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浙江省温州市瓯海区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份浙江省温州市瓯海区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）以下列各组数为边能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．3，3，5D．2，6，3
2．（3分）如图是2022北京冬奥会图标，下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）生活中，如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
A．稳定性B．全等性C．灵活性D．对称性
4．（3分）如图，已知：∠ABD＝∠CBD，要说明△ABD≌△CBD，需添加的条件不能是（ ）更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A．AB＝BCB．∠ADB＝∠CDBC．∠A＝∠CD．AD＝CD
5．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠2＝78°，则∠1的度数为（ ）
A．.30°B．.33°C．.35°D．.22°
6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝45°B．∠1＝40°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1＝40°，∠2＝40°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线DE交AB、BC分别于点N、M，若AC＝1，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．D．
8．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，则∠D应调整为（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
9．（3分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，C三点都在小正方形方格的顶点上，则AB边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，分别在DG，BE上取点Q，P，使得DQ＝BP＝EF，得四边形APCQ．若大正方形ABCD的边长为，且HP+BH＝12，设四边形APCQ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．（3分）已知等腰三角形的两边为3、6，则该等腰三角形的周长为 ．
13．（3分）如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 ．
14．（3分）如图，AB＝AC＝13，AD⊥BC于D，AD＝12，则BC＝ ．
15．（3分）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，EF过P点且与AB垂直，交AB于点F，交CD于点E，已知点P到AC的距离为3cm，则EF＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，在AD上取点F，使得BF＝AC＝10，DF＝CD＝6，连接BF并延长交AC于点E，则BE＝ ．
17．（3分）如图，已知一张等腰三角形纸片ABC，AB＝BC，小林同学将其剪成4个等腰三角形，且AE＝EF，DE＝DF＝BF，BD＝CD，则∠A＝ °．
18．（3分）如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 cm．
三、解答题（本题有5小题，共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤）
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．
20．（8分）在如图的5×5的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，△ABC的顶点均在格点上，请按要求作格点图形．
（1）在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得△APC与△ABC全等．
（2）在图（乙）中，在AC右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使△ACG为等腰三角形且GA＝GC．
21．（10分）如图：等腰△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，作AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠E＝25°，∠EAC＝100°，点F是BC的中点，连接AF，求∠BAF的度数．
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P是边AB上一个动点，将△ACP沿CP对折得△A'CP．
（1）则AC的长为 ．
（2）①当P是AB中点时，求证：∠CPB＝2∠A'；
②当AP的长为多少时，A′P与△ABC的一边平行？
（3）设A′C与线段AB相交于点D，当CD＝CB时，则的值为 （直接写出答案）．
2023-2024学年浙江省温州市瓯海区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）以下列各组数为边能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．3，3，5D．2，6，3
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不合题意；
B、2+1＝3＜4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+3＝6＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、3+2＝5＜6，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．（3分）如图是2022北京冬奥会图标，下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）生活中，如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
A．稳定性B．全等性C．灵活性D．对称性
【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性．
【解答】解：这是利用了三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】主要考查了三角形的性质中的稳定性，关键是根据三角形的稳定性解答．
4．（3分）如图，已知：∠ABD＝∠CBD，要说明△ABD≌△CBD，需添加的条件不能是（ ）
A．AB＝BCB．∠ADB＝∠CDBC．∠A＝∠CD．AD＝CD
【分析】由于∠ABD＝∠CBD，BD为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴当添加AB＝CB时，△ABD≌△CBD（SAS），所以A选项不符合题意；
当添加∠ADB＝∠CDB时，△ABD≌△CBD（ASA），所以B选项不符合题意；
当添加∠A＝∠C时，△ABD≌△CBD（AAS），所以C选项不符合题意；
当添加AD＝CD时，不能判断△ABD≌△CBD，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
5．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠2＝78°，则∠1的度数为（ ）
A．.30°B．.33°C．.35°D．.22°
【分析】设BC与n的交点为D，根据三角形的外角性质可得∠2＝3＝∠1+∠B＝78°，解出∠1即可．
【解答】解：如图：
∵m∥n，
