第1章 平行线单元测试(B卷提升篇）（浙教版）（解析版）

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第1章 平行线单元测试卷（B卷提升篇）【浙教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020春•恩平市期末）通过平移，可将图中的福娃“欢欢”移动到图（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C．【答案】解：∵平移不改变图形的形状和大小，而且图形上各点运动的方向和距离相等，∴选项C是福娃“欢欢”通过平移得到的．故选：C．【点睛】本题考查了生活中图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、B、D．2．（3分）（2020春•越城区校级期中）如图，已知AB∥DC，BD平分∠ABC，∠D＝72°，则∠C的度数为（　　）A．40° B．38° C．36° D．34°【思路点拨】根据平行线的性质以及角平分线的性质即可求解．【答案】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠D（两直线平行，内错角相等），∠ABD+∠DBC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠D＝72°，∴∠ABD＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝72°，∴∠C＝180°﹣∠ABD﹣∠DBC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的性质．本题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．3．（3分）（2020春•息县期末）如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3的度数为（　　）A．78° B．132° C．118° D．112°【思路点拨】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．【答案】解：延长直线，如图：，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣68°＝112°，∵∠2＝∠4+∠5，∵∠3＝∠4，∴∠2﹣∠3＝∠5＝112°，故选：D．【点睛】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．4．（3分）（2020春•老城区校级月考）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（　　）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④【思路点拨】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．【答案】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．5．（3分）（2020春•河东区期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（　　）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°【思路点拨】两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案．【答案】解：A、如图1：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴AB与CD不平行；故本选项错误；B、如图2：∵∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠1＝∠2，∴AB与CD平行；故本选项正确；C、如图3：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴∠1≠∠2，∴AB不平行CD；故本选项错误；D、如图4：∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠3＝140°，∴∠1≠∠3，∴AB与CD不平行；故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6．（3分）（2020春•柯桥区期中）如图，小敏在作业中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小敏的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．其依据是（　　）A．两直线平行，同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行【思路点拨】根据两直线平行，同位角相等求解．【答案】解：根据两直线平行，同位角相等得到直线a和直线b的夹角与直线b和直线PC的夹角相等．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．7．（3分）（2020•余杭区一模）如图，AB∥CD，点E是直线AB上的点，过点E的直线l交直线CD于点F，EG平分∠BEF交CD于点G．在直线l绕点E旋转的过程中，图中∠1，∠2的度数可以分别是（　　）A．30°，110° B．56°，70° C．70°，40° D．100°，40°【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等可得∠BEG，根据角平分线的定义得到∠BEF，根据邻补角互补求出∠2即可求解．【答案】解：A、∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠1＝30°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG＝60°．∴∠2＝180°﹣∠BEF＝120°，不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠1＝56°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG＝112°．∴∠2＝180°﹣∠BEF＝68°，不符合题意；C、∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠1＝70°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG＝140°．∴∠2＝180°﹣∠BEF＝40°，符合题意；D、∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠1＝100°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG＝200°．∴∠2＝360°﹣∠BEF＝160°，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及邻补角的性质，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．8．（3分）（2020春•乐清市期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（　　）A．54° B．55° C．56° D．57°【思路点拨】根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，所以可得∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可得EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，可得∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，进而可得∠FPG的度数．【答案】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可知：EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．9．（3分）（2020春•西湖区期末）如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（　　）A．45° B．50° C．55° D．60°【思路点拨】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM．