浙江省杭州市下城区观成实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市下城区观成实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知三角形的两边长分别为2和4，第三边可能是( )
A. 1B. 3C. 6D. 10
2.不等式的解集在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
3.若等腰三角形的底角为，则它的顶角度数为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是( )
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
6.下列命题：①同位角相等；②三条边相等的三角形是等边三角形；③若，则；其中逆命题是真命题的有( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
7.通过如下尺规作图，能得到的是( )
A. B.
C. D.
8.在数学“”节24点速算赛中，共有20道题，答对一题得6分，答错或不答均扣2分，已知小观得分超过95分，则他至少答对了题.
A. 15B. 16C. 17D. 18
9.如图，有两棵树，一棵高2米，另一棵高米，两树相距米，小成看到一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行米.
A. B. 6C. D. 8
10.若不等式组有解，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为______.
12.如图所示，AD平分，，，，，则DE的长度是______.
13.用“>”或“<”填空：若，则______，______
14.“见影排形”挑战赛中，小武摆出了如图的图形，在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则______，正方形 b的面积是______.
15.如图，在矩形ABCD中，，E是线段CD上的一点，把沿着直线AE折叠，点D恰好落在线段AC上，且与点F重合，若，则CE的长为______.
16.如图，在中，，，F为AE的中点，C为BF延长线上一点，D为EB延长线上一点，且则______，四边形 CADB的面积是______.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解下列不等式组：
；
18.本小题6分
如图，在所给网格图每小格均是边长为1的正方形中完成下面各题：
作关于直线DE对称的图形；
求的面积.
19.本小题8分
如图，和中，，，；
试说明≌
若，，求的度数.
20.本小题10分
如图，在中，AD是BC边上的高线，CF是AB边上的中线，，连结
求证：是等腰三角形；
若，，求BD的长.
21.本小题10分
小观与爸妈在公园里荡秋千.如图，小观坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直.小观两脚在地面上用力一蹬，当秋千距离地面高度为时，妈妈在B处接住她并用力一推，结果爸爸在C处接住了小观.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为和，
证明：≌
爸爸在距离地面多高的地方接住小观的？
秋千的起始位置A处与距地面的高是______
22.本小题12分
双十一期间，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元免运费请解答下列问题：
甲、乙两种书包每个的售价各是多少元？
已知甲种书包每个进价为25元，乙种书包每个进价为20元，该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个，该网店有哪几种进货方案？
在的条件下，采用哪一种方案获利最多？利润最多是多少元？
23.本小题12分
在中，，，点D在BC上不与点B，C重合
如图1，若是直角三角形，
①当时，求AD的长；
②当时，求CD的长.
如图2，点E在AB上不与点A，B重合，且当是等腰三角形时，则______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：设第三边长是x，
，
，
第三边可能是
故选：
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长是x，得到，即可得到答案．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2.【答案】A
【解析】解：不等式，
解得：
表示在数轴上为：
故选：
求出不等式解集，表示在数轴上即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为底角是，
所以其顶角为
故选B
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．
4.【答案】D
【解析】解：如图，
，
，
，
，，
故选：
利用等角的余角相等证明即可．
本题考查三角形内角和定理，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，故是直角三角形，符合题意；
C、，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，故不是直角三角形，不符合题意，
故选：
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：①同位角相等，逆命题是相等的角是同位角，是假命题；
②三条边相等的三角形是等边三角形，逆命题是等边三角形三条边相等，是真命题；
③若，则，逆命题是若，则，是真命题；
故选：
先根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，再根据同位角、等边三角形的性质、实数的乘方判断即可．
本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】C
【解析】解：当点D在线段AB的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段AB垂直平分线的是C中的图形．
故选：
垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断．
本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．
8.【答案】C
【解析】解：设小观答对了x道题，则答错或不答道题，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为17，
他至少答对了17道题．
故选：
设小观答对了x道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合小观得分超过95分，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：两棵树的高度差为，间距为，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离，
故选：
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
10.【答案】B
