2019-2020学年浙江省温州市瓯海区外国语学校九上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年浙江省温州市瓯海区外国语学校九上期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 一个不透明的袋子中只装有 1 个黄球和 3 个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，下列说法正确的是
A. 摸到黄球是不可能事件B. 摸到黄球的概率是 34
C. 摸到红球是随机事件D. 摸到红球是必然事件

2. 在边长为 1 的小正方形组成的网格中，有如图所示的 A，B 两点，在格点上任意放置点 C，恰好能使得 △ABC 的面积为 1 的概率为
A. 316B. 38C. 14D. 516

3. 如图，在 ⊙O 中，直径 AB 与弦 MN 相交于点 P，∠NPB=45∘，若 AP=2，BP=6，则 MN 的长为
A. 14B. 25C. 214D. 8

4. 若二次函数 y=ax2+4x+a−1 的最小值是 2，则 a 的值为
A. 4B. −1C. 3D. 4 或 −1

5. 点 P0,3 向右平移 m 个单位后落在直线 y=2x−1 上，则 m 的值为
A. 2B. 3C. 4D. 5

6. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 边的中点是坐标原点 O，将正方形绕点 C 按逆时针方向旋转 90∘ 后，点 B 的对应点 Bʹ 的坐标是
A. −1,2B. 1,4C. 3,2D. −1,0

7. 如图，将 ⊙O 沿弦 MN 折叠，圆弧恰好经过圆心 O，点 A 劣弧 MN 上一点，则 ∠MAN 的度数为
A. 150∘B. 135∘C. 120∘D. 105∘

8. 甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字 时有必胜的策略．
A. 10B. 9C. 8D. 6

9. 如图，抛物线 y=12x2−52x+2 交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，当 △ABC 纸片上的 C 沿着此抛物线运动时，则 △ABC 纸片随之也跟着水平移动，设纸片上 CB 的中点 M 坐标为 m,n，在此运动过程中，n 与 m 的关系式是
A. n=12m−122−18B. n=12m−322+78
C. n=12m−722−18D. n=12m−922−178

10. 对于代数式 ax2+bx+ca≠0，下列说法正确的是
①如果存在两个实数 p≠q，使得 ap2+bp+c=aq2+bq+c，则 ax2+bx+c=ax−px−q；
②存在三个实数 m≠n≠s，使得 am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c；
③如果 ac<0，则一定存在两个实数 m④如果 ac>0，则一定存在两个实数 mA. ①B. ③C. ②④D. ①③

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2 个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为 23，那么盒子内白色乒乓球的个数为 ．

12. 如图，在 ⊙O 中，半径 OA 垂直于弦 BC，点 D 在圆上且 ∠ADC=30∘，则 ∠AOB 的度数为 ．

13. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC 是弦，点 E 是 BC 的中点，OE 交 BC 于点 D．连接 AC，若 BC=6，DE=1，则 AC 的长为 ．

14. 如图，抛物线 C1:y=12x2 经过平移得到抛物线 C2:y=12x2+2x，抛物线 C2 的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是 ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，点 P 是以 C−3,6 为圆心，1 为半径的 ⊙C 上的一个动点，已知 A−1,0，B1,0，连接 PA，PB，则 PA2+PB2 的最大值是 ．

16. 如图，点 A 是抛物线 y=x2−4x 对称轴上的一点，连接 OA，以 A 为旋转中心将 AO 逆时针旋转 90∘ 得到 AOʹ，当 Oʹ 恰好落在抛物线上时，点 A 的坐标为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A 和点 B．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．

18. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯 40 s 、绿灯 60 s 、黄灯 3 s，司机随机地由南往北开车到达该路口，问：
（1）他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大?
（2）他遇到绿灯的概率是多少?