【答案】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．∵AB∥CD，∴∠KSM＝∠CNP＝30°．∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF＝25°+90°＝115°．∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°＝60°．故选：D．【点睛】本题考查了邻补角、平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识点．利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键．10．（3分）（2020春•奉化区期中）如图1，∠DEF＝25°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕GF折叠成图3，则∠CFE的度数为（　　）A．105° B．115° C．130° D．155°【思路点拨】由矩形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE＝∠DEF＝25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．【答案】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝25°．由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE＝180°﹣3∠BFE．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2020春•杭州期末）如图，若l1∥l2，∠1＝66°，则∠2＝　114°　．【思路点拨】由l1∥l2，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠2的度数．【答案】解：∵l1∥l2，∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣66°＝114°．故答案为：114°．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．12．（4分）（2019春•西湖区校级月考）如图，若∠1＝70°，∠2＝34°，∠3＝36°，则直线a与直线b的位置关系为　a∥b　．【思路点拨】利用三角形的外角的性质求出∠4，由∠4＝∠1即可判断．【答案】解：∵∠4＝∠2+∠3，∠2＝34°，∠3＝36°，∴∠4＝34+36°＝70°，∵∠1＝70°，∴∠4＝∠1，∴a∥b．故答案为a∥b．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．（4分）（2020春•拱墅区期末）如图，将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置，若BF＝11，EC＝5，则A，D之间的距离为　3　．【思路点拨】根据平移的性质得AD＝BE＝CF，再利用BF＝BE+EC+CF可计算出BE，从而得到AD的长．【答案】解：∵三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置，∴AD＝BE＝CF，∵BF＝BE+EC+CF，∴BE＝（11﹣5）＝3，∴AD＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．14．（4分）（2020春•上虞区期末）如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，则∠AEC＝　90　度．【思路点拨】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，利用平行线的性质可得出∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD，∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD，由∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD可得出∠EAB＝∠FAB，∠ECD＝∠FCD，结合∠AEC＝∠AEM+∠CEM可得出∠AEC＝∠AFC，代入∠AFC＝120°即可求出∠AEC的度数．【答案】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，如图所示．∵EM∥AB，AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD．同理，可得：∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD．又∵∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，∴∠EAB＝∠FAB，∠ECD＝∠FCD．∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD＝（∠FAB+∠FCD）＝（∠AFN+∠CFN）＝∠AFC＝90°．故答案为：90．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．15．（4分）（2020春•德清县期中）如图a是长方形纸带，∠DEF＝16°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是　132°　．【思路点拨】先由矩形的性质得出∠BFE＝∠DEF＝16°，再根据折叠的性质得出∠CFG＝180°﹣2∠BFE，由∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG即可得出答案．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝16°，∴∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG＝180°﹣2∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣3×16°＝132°，故答案为：132°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．16．（4分）（2019春•西湖区校级月考）如图，将一副三角板按如图所示放置，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠C＝45°，∠E＝30°，则下列结论中：①∠1＝∠3＝45°；②若AD平分∠CAB，则有BC∥AE；③若AB平分∠DAE，则有BC∥AE；④若∠3＝2∠2，则∠C＝∠4；其中结论正确的选项有　②③④　．【思路点拨】①根据同角的余角相等得∠1＝∠3，但不一定得45°；②和③都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．【答案】解：①如图，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，即∠1+∠2＝∠3+∠2+90°；∴∠1＝∠3≠45°，故①不正确；②∵AD平分∠CAB∴∠1＝∠2＝45°，∵∠1＝∠3∴∠3＝45°，又∵∠C＝∠B＝45°，∴∠3＝∠B∴BC∥AE；故②正确；③∵AB平分∠DAE，∴∠2＝∠3＝45°∴∠3＝∠B，∴BC∥AE；故③正确；④∵∠3＝2∠2，∠1＝∠3，∴∠1＝2∠2，∠1+∠2＝90°，∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°，∴∠3＝60°，又∠E＝30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∴∠C＝∠4．故④正确．故答案为②③④．【点睛】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2020秋•太原期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？【思路点拨】（1）先根据CD∥EF得出∠2＝∠BCD，再由∠1＝∠2得出∠1＝∠BCD，进而可得出结论；（2）根据DG∥BC，∠3＝85°得出∠BCG的度数，再由∠DCE：∠DCG＝9：10得出∠DCE的度数，由DG是∠ADC的平分线可得出∠ADC的度数，由此得出结论．【答案】解：（1）DG∥BC．理由：∵CD∥EF，∴∠2＝∠BCD．