∴∠3＝∠2＝78°，
∵∠3＝∠1+∠B，
∴∠1＝∠3﹣∠B＝78°﹣45°＝33°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝45°B．∠1＝40°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可．
【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠1+∠2＝90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意；
B、∠1＝40°，∠2＝50°满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；
C、∠1＝50°，∠2＝50°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；
D、∠1＝40°，∠2＝40°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；
故选：A．
【点评】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线DE交AB、BC分别于点N、M，若AC＝1，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】连接AM，由作图可知，DE是AB的垂直平分线，有AM＝BM，故∠BAM＝∠B＝15°，∠AMC＝30°，可得AM＝2＝BM，CM＝＝，从而BC＝CM+BM＝+2．
【解答】解：连接AM，如图：
由作图可知，DE是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴∠BAM＝∠B＝15°，
∴∠AMC＝30°，
∵∠C＝90°，AC＝1，
∴AM＝2＝BM，CM＝＝，
∴BC＝CM+BM＝+2，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是根据已知得到DE是AB的垂直平分线，从而AM＝BM．
8．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，则∠D应调整为（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【分析】延长EF交BD于H，利用“8”字形求出∠EHC，利用外角的性质得到∠EFD＝∠D+∠DHF，由此求出∠D的度数，进而得到答案．
【解答】解：延长EF交BD于H，
∵∠CAB+∠CBA＝∠E+∠EHC，
∴∠EHC＝50°+60°﹣30°＝80°，
∴∠DHF＝180°﹣∠EHC＝100°，
∵∠D＝∠EFD﹣∠DHF＝∠EFD＝∠D+∠DHF＝130°，
∴∠D＝30°，
故选：A．
【点评】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键．
9．（3分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，C三点都在小正方形方格的顶点上，则AB边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用网格的特征和勾股定理求得△ABC的面积和线段AB的长度，再利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：△ABC的面积＝3×4﹣2×24×13×3＝2＝5，
AB＝＝，
设AB边上的高为h，
∴AB•h＝5，
∴h＝5，
∴h＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，分母有理化，本题是网格题，熟练掌握勾股定理和网格特征是解题的关键．
10．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，分别在DG，BE上取点Q，P，使得DQ＝BP＝EF，得四边形APCQ．若大正方形ABCD的边长为，且HP+BH＝12，设四边形APCQ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设四个全等的直角三角形的两直角边长为a，b，则由大正方形ABCD的边长为，且HP+BH＝12，可求出a，b，再求出S1，S2，即可解决问题．
【解答】解：设四个全等的直角三角形的两直角边长为a，b（不妨设a＜b），
∴DQ＝BP＝EF＝b﹣a，HP＝b﹣（b﹣a）＝a，
∵正方形ABCD的边长为，
∴a2+b2＝74，①
∵HP+BH＝12，
∴a+b＝12，②
解①②得：a＝5，b＝7，或a＝7，b＝5（舍去），
∴PH＝CH＝5，QG＝DG﹣DQ＝5﹣（7﹣5）＝3，CG＝7，EF＝7﹣5＝2，
∴四边形APCQ的面积为S1＝2×PH•CH+2×QG•CG+EF2＝52+3×7+22＝50，
正方形ABCD的面积为S2＝74，
∴＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解方程组，面积的计算，弄清图中个量间的关系是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 真 命题．（填“真”或“假”）
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．（3分）已知等腰三角形的两边为3、6，则该等腰三角形的周长为 15 ．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和6，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
当3为腰时，其它两边为3和6，因为3+3＝6，所以不能构成三角形，故舍去．
所以答案只有15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
13．（3分）如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 76° ．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝36°，根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠A＝∠D＝36°，
∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED＝∠B+∠D＝40°+36°＝76°．
故答案为：76°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
14．（3分）如图，AB＝AC＝13，AD⊥BC于D，AD＝12，则BC＝ 10 ．
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得BC＝2BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝5，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
在Rt△ABD中，AD＝12，
∴BD＝＝＝5，
∴BC＝2BD＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，EF过P点且与AB垂直，交AB于点F，交CD于点E，已知点P到AC的距离为3cm，则EF＝ 6cm ．
【分析】先过点P作PG⊥AC，然后根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，证明PG＝PF，同理再证明PE＝PG，最后根据EF＝PF+PE，求出答案即可．
【解答】解：如图所示：过点P作PG⊥AC于点G，
∵点P到AC的距离为3cm，
∴GP＝3cm，
∵EF⊥AB，
∴∠AFP＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CEP+∠AFP＝180°，
∴∠CEP＝180°﹣∠AFP＝90°，
∴PE⊥CD，
∵AP平分∠BAC，EF⊥AB，PG⊥AC，
∴PF＝PG＝3cm，
∵CP平分∠ACD，PE⊥CD，PG⊥AC，
∴PE＝PG＝3cm，
∴EF＝PF+PE＝3+3＝6cm，
故答案为：6cm．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线和平行线的性质．
