高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换教学设计及反思，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，新课讲解等内容，欢迎下载使用。

1．理解用向量的数量积证明两角差的余弦公式的过程，掌握用向量运算证明问题的方法，进一步体会向量方法的作用；
2. 熟练掌握两角和与差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为学习其它和（差）公式打好基础.
【教学重点】
应用两角和与差的余弦公式求值和证明.
【教学难点】
两角差余弦公式的推导.
【新课讲解】
一、复习回顾
同学们，在前面我们学习了单位圆的有关知识，下面我们一起来复习一下：
1.单位圆的定义：
在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆. 圆心为坐标原点，半径为1.
2.单位圆与角终边交点的坐标:
此时，
所以的坐标为
即：角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.
在前几节课我们还学习了向量数量积定义及坐标运算，下面我们一起复习一下：
3.向量数量积的定义：
一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积（也称为内积）记作，即.
向量数量积的坐标表示：
设，，则.
二、两角差的余弦公式探究
【问题】我们已经知道了，的正弦、余弦值，那么能否根据这些值求出的值呢？
因为，所以，因此大家可能会猜想
但这显然是不对的：一定大于，但上式右边小于.
在上面我们通过一个具体的例子发现，那么的值与，的哪些三角函数值有关呢？我们通过几个特殊的角来找一找？
令，则；
令，则；
令，则；
令，则.
发现：公式的结构形式应该与，，，均有关系.
下面利用单位圆以及向量的数量积来进行探究.
证明：如图所示，在平面直角坐标系中，设，的终边与单位圆的交点分别是，，则，，因此，.
从而有.
另一方面，由上图可知，存在，
使得或，
因此，又因为，所以
.
故.
这就是两角差的余弦公式，通常简记为.
利用可知，
.
当然，的值也可借助与来求，即
.
【小结】
我们证明了两角差的余弦公式：
.
公式的特点：（1）此公式对，取任意角都成立；
（2）公式中右边有两项，中间符号与左边两角间符号相反.
三、实例应用
【例1】利用证明以下诱导公式.
（1）；
（2）.
证明：（1）由可知
.
（2）由可知
.
借助以及诱导公式可以得到两角和的余弦公式.
因为，所以
.
即：.
类似的，利用可以证明.
由此，我们得到了两角和与差的余弦公式：
【小结】
总结一下这两个公式的特点：
（1）此公式对，取任意角都成立；
（2）公式中右边有两项，中间符号与左边两角间符号相反，两项排列顺序是，，可以用口诀“余余正正，加减相反”来辅助记忆公式.
（3）和（差）角公式可以看成诱导公式的推广，诱导公式可以看成和（差）角公式的特例. 当，中有一个角是的整数倍时，用诱导公式更为方便.
【例2】求和的值.
解：
；
.
【小结】
例2是两角和与差的余弦公式的直接应用，一个角可以有多种组合，比如除了表示成，还可以表示成，但是在实际计算时建议大家利用常用的三角函数值.
本题中在先计算出的值时，还可以利用诱导公式来计算的值.
【例3】已知，其中，求，.
解：因为且，所以.
因此；
.
【小结】
在由求时，要注意角的范围，避免出现增解.
【例4】求的值.
解：.
【变式1】求的值.
解：
.
【变式2】求的值.
解：
.
【小结】
上面两个题都是两角和与差的余弦公式的反用，在使用时要注意公式的结构是“余余正正”，而且公式中只出现了两个角.如果题目中出现了多个角的时候，需要用诱导公式把角变过来.
四、课堂小结
1.本节课我们学习了两角和与差的余弦公式：
2.利用公式我们可以求一些非特殊角的三角函数值，要学会灵活运用公式.