第二十七章相似复习课件

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第二十七章 相似章末复习主讲人：数学可以很简单①相似多边形： 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 ②相似三角形 对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似。①通过定义②平行于三角形一边的直线③三边成比例④两边成比例且夹角相等⑤两角分别相等⑥两直角三角形的斜边和一条直角边成比例①对应角相等、对应边成比例②对应高、中线、角平分线的比等于相似比③周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方①测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.②测距①定义： 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比)②性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 对应线段平行或者在 一条直线上.③位似的应用能将一个图形放大或缩小④平面直角坐标系中的位似当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.1.如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形，求它们的相似比并找出位似中心.O.1∶2O.O.2∶14∶1 3.△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4). 以原点O为位似中心，将△ABC缩小得到△DEF，使△DEF与△ABC对应边的比为1:2，这时△DEF各个顶点的坐标分别是多少？D′(1，1)，E′(2，1)，F′(3，2)或 D″(-1，-1)，E″(-2，-1)，F″(-3，-2)4.如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心.（1）哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？（2）正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比.（3）正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？3:22:1A′(0，1.5)，B′(2，0)，C′(2，1.5)。A′(0，-1.5)，B′(-2，0)，C′(-2，-1.5)。6.如图，图中的图案与“A”字图案(虚线图案)相比，发生了什么变化？对应点的坐标之间有什么关系？ （1）纵坐标不变，横坐标扩大一倍。 （2）横坐标不变，纵坐标扩大一倍。7.如图，以点Q为位似中心，画出与矩形MNPQ的相似比为0.75的一个图形。QPMNN′M′P′P″N″M″8. 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂足为 P，求证：PC2 ＝ PA · PB.B证明：连接AC，BC.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴ ∠A + ∠B = 90°.又 ∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∠PCB＋∠B＝90°.又 ∠A＝∠CPB，∴ △APC ∽△CPB.∴ PC2 = AP · PB.9.如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ABCDEFGH解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC上，△ABC 的高 AD 与边EF 相交于点 M，设正方形的边长为 x mm.M∵ EF//BC，∴△AEF∽△ABC，又∵ AM＝AD－MD＝80－x，解得 x = 48.即这个正方形零件的边长是 48 mm. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线， ∴∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED．10.如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.(1) 求证：△ABD ∽△CED；(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6， ∴ AM＝CM＝3. ∵ AD ＝ 2CD， ∴CD＝2，AD＝4， MD＝1.M由(1) △ABD ∽△CED得，证明：连接AD，∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，∴∠DAC=∠EBC.∵AC 是 ⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC =180°－(∠EBC+∠DCA)=90°，∴AC⊥BH.11.已知：在 △ABC 中，以 AC 边为直径的 ⊙O 交BC 于点 D，在劣弧上取一点 E 使 ∠EBC =∠DEC，延长 BE 依次交 AC 于点 G，交 ⊙O 于 H．(1) 求证：AC⊥BH；(2) 若 ∠ABC=45°，⊙O 的直径等于 10，BD = 8， 求 CE 的长．解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴ BD = AD.∵ BD = 8，∴ AD = 8.在 Rt△ADC中，AD = 8，AC = 10，由勾股定理得 DC = 6，则 BC = BD + DC = 14.∵∠EBC = ∠DEC，∠BCE = ∠ECD，∴△BCE∽△ECD，∴BC : CE = CE : CD，即 CE2 = BC · CD =14×6 = 84，∴ CE = 2. 12.如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB的长．解：如图，CD＝3.6m， ∵△BDC∽△FGE，∴ BC＝6m.在 Rt△ABC 中，∵ ∠A＝30°，∴ AB＝2BC＝12 m，即树长 AB 是 12 m. 13.如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？解：∵∠ABO=∠CDO=90°， ∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD.解得 CD = 5.4m.故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方．14. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为 ，面积比为 . C4 : 316 : 915. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6，3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则点 B′ 的坐标为 .(4，－3)16. 找出下列图形的位似中心.17. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. ABC(1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3.OA′B′C′解：如图所示.(2) 线段 AA′ 的长度是 .