16．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，在AD上取点F，使得BF＝AC＝10，DF＝CD＝6，连接BF并延长交AC于点E，则BE＝ ．
【分析】由勾股定理可求出BD的长，由HL证明Rt△ACD≌Rt△BFD，得到AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，证明出BE是AC边上的高，再利用面积法可求出BE的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
在Rt△BFD中，
∵BF＝10，DF＝6，
∴由勾股定理，得BD＝＝＝8，
在Rt△ACD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL），
∴AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°，
∵，
BC＝BD+DC＝8+6＝14，AD＝BD＝8，AC＝10，
∴BE＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，面积法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（3分）如图，已知一张等腰三角形纸片ABC，AB＝BC，小林同学将其剪成4个等腰三角形，且AE＝EF，DE＝DF＝BF，BD＝CD，则∠A＝ 30 °．
【分析】设∠A＝x，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝∠AFE＝x，∠C＝∠DBC＝x，再利用三角形的外角性质可得∠DEF＝2x，∠ADB＝2x，然后利用等腰三角形的性质可得∠DEF＝∠DFE＝2x，从而利用三角形内角和定理可得∠EDF＝180°﹣4x，进而可得∠FDB＝6x﹣180°，最后利用等腰三角形的性质可得∠FBD＝∠FDB＝6x﹣180°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝x，
∵BD＝CD，AE＝EF，
∴∠A＝∠AFE＝x，∠C＝∠DBC＝x，
∵∠DEF是△AEF的一个外角，∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠DEF＝∠A+∠AFE＝2x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝2x，
∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣4x，
∴∠FDB＝∠ADB﹣∠EDF＝2x﹣（180°﹣4x）＝6x﹣180°，
∵FB＝FD，
∴∠FBD＝∠FDB＝6x﹣180°，
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴∠A+∠C+∠ABD+∠DBC＝180°，
∴x+x+6x﹣180°+x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角的计算，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18．（3分）如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 cm．
【分析】先求出AE，OM，当支架调至E档时，可利用勾股定理求出AM，进而得到OE，M'E，过点M'作M'H⊥OA，利用勾股定理表示出M'H2列方程求出OH，进而可求出M'H即可．
【解答】解：由题意可知：MA＝M'E＝OE，AM⊥OK，AE＝8cm，
∵有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，
∴AE＝8cm，
∵OK＝24cm，OM＝2MK，
∴OM＝OM'＝16cm，
设MA＝M'E＝OE＝x cm，则OA＝（x+8）cm，
在Rt△OAM中，
由勾股定理，得OA2＝MA2+OM2，
即（x+8）2＝x2+162，
解得x＝12，
∴MA＝M'E＝OE＝12cm，
过点M'作M'H⊥OA，
设OH＝y cm，则EH＝（12﹣y）cm，
由勾股定理，得M'H2＝OM'2﹣OH2＝M'E2﹣EH2，
即162﹣y2＝122﹣（12﹣y）2，
解得y＝，
∴M'H＝＝＝（cm）．
答：支点M″到OA的距离为cm．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，灵活运用勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本题有5小题，共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤）
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．
【分析】利用SAS证得△ACD≌△ABD，从而证得BD＝CD，利用等边对等角证得结论即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，特别是在应用SAS进行判定三角形全等时，主要A为两边的夹角．
20．（8分）在如图的5×5的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，△ABC的顶点均在格点上，请按要求作格点图形．
（1）在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得△APC与△ABC全等．
（2）在图（乙）中，在AC右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使△ACG为等腰三角形且GA＝GC．
【分析】（1）根据全等三角形的判定可确定点P的位置．
（2）连接DE，可知DE为线段AC的垂直平分线，则DE所经过的AC右侧的小正三角形顶点即为所求的点G．
【解答】解：（1）如图（甲），取格点P1，P2，P3，连接CP1，AP2，AP3，
∵AB＝AP1，∠BAC＝∠P1AC＝60°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AP1C（SAS）．
∵AB＝CP2，∠BAC＝∠P2CA＝60°，AC＝CA，
∴△ABC≌△CP2A（SAS）．
∵AB＝CP3，∠BAC＝∠P3CA＝60°，AC＝CA，
∴△ABC≌△CP3A（SAS）．
则点P1，P2，P3均满足题意．
（2）如图（乙），连接DE，
由题意可知，AD＝CD＝CE＝AE，
∴四边形ADCE为菱形，
∴DE垂直平分AC．
取DE所经过的AC右侧的小正三角形顶点G1，G2，
由线段垂直平分线的性质可知，G1A＝G1C，G2A＝G2C．
则点G1，G2均满足题意．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、全等三角形的判定、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等相关知识点是解答本题的关键．
21．（10分）如图：等腰△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，作AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠E＝25°，∠EAC＝100°，点F是BC的中点，连接AF，求∠BAF的度数．
【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC得到∠CAE＝∠BAD，再利用SAS即可证明△ABD≌△ACE；
（2）由已知条件可求出∠ACE，从而得到∠B的度数，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，从而可利用三角形内角和定理求出∠BAF的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵∠E＝25°，∠EAC＝100°，
∴∠ACE＝180°﹣∠E﹣∠EAC＝55°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE＝55°，