19. 如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，将 △BEC 绕点 C 顺时针旋转至 △DFC．
（1）请问最小旋转度数为多少?
（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角?
（3）若 ∠EBC=30∘，∠BCE=80∘，求 ∠F 的度数．

20. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，AB∥OC．
（1）求证：∠ACB+∠BOC=90∘；
（2）若 ⊙O 的半径为 5，AC=8，求 BC 的长度．

21. 甲、乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘 A，B 做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜．请你解决下列问题：
（1）用列表格或画树状图的方法表示游戏所有可能出现的结果．
（2）求甲、乙两人获胜的概率．

22. 某新型高科技商品，每件的售价比进价多 6 元，5 件的进价相当于 4 件的售价，每天可售出 200 件，经市场调查发现，如果每件商品涨价 1 元，每天就会少卖 5 件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元?
（2）设每天的销售利润为 w 元，每件商品涨价 x 元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元?
（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：方案一：每件商品涨价不超过 8 元；方案二：每件商品的利润至少为 24 元，请比较哪种方案的销售利润更高，并说明理由．

23. 如图，把一个量角器与一块 30∘（∠CAB=30∘）角的三角板拼在一起，三角板的斜边 AB 与量角器所在圆的直径 MN 重合，现有射线 CP 绕点 C 从 CA 开始沿顺时针方向以每秒 2∘ 的速度旋转到与 CB 重合，就停止旋转．在旋转过程中，射线 CP 与量角器的半圆弧交于 E．连接 BE．
（1）设旋转 x 秒后，点 E 处的读数为 y∘，则 y 与 x 的函数关系式 ．
（2）当 CP 旋转 秒时，△BCE 是等腰三角形．