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DG∥BC；（2）CD⊥AB．理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．∵∠DCE：∠DCG＝9：10，∴∠DCE＝95°×＝45°．∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，∴CD⊥AB．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理及角平分线的性质即可得出结论．18．（8分）（2020春•西湖区校级期中）如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1．（1）直接写出图中与∠A构成的同旁内角．（2）求证：DF∥AC．（3）若∠BDE+∠CDF＝215°，求∠B+∠C的值．【思路点拨】（1）根据同旁内角定义即可写出图中与∠A构成的同旁内角；（2）根据平行线的性质和∠A＝∠1．即可证明DF∥AC；（3）根据两直线平行，同旁内角互补和已知条件即可求出∠B+∠C的值．【答案】解：（1）与∠A构成的同旁内角：∠AFD，∠AED，∠B，∠C；（2）证明：∵DE∥AB，∴∠BFD＝∠1，∵∠A＝∠1，∴∠BFD＝∠A，∴DF∥AC；（3）∵DE∥AB，∴∠B+∠BDE＝180°，∵DF∥AC，∴∠CDF+∠C＝180°，∴∠B+∠BDE+∠CDF+∠C＝180°+180°，∵∠BDE+∠CDF＝215°，∴∠B+∠C＝145°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．19．（8分）（2020春•越城区期末）如图，点E在直线AB上，点B在直线CD上，若∠1＝∠2，∠C＝∠B，则∠3＝∠4，请说明理由．【思路点拨】求出∠1＝∠5，根据平行线的判定得出AF∥DE，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠4+∠A＝180°，∠4+∠A＝180°，再求出即可．【答案】解：理由是：∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，∴∠1＝∠5，∴AF∥DE，∴∠4+∠A＝180°，∵∠C＝∠B，∴AB∥CD，∴∠4+∠A＝180°，∴∠3＝∠4．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．20．（10分）（2020春•新昌县期末）如图，AD⊥AE，BC⊥AE，∠B＝∠D，点D，C，E在同一条直线上．（1）完成下面的说理过程．∵AD⊥AE，BC⊥AE（已知）∴∠1＝90°，∠2＝90°（垂直的定义）．∴∠1＝∠2∴AD∥BC，（　同位角相等，两直线平行　）．∴∠D＝∠BCE．（　两直线平行，同位角相等　）．又∠B＝∠D，∴∠B＝∠BCE，∴AB∥CD．（　内错角相等，两直线平行　）（2）若∠BAD＝150°，求∠E的度数．【思路点拨】（1）根据平行线的判定与性质进行解答即可；（2）求出∠BAE＝60°，由平行线的性质即可得出答案．【答案】解：（1）∵AD⊥AE，BC⊥AE，（已知），∴∠1＝90°，∠2＝90°，（垂直的定义）．∴∠1＝∠2，∴AD∥BC，（同位角相等，两直线平行），∴∠D＝∠BCE，（两直线平行，同位角相等），又∠B＝∠D，∴∠B＝∠BCE，∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行）．故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；（2）∵AD⊥AE，（已知），∴∠1＝90°，∵∠BAD＝150°，（已知），∴∠BAE＝∠BAD﹣∠1＝150°﹣90°＝60°，由（1）得：AB∥CD，∴∠E＝∠BAE＝60°．（两直线平行，内错角相等）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．21．（10分）（2020秋•松北区期末）如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB＝∠AOC，计算即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB＝∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC＝2∠OBC，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE＝∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【答案】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．22．（10分）（2020春•赣州期末）问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；结论应用（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于　60°﹣α　（用含α的式子表示）．【思路点拨】（1）依据AB∥CD，可得∠1＝∠EGD，再根据∠2＝2∠1，∠FGE＝60°，即可得出∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，进而得到∠1＝40°；（2）根据AB∥CD，可得∠AEG+∠CGE＝180°，再根据∠FEG+∠EGF＝90°，即可得到∠AEF+∠GFC＝90°；（3）依据AB∥CD，可得∠AEF+∠CFE＝180°，再根据∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，即可得到∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．【答案】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠GFC＝90°；（3）如图3，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．故答案为：60°﹣α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．23．（12分）（2020春•孟村县期末）如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝　110°　．（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由．（3）利用（2）的结论解答：①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由．②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B（用含β的代数式表示）．【思路点拨】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM＝∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；（2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP．（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答；②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．【答案】（1）证明：过P作PM∥CD，∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质）即∠APB＝∠DAP+∠FBP＝40°+70°＝110°．（2）结论：∠APB＝∠DAP+∠FBP．理由：见（1）中证明．（3）①结论：∠P＝2∠P1；理由：由（2）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠ADP1+∠FBP1，∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1，∴∠P＝2∠P1．②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP，∴∠AP2B＝∠CAP+∠EBP，＝（180°﹣∠DAP）+（180°﹣∠FBP），＝180°﹣（∠DAP+∠FBP），＝180°﹣∠APB，＝180°﹣β．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．