∴AB＝AC，点F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴∠BAF＝90°﹣∠B＝35°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务
【分析】（1）利用SSS证明△ADE≌△ADF即可得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于点G，求出AD的长，即可利用DD'＝AD'﹣AD求出答案；
（3）设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，先求出BO，可得NG，再求出MN，进而可求出QG，即为问题的答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠EAD＝∠FAD，
∴AP是∠BAC的角平分线；
（2）解：∵AD′＝50cm，AE＝20cm，
∴DE＝DE'＝30cm，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAD＝60°，
过点E作EG⊥AD于点G，如图，
在Rt△AEG中，
AG＝AE•cs∠EAG＝20•cs60°＝10（cm），
EG＝AE•sin∠EAG＝20•sin60°＝10（cm），
在Rt△DEG中，
由勾股定理，得DG＝＝＝≈24.5（cm），
∴AD＝AG+DG＝34.5（cm），
∴DD'＝AD'﹣AD＝50﹣34.5＝15.5（cm），
答：当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D移动的距离为15.5cm；
（3）解：设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，如图，
在Rt△ABO中，
AB＝3AE＝60cm，∠BAO＝60°，
∴BO＝AB•sin∠BAO＝60•sin60°＝30（cm），
∴NG＝BO＝30cm，
在Rt△BMN中，
BN＝150cm，∠BMN＝60°，
∴MN＝＝＝50（cm），
∴MG＝MN﹣NG＝50﹣30＝20（cm），
在Rt△QGM中，
QG＝MG•tan60°＝20•＝60cm，
故答案为：60．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P是边AB上一个动点，将△ACP沿CP对折得△A'CP．
（1）则AC的长为 8 ．
（2）①当P是AB中点时，求证：∠CPB＝2∠A'；
②当AP的长为多少时，A′P与△ABC的一边平行？
（3）设A′C与线段AB相交于点D，当CD＝CB时，则的值为 （直接写出答案）．
【分析】（1）根据勾股定理得出AC即可；
（2）①根据直角三角形的性质得出AP＝PC＝PB，进而利用翻折的性质证明即可；
②分两种情况AP'∥BC和AP'∥AC，利用勾股定理和翻折的性质得出方程解答即可；
（3）利用勾股定理和翻折的性质得出方程解答即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
由勾股定理得，AC＝，
故答案为：8；
（2）①∵∠C＝90°，P是AB中点，
∴AP＝PC＝PB，
∴∠A＝∠ACP，
∴∠CPB＝2∠A，
由翻折的性质得，∠A＝∠A'，
∴∠CPB＝2∠A'；
②∵A′P与△ABC的一边平行，
当A'P∥AB时，因为两条直线都过A点，所以此种情况不存在；
当A'P∥BC时，如图，
A'C交AB于点O，
∵A'P∥BC，
∴∠A'＝∠A'CB，
∵∠A＝∠A'，∠A+∠B＝90°，
∴∠A'CB+∠B＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴AB⊥A'C，
∴∠COB＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△COB∽△ACB，
∴，
即，
解得：OC＝4.8，OB＝3.6，
由翻折的性质可得，A'C＝AC＝8，设AP＝A'P＝x，
∴OA'＝8﹣4.8＝3.2，OP＝10﹣3.6﹣x＝6.4﹣x，
在Rt△A'PO中，A'P2＝OP2+OA'2，
即x2＝3.22+（6.4﹣x）2，
解得：x＝4，
即AP＝4，
当A'P∥AC时，如图，
A'P交BC于点O，
∵A'P∥AC，
∴∠A'PB＝∠A，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A'PB+∠B＝90°，
∴∠POB＝90°，
∴BC⊥A'P，
∴∠A'OC＝∠POB＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A'，
∴△A'OC∽△ACB，
∴，
即，
解得：OA'＝6.4，OC＝4.8，
由翻折的性质可得，A'C＝AC＝8，设AP＝A'P＝x，
∴PB＝10﹣x，OP＝x﹣6.4，OB＝6﹣4.8＝1.2，
在Rt△POB中，PB2＝PO2+OB2，
即（10﹣x）2＝（x﹣6.4）2+1.22，
解得：x＝8，
即AP＝8，
综上所述，AP的值为4或8；
（3）如图，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵CD＝CB，
∴∠B＝∠CDB，
∴∠A'DP＝∠CDB＝∠B，
由翻折可知，∠A＝∠A'，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A'+∠A'DP＝90°，
∴A'P⊥AB，
∵CD＝CB＝6，AC＝A'C＝6，
∴A'D＝8﹣6＝2，
∵∠A＝∠A'，∠A'PD＝∠ACB，
∴△A'PD∽△ACB，
∴，
∴，
∴A'P＝，
∴AP＝，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣，
∴，
故答案为：．
【点评】此题是相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理，关键是利用勾股定理和翻折的性质得出方程解答．探究纸伞中的数学问题
素材1
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC，且AE＝AB，AF＝AC，D点为伞圈，DE＝DF．
素材2
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A、E、D′三点共线，测得AD′＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示．（参考值：≈24.5）
素材3
项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D点的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．
问题解决
任务1
判断AP位置
求证：AP是∠BAC的角平分线．
任务2
探究伞圈移动距离
当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离．
任务3
拟定撑伞方案
求伞至少向下移动距离 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
探究纸伞中的数学问题
素材1
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC，且AE＝AB，AF＝AC，D点为伞圈，DE＝DF．
素材2
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A、E、D′三点共线，测得AD′＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示．（参考值：≈24.5）
素材3
项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D点的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．
问题解决
任务1
判断AP位置
求证：AP是∠BAC的角平分线．
任务2
探究伞圈移动距离
当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离．
任务3
拟定撑伞方案
求伞至少向下移动距离 60 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
