，
解得a=−0.7，
∴抛物线的解析式为y=−0.7(x−2)2+4.4；
(3)水枪高度至少向上调节0.423米，理由如下：
设水枪高度向上调节m米，
则此时抛物线的解析式为y=−0.7(x−2)2+4.4+m，
由游船宽度为3.4m，顶棚到河面的高度为2m，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8m，
当横坐标为2+3.42=3.7时，纵坐标的值y≥2+0.8=2.8，
∴−0.7(3.7−2)2+4.4+m≥2.8，
解得m≥0.423，
∴水枪高度至少向上调节0.423米．
(1)描点后即可画出函数图象；
(2)由图表数据即可得到结果；
(3)设水枪高度向上调节m米，则此时抛物线的解析式为y=−0.7(x−2)2+4.4+m，通过条件得到当横坐标为2+3.42=3.7时，纵坐标的值y≥2+0.8=2.8，列出不等式即可得到结果．
本题考查了画二次函数解析式，二次函数的顶点式，待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，本题的关键利用数形结合思想，通过游船的宽度和顶棚到河面的高度转化为不等式，从而解决问题．甲
乙
图例
方案
如图①是测试距离为5m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大视力表中“E”的高度(BC的长)，即可求出小视力表中相应的“E”的高度(DF的长)
使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN)，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN
水平距离x/m
0
1
2
3
4
4.5
…
竖直高度y/m
1.6
3.7
4.4
3.7
1.6
0.025
…