【解析】解：解不等式得，，
不等式组有解，
故选：
求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出m的范围即可．
本题考查根据不等式组的解集求参数的取值范围．熟练掌握不等式组的解集的确定方法：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为，
故答案为：
根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
12.【答案】2
【解析】解：，，
，
，
，
平分，，
，
故答案为：
根据线段的和差求出，再根据角平分线性质定理求解即可．
此题考查了角平分线的性质，熟记“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：<，
根据不等式的性质解答．
本题主要考查了不等式的性质，关键掌握在不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
14.【答案】4 25
【解析】解：，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
正方形b的面积为
故答案为：4，
证明≌，推出，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
15.【答案】
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，
把沿着直线AE折叠，点D恰好落在线段AC上，且与点F重合，，
，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：
根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，得到，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，翻折变换折叠问题，含角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过A作AMED，交ED延长线于
，，
，
，F为AE的中点，
为AE的垂直平分线，
，
，
设，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
面积面积，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形CADB的面积
面积+四边形AFBD的面积
面积+四边形AFBD的面积
=四边形AFBM的面积
面积面积
故答案为：，
过A作AMED，由，，得，由，F为AE的中点，得BC为AE的垂直平分线，设，换算得由，换算出，故为等边三角形，证明≌，得它们面积相等．故四边形CADB的面积=四边形AFBM的面积面积面积，再计算即可．
本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，构造全等三角形是解题关键．
17.【答案】解：，
，
，
则；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：如图，
分别作出点A，B，C关于DE的对称点，，，连接，，，
则就是求作的图形；

【解析】分别作出点A，B，C关于DE的对称点，，，连接，，；
过A，B，C三点围成的矩形的面积减去三个三角形的面积．
本题考查了轴对称的作图，割补法求面积等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
19.【答案】解：，
，即，
在和中，
，
≌；
由知：≌，
，
，
为
【解析】由，可得，根据SSS解可证明≌；
根据≌，对应角相等即可得，再由三角形内角和定理可得答案．
本题考查全等三角形的性质及判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA及AAS，本题较基础．
20.【答案】证明：是BC边上的高线，
，
是直角三角形，
是AB边上的中线，
，
，
，
，
是等腰三角形；
解：过点F作于F，
，，
，，
，
于F，，
，
，

【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再利用等量代换可证是等腰三角形；
过点F作于F，根据等腰三角形的性质得，，由三角形外角的性质得，可得，即可求解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
21.【答案】
【解析】证明：由题意可知，，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
、CE分别为和，
，，
，，
妈妈在距地面高的B处，即，
秋千的起始位置A处与距地面的高
故答案为：
由直角三角形的性质得出，根据AAS可证明≌；
由全等三角形的性质得出，，求出DE的长则可得出答案；
因为，由勾股定理求得OB，再根据便可求得结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明≌是解题的关键．
22.【答案】解：设甲种书包每个的售价是x元，乙种书包每个的售价是y元，
根据题意得：，
解得：
答：甲种书包每个的售价是30元，乙种书包每个的售价是24元；
设购进m个甲种书包，则购进个乙种书包，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为53，54，55，
该网店共有3种进货方案，
方案1：购进53个甲种书包，47个乙种书包；
方案2：购进54个甲种书包，46个乙种书包；
方案3：购进55个甲种书包，45个乙种书包；
采用方案1获得的总利润为元；
采用方案2获得的总利润为元；
采用方案3获得的总利润为元
，
在的条件下，采用方案3获利最多，利润最多是455元．
【解析】设甲种书包每个的售价是x元，乙种书包每个的售价是y元，根据“甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元免运费”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进m个甲种书包，则购进个乙种书包，根据“该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；
利用总利润=每个甲种书包的销售利润购进甲种书包的数量+每个乙种书包的销售利润购进乙种书包的数量，可求出采用各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，求出采用各方案可获得的总利润．
23.【答案】3或
【解析】解：①当时，如图，
，，
，
则在直角三角形ABD中，；
②如图，当时，作于点E，则由①知：，，
设，则，
则在直角三角形ADE中，，
在直角三角形ACD中，，
即，
解得：，
；
，
若是等腰三角形，则或，
若，则，如图2，
，，
，
，
，
≌，
，
；
若，如图3，作于点H，
则，，
，
，，
或，
故答案为：3或
①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可解答；
②如图，作于点E，设，则，根据勾股定理即可得到关于x的方程，求出x，再根据勾股定理即可解答；
由题意知，若是等腰三角形，则或，分别解决问题．
本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握上述知识、正确分类是解题的关键．