1．（3分）以下列各组数为边能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．3，3，5D．2，6，3
2．（3分）如图是2022北京冬奥会图标，下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）生活中，如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
A．稳定性B．全等性C．灵活性D．对称性
4．（3分）如图，已知：∠ABD＝∠CBD，要说明△ABD≌△CBD，需添加的条件不能是（ ）更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A．AB＝BCB．∠ADB＝∠CDBC．∠A＝∠CD．AD＝CD
5．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠2＝78°，则∠1的度数为（ ）
A．.30°B．.33°C．.35°D．.22°
6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝45°B．∠1＝40°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1＝40°，∠2＝40°
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线DE交AB、BC分别于点N、M，若AC＝1，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．D．
8．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，则∠D应调整为（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
9．（3分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，C三点都在小正方形方格的顶点上，则AB边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，分别在DG，BE上取点Q，P，使得DQ＝BP＝EF，得四边形APCQ．若大正方形ABCD的边长为，且HP+BH＝12，设四边形APCQ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．（3分）已知等腰三角形的两边为3、6，则该等腰三角形的周长为 ．
13．（3分）如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 ．
14．（3分）如图，AB＝AC＝13，AD⊥BC于D，AD＝12，则BC＝ ．
15．（3分）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，EF过P点且与AB垂直，交AB于点F，交CD于点E，已知点P到AC的距离为3cm，则EF＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，在AD上取点F，使得BF＝AC＝10，DF＝CD＝6，连接BF并延长交AC于点E，则BE＝ ．
17．（3分）如图，已知一张等腰三角形纸片ABC，AB＝BC，小林同学将其剪成4个等腰三角形，且AE＝EF，DE＝DF＝BF，BD＝CD，则∠A＝ °．
18．（3分）如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 cm．
三、解答题（本题有5小题，共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤）
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．
20．（8分）在如图的5×5的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，△ABC的顶点均在格点上，请按要求作格点图形．
（1）在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得△APC与△ABC全等．
（2）在图（乙）中，在AC右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使△ACG为等腰三角形且GA＝GC．
21．（10分）如图：等腰△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，作AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠E＝25°，∠EAC＝100°，点F是BC的中点，连接AF，求∠BAF的度数．
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P是边AB上一个动点，将△ACP沿CP对折得△A'CP．
（1）则AC的长为 ．
（2）①当P是AB中点时，求证：∠CPB＝2∠A'；
②当AP的长为多少时，A′P与△ABC的一边平行？
（3）设A′C与线段AB相交于点D，当CD＝CB时，则的值为 （直接写出答案）．
2023-2024学年浙江省温州市瓯海区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）以下列各组数为边能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．3，3，5D．2，6，3
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不合题意；
B、2+1＝3＜4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+3＝6＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、3+2＝5＜6，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．（3分）如图是2022北京冬奥会图标，下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）生活中，如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
A．稳定性B．全等性C．灵活性D．对称性
【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性．
【解答】解：这是利用了三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】主要考查了三角形的性质中的稳定性，关键是根据三角形的稳定性解答．
4．（3分）如图，已知：∠ABD＝∠CBD，要说明△ABD≌△CBD，需添加的条件不能是（ ）
A．AB＝BCB．∠ADB＝∠CDBC．∠A＝∠CD．AD＝CD
【分析】由于∠ABD＝∠CBD，BD为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴当添加AB＝CB时，△ABD≌△CBD（SAS），所以A选项不符合题意；
当添加∠ADB＝∠CDB时，△ABD≌△CBD（ASA），所以B选项不符合题意；
当添加∠A＝∠C时，△ABD≌△CBD（AAS），所以C选项不符合题意；
当添加AD＝CD时，不能判断△ABD≌△CBD，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
5．（3分）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠2＝78°，则∠1的度数为（ ）
A．.30°B．.33°C．.35°D．.22°
【分析】设BC与n的交点为D，根据三角形的外角性质可得∠2＝3＝∠1+∠B＝78°，解出∠1即可．
【解答】解：如图：
∵m∥n，
∴∠3＝∠2＝78°，
∵∠3＝∠1+∠B，
∴∠1＝∠3﹣∠B＝78°﹣45°＝33°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
6．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝∠2＝45°B．∠1＝40°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可．
【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠1+∠2＝90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意；
B、∠1＝40°，∠2＝50°满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；
C、∠1＝50°，∠2＝50°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；
D、∠1＝40°，∠2＝40°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；
故选：A．
【点评】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线DE交AB、BC分别于点N、M，若AC＝1，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】连接AM，由作图可知，DE是AB的垂直平分线，有AM＝BM，故∠BAM＝∠B＝15°，∠AMC＝30°，可得AM＝2＝BM，CM＝＝，从而BC＝CM+BM＝+2．
【解答】解：连接AM，如图：
由作图可知，DE是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴∠BAM＝∠B＝15°，
∴∠AMC＝30°，
∵∠C＝90°，AC＝1，
∴AM＝2＝BM，CM＝＝，
∴BC＝CM+BM＝+2，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是根据已知得到DE是AB的垂直平分线，从而AM＝BM．
8．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，则∠D应调整为（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【分析】延长EF交BD于H，利用“8”字形求出∠EHC，利用外角的性质得到∠EFD＝∠D+∠DHF，由此求出∠D的度数，进而得到答案．
【解答】解：延长EF交BD于H，
∵∠CAB+∠CBA＝∠E+∠EHC，
∴∠EHC＝50°+60°﹣30°＝80°，
∴∠DHF＝180°﹣∠EHC＝100°，
∵∠D＝∠EFD﹣∠DHF＝∠EFD＝∠D+∠DHF＝130°，
∴∠D＝30°，
故选：A．
【点评】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键．
9．（3分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，C三点都在小正方形方格的顶点上，则AB边上的高等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用网格的特征和勾股定理求得△ABC的面积和线段AB的长度，再利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：△ABC的面积＝3×4﹣2×24×13×3＝2＝5，
AB＝＝，
设AB边上的高为h，
∴AB•h＝5，
∴h＝5，
∴h＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，分母有理化，本题是网格题，熟练掌握勾股定理和网格特征是解题的关键．
10．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，分别在DG，BE上取点Q，P，使得DQ＝BP＝EF，得四边形APCQ．若大正方形ABCD的边长为，且HP+BH＝12，设四边形APCQ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设四个全等的直角三角形的两直角边长为a，b，则由大正方形ABCD的边长为，且HP+BH＝12，可求出a，b，再求出S1，S2，即可解决问题．
【解答】解：设四个全等的直角三角形的两直角边长为a，b（不妨设a＜b），
∴DQ＝BP＝EF＝b﹣a，HP＝b﹣（b﹣a）＝a，
∵正方形ABCD的边长为，
∴a2+b2＝74，①
∵HP+BH＝12，
∴a+b＝12，②
解①②得：a＝5，b＝7，或a＝7，b＝5（舍去），
∴PH＝CH＝5，QG＝DG﹣DQ＝5﹣（7﹣5）＝3，CG＝7，EF＝7﹣5＝2，
∴四边形APCQ的面积为S1＝2×PH•CH+2×QG•CG+EF2＝52+3×7+22＝50，
正方形ABCD的面积为S2＝74，
∴＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解方程组，面积的计算，弄清图中个量间的关系是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 真 命题．（填“真”或“假”）
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．（3分）已知等腰三角形的两边为3、6，则该等腰三角形的周长为 15 ．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为3和6，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
当3为腰时，其它两边为3和6，因为3+3＝6，所以不能构成三角形，故舍去．
所以答案只有15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
13．（3分）如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 76° ．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝36°，根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠A＝∠D＝36°，
∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED＝∠B+∠D＝40°+36°＝76°．
故答案为：76°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
14．（3分）如图，AB＝AC＝13，AD⊥BC于D，AD＝12，则BC＝ 10 ．
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得BC＝2BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝5，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
在Rt△ABD中，AD＝12，
∴BD＝＝＝5，
∴BC＝2BD＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，EF过P点且与AB垂直，交AB于点F，交CD于点E，已知点P到AC的距离为3cm，则EF＝ 6cm ．
【分析】先过点P作PG⊥AC，然后根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，证明PG＝PF，同理再证明PE＝PG，最后根据EF＝PF+PE，求出答案即可．
【解答】解：如图所示：过点P作PG⊥AC于点G，
∵点P到AC的距离为3cm，
∴GP＝3cm，
∵EF⊥AB，
∴∠AFP＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CEP+∠AFP＝180°，
∴∠CEP＝180°﹣∠AFP＝90°，
∴PE⊥CD，
∵AP平分∠BAC，EF⊥AB，PG⊥AC，
∴PF＝PG＝3cm，
∵CP平分∠ACD，PE⊥CD，PG⊥AC，
∴PE＝PG＝3cm，
∴EF＝PF+PE＝3+3＝6cm，
故答案为：6cm．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线和平行线的性质．
16．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，在AD上取点F，使得BF＝AC＝10，DF＝CD＝6，连接BF并延长交AC于点E，则BE＝ ．
【分析】由勾股定理可求出BD的长，由HL证明Rt△ACD≌Rt△BFD，得到AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，证明出BE是AC边上的高，再利用面积法可求出BE的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
在Rt△BFD中，
∵BF＝10，DF＝6，
∴由勾股定理，得BD＝＝＝8，
在Rt△ACD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL），
∴AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°，
∵，
BC＝BD+DC＝8+6＝14，AD＝BD＝8，AC＝10，
∴BE＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，面积法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（3分）如图，已知一张等腰三角形纸片ABC，AB＝BC，小林同学将其剪成4个等腰三角形，且AE＝EF，DE＝DF＝BF，BD＝CD，则∠A＝ 30 °．
【分析】设∠A＝x，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝∠AFE＝x，∠C＝∠DBC＝x，再利用三角形的外角性质可得∠DEF＝2x，∠ADB＝2x，然后利用等腰三角形的性质可得∠DEF＝∠DFE＝2x，从而利用三角形内角和定理可得∠EDF＝180°﹣4x，进而可得∠FDB＝6x﹣180°，最后利用等腰三角形的性质可得∠FBD＝∠FDB＝6x﹣180°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：设∠A＝x，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝x，
∵BD＝CD，AE＝EF，
∴∠A＝∠AFE＝x，∠C＝∠DBC＝x，
∵∠DEF是△AEF的一个外角，∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠DEF＝∠A+∠AFE＝2x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝2x，
∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣4x，
∴∠FDB＝∠ADB﹣∠EDF＝2x﹣（180°﹣4x）＝6x﹣180°，
∵FB＝FD，
∴∠FBD＝∠FDB＝6x﹣180°，
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴∠A+∠C+∠ABD+∠DBC＝180°，
∴x+x+6x﹣180°+x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角的计算，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18．（3分）如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 cm．
【分析】先求出AE，OM，当支架调至E档时，可利用勾股定理求出AM，进而得到OE，M'E，过点M'作M'H⊥OA，利用勾股定理表示出M'H2列方程求出OH，进而可求出M'H即可．
【解答】解：由题意可知：MA＝M'E＝OE，AM⊥OK，AE＝8cm，
∵有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，
∴AE＝8cm，
∵OK＝24cm，OM＝2MK，
∴OM＝OM'＝16cm，
设MA＝M'E＝OE＝x cm，则OA＝（x+8）cm，
在Rt△OAM中，
由勾股定理，得OA2＝MA2+OM2，
即（x+8）2＝x2+162，
解得x＝12，
∴MA＝M'E＝OE＝12cm，
过点M'作M'H⊥OA，
设OH＝y cm，则EH＝（12﹣y）cm，
由勾股定理，得M'H2＝OM'2﹣OH2＝M'E2﹣EH2，
即162﹣y2＝122﹣（12﹣y）2，
解得y＝，
∴M'H＝＝＝（cm）．
答：支点M″到OA的距离为cm．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，灵活运用勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本题有5小题，共46分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤）
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．
【分析】利用SAS证得△ACD≌△ABD，从而证得BD＝CD，利用等边对等角证得结论即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，特别是在应用SAS进行判定三角形全等时，主要A为两边的夹角．
20．（8分）在如图的5×5的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，△ABC的顶点均在格点上，请按要求作格点图形．
（1）在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得△APC与△ABC全等．
（2）在图（乙）中，在AC右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使△ACG为等腰三角形且GA＝GC．
【分析】（1）根据全等三角形的判定可确定点P的位置．
（2）连接DE，可知DE为线段AC的垂直平分线，则DE所经过的AC右侧的小正三角形顶点即为所求的点G．
【解答】解：（1）如图（甲），取格点P1，P2，P3，连接CP1，AP2，AP3，
∵AB＝AP1，∠BAC＝∠P1AC＝60°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AP1C（SAS）．
∵AB＝CP2，∠BAC＝∠P2CA＝60°，AC＝CA，
∴△ABC≌△CP2A（SAS）．
∵AB＝CP3，∠BAC＝∠P3CA＝60°，AC＝CA，
∴△ABC≌△CP3A（SAS）．
则点P1，P2，P3均满足题意．
（2）如图（乙），连接DE，
由题意可知，AD＝CD＝CE＝AE，
∴四边形ADCE为菱形，
∴DE垂直平分AC．
取DE所经过的AC右侧的小正三角形顶点G1，G2，
由线段垂直平分线的性质可知，G1A＝G1C，G2A＝G2C．
则点G1，G2均满足题意．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、全等三角形的判定、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等相关知识点是解答本题的关键．
21．（10分）如图：等腰△ABC中，AB＝AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，作AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠E＝25°，∠EAC＝100°，点F是BC的中点，连接AF，求∠BAF的度数．
【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC得到∠CAE＝∠BAD，再利用SAS即可证明△ABD≌△ACE；
（2）由已知条件可求出∠ACE，从而得到∠B的度数，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，从而可利用三角形内角和定理求出∠BAF的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵∠E＝25°，∠EAC＝100°，
∴∠ACE＝180°﹣∠E﹣∠EAC＝55°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE＝55°，
∴AB＝AC，点F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴∠BAF＝90°﹣∠B＝35°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
22．（10分）根据以下素材，探索完成任务
【分析】（1）利用SSS证明△ADE≌△ADF即可得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于点G，求出AD的长，即可利用DD'＝AD'﹣AD求出答案；
（3）设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，先求出BO，可得NG，再求出MN，进而可求出QG，即为问题的答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠EAD＝∠FAD，
∴AP是∠BAC的角平分线；
（2）解：∵AD′＝50cm，AE＝20cm，
∴DE＝DE'＝30cm，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAD＝60°，
过点E作EG⊥AD于点G，如图，
在Rt△AEG中，
AG＝AE•cs∠EAG＝20•cs60°＝10（cm），
EG＝AE•sin∠EAG＝20•sin60°＝10（cm），
在Rt△DEG中，
由勾股定理，得DG＝＝＝≈24.5（cm），
∴AD＝AG+DG＝34.5（cm），
∴DD'＝AD'﹣AD＝50﹣34.5＝15.5（cm），
答：当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D移动的距离为15.5cm；
（3）解：设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，如图，
在Rt△ABO中，
AB＝3AE＝60cm，∠BAO＝60°，
∴BO＝AB•sin∠BAO＝60•sin60°＝30（cm），
∴NG＝BO＝30cm，
在Rt△BMN中，
BN＝150cm，∠BMN＝60°，
∴MN＝＝＝50（cm），
∴MG＝MN﹣NG＝50﹣30＝20（cm），
在Rt△QGM中，
QG＝MG•tan60°＝20•＝60cm，
故答案为：60．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P是边AB上一个动点，将△ACP沿CP对折得△A'CP．
（1）则AC的长为 8 ．
（2）①当P是AB中点时，求证：∠CPB＝2∠A'；
②当AP的长为多少时，A′P与△ABC的一边平行？
（3）设A′C与线段AB相交于点D，当CD＝CB时，则的值为 （直接写出答案）．
【分析】（1）根据勾股定理得出AC即可；
（2）①根据直角三角形的性质得出AP＝PC＝PB，进而利用翻折的性质证明即可；
②分两种情况AP'∥BC和AP'∥AC，利用勾股定理和翻折的性质得出方程解答即可；
（3）利用勾股定理和翻折的性质得出方程解答即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
由勾股定理得，AC＝，
故答案为：8；
（2）①∵∠C＝90°，P是AB中点，
∴AP＝PC＝PB，
∴∠A＝∠ACP，
∴∠CPB＝2∠A，
由翻折的性质得，∠A＝∠A'，
∴∠CPB＝2∠A'；
②∵A′P与△ABC的一边平行，
当A'P∥AB时，因为两条直线都过A点，所以此种情况不存在；
当A'P∥BC时，如图，
A'C交AB于点O，
∵A'P∥BC，
∴∠A'＝∠A'CB，
∵∠A＝∠A'，∠A+∠B＝90°，
∴∠A'CB+∠B＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴AB⊥A'C，
∴∠COB＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△COB∽△ACB，
∴，
即，
解得：OC＝4.8，OB＝3.6，
由翻折的性质可得，A'C＝AC＝8，设AP＝A'P＝x，
∴OA'＝8﹣4.8＝3.2，OP＝10﹣3.6﹣x＝6.4﹣x，
在Rt△A'PO中，A'P2＝OP2+OA'2，
即x2＝3.22+（6.4﹣x）2，
解得：x＝4，
即AP＝4，
当A'P∥AC时，如图，
A'P交BC于点O，
∵A'P∥AC，
∴∠A'PB＝∠A，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A'PB+∠B＝90°，
∴∠POB＝90°，
∴BC⊥A'P，
∴∠A'OC＝∠POB＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A'，
∴△A'OC∽△ACB，
∴，
即，
解得：OA'＝6.4，OC＝4.8，
由翻折的性质可得，A'C＝AC＝8，设AP＝A'P＝x，
∴PB＝10﹣x，OP＝x﹣6.4，OB＝6﹣4.8＝1.2，
在Rt△POB中，PB2＝PO2+OB2，
即（10﹣x）2＝（x﹣6.4）2+1.22，
解得：x＝8，
即AP＝8，
综上所述，AP的值为4或8；
（3）如图，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵CD＝CB，
∴∠B＝∠CDB，
∴∠A'DP＝∠CDB＝∠B，
由翻折可知，∠A＝∠A'，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A'+∠A'DP＝90°，
∴A'P⊥AB，
∵CD＝CB＝6，AC＝A'C＝6，
∴A'D＝8﹣6＝2，
∵∠A＝∠A'，∠A'PD＝∠ACB，
∴△A'PD∽△ACB，
∴，
∴，
∴A'P＝，
∴AP＝，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣，
∴，
故答案为：．
【点评】此题是相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理，关键是利用勾股定理和翻折的性质得出方程解答．探究纸伞中的数学问题
素材1
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC，且AE＝AB，AF＝AC，D点为伞圈，DE＝DF．
素材2
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A、E、D′三点共线，测得AD′＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示．（参考值：≈24.5）
素材3
项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D点的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．
问题解决
任务1
判断AP位置
求证：AP是∠BAC的角平分线．
任务2
探究伞圈移动距离
当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离．
任务3
拟定撑伞方案
求伞至少向下移动距离 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
探究纸伞中的数学问题
素材1
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC，且AE＝AB，AF＝AC，D点为伞圈，DE＝DF．
素材2
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A、E、D′三点共线，测得AD′＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示．（参考值：≈24.5）
素材3
项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°小明同学站在伞圈D点的正下方G处，记为GH，此时，发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．
问题解决
任务1
判断AP位置
求证：AP是∠BAC的角平分线．
任务2
探究伞圈移动距离
当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离．
任务3
拟定撑伞方案
求伞至少向下移动距离 60 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
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