24. 如图①，直线 y=12x−3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B，C，抛物线 y=14x2+bx+c 过 B，C 两点，且与 x 轴的另一个交点为点 A，连接 AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合），使得 S△DBC=S△ABC，若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为 2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿 x 轴方向平移，与 y 轴平行的一组对边交抛物线于点 P 和点 Q，交直线 CB 于点 M 和点 N，在矩形平移过程中，当以点 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐标．
答案
第一部分
1. C【解析】A．摸到黄球的概率是 14，有可能摸到黄球，此选项错误；
B．摸到黄球的概率是 14，此选项错误；
C．摸到红球的概率是 34，属于随机事件，此选项正确；
D．摸到红球的概率是 34，摸到黄球的概率是 14，有 2 种可能，此选项错误；
故选C．
2. C【解析】可以找到 4 个恰好能使 △ABC 的面积为 1 的点，
则概率为：4÷16=14．
3. C【解析】过点 O 作 OD⊥MN 于点 D，连接 ON，则 MN=2DN，
∵AB 是 ⊙O 的直径，AP=2，BP=6，
∴⊙O 的半径 =12×2+6=4，
∴OP=4−AP=4−2=2，
∵∠NPB=45∘，
∴△OPD 是等腰直角三角形，
∴OD=2，
在 Rt△ODN 中，DN=ON2−OD2=16−2=14，
∴MN=2DN=214．
4. A【解析】∵ 二次函数 y=ax2+4x+a−1 有最小值 2，
∴a>0，
y 最小值 =4ac−b24a=4aa−1−424a，
整理，得 a2−3a−4=0，
解得 a=−1或4，
∵a>0，
∴a=4．
5. A
【解析】∵ 将点 P0,3 向右平移 m 个单位，
∴ 点 P 平移后的坐标为 m,3，
∵ 点 m,3 在直线 y=2x−1 上，
∴2m−1=3，解得 m=2．
6. C【解析】如图所示，
由旋转得：CBʹ=CB=2，∠BCBʹ=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，且 O 是 AB 的中点，
∴OB=1，
∴Bʹ2+1,2，即 Bʹ3,2．
7. C【解析】如图，作半径 OC⊥MN 于 D，连接 OM，ON，
折叠的性质得 OD=CD，
又 ∵OM=OC，
∴OD=12OM，
又 ∵OD⊥MN，
∴∠OMD=30∘，
同理可求得：∠OND=30∘，
∴∠MON=180−30−30∘=120∘，
∴MBN 为 240∘．
∴∠MAN=120∘．
故选C．
8. D【解析】对于选项A：当甲写 10 时，乙可以写 3，4，6，7，8，9，如果乙写 7，则乙必胜，因为无论甲写 3，4，6，8，9 这五个数中的 6（连带 3）或 8（连带 4），乙可以写 4 或 3，剩下 2 个数字；当甲写 3 或 4 时，乙可以写 8（连带 4）或 6（连带 3），剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写 9 后，乙可以写 2，4，5，6，7，8，10，如果乙写 6，则乙必胜，因为剩下 4，5，7，8，10 这 5 个数中，无论甲写 8（连带 4）或 10（连带 5），乙可以写 5 或 4；当甲写 4 或 5 时，乙可以写 10（连带 5）或 8（连带 4），甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写 8 时，乙可以写 3，5，6，7，9，10，当乙写 6（或 10）时，甲就必须写 10（或 6），因为乙写 6（或 10）后，连带 3（或 5）也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D：甲先写 6，由于 6 的约数有 1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有 4，5，7，8，9，10，把这 6 个数分成三组：4,7，5,8，9,10，当然也可 4,5，8,10，7,9 或 4,9，5,7，8,10 等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写 6，才能必胜，故选：D．
9. D【解析】平移前：
将 y=0 代入 y=12x2−52x+2 中，得 0=12x2−52x+2，
解得：x1=1，x2=4，
所以由图可知：点 A 坐标为 1,0，点 B 的坐标为 4,0，
将 x=0 代入 y=12x2−52x+2 中，得 y=2，
所以点 C 的坐标为 0,2，
所以此时 BC 的中点 M 的坐标为 4+02,0+22=2,1，
此时点 M 可以向左平移 2 个单位，再向上平行 1 个单位得到点 C．
平移后：
因为 C 和 M 的相对位置不变，
所以此时点 M 可以向左平移 2 个单位，再向上平行 1 个单位得到点 C，
因为纸片上 CB 的中点 M 坐标为 m,n，
所以点 C 的坐标为 m−2,n+1，
将点 C 坐标代入 y=12x2−52x+2 中，得 n+1=12m−22−52m−2+2，
整理得：n=12m2−92m+8，
配方得：n=12m−922−178．
故选：D．
10. B
【解析】设 y=ax2+bx+ca≠0，
①当 x=p或q 时，ap2+bp+c 与 aq2+bq+c 不一定等于 0，故错误；
②根据二次函数的对称性，最多存在两个实数 m≠n，使得 am2+bm+c=an2+bn+c，故错误；
③ ∵ac<0，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴ 抛物线与 x 轴有两个不同的交点，
∴ 一定存在两个实数 m④ ∵ac>0，
∴Δ=b2−4ac 不一定大于 0，
∴ 抛物线可能与 x 轴没有交点，
∴ 不一定存在两个实数 m第二部分
11. 4
【解析】设盒子内白色乒乓球的个数为 x，
根据题意，得：x2+x=23，
解得：x=4，
经检验：x=4 是原分式方程的解，
∴ 盒子内白色乒乓球的个数为 4．
12. 60∘
【解析】∵OA⊥BC，
∴AB=AC，
∴∠AOB=2∠ADC，
∵∠ADC=30∘，
∴∠AOB=60∘．
13. 8
【解析】连接 OC，如图所示．
∵ 点 E 是 BC 的中点，
∴∠BOE=∠COE．
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，BD=DC．
∵BC=6，
∴BD=3．
设 ⊙O 的半径为 r，则 OB=OE=r．
∵DE=1，
∴OD=r−1．
∵OD⊥BC，即 ∠BDO=90∘，
∴OB2=BD2+OD2．
∵OB=r，OD=r−1，BD=3，
∴r2=32+r−12．
解得：r=5．
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD=12AC．
∴AC=8．
14. 4
【解析】因为 y=12x2+2x=12x+22−2，
所以阴影部分的面积是边长为 2 的正方形的面积，即 22=4．
15. 34
【解析】设点 P 的坐标为 x,y，
又 A−1,0，B1,0，
则 PA2=1+x2+y2，PB2=−x+12+y2，OP2=x2+y2，
∴PA2+PB2=1+x2+y2+−x+12+y2=2x2+y2+2=2OP2+2，
当 OP 通过圆心时，
∵OP2=OC+CP2=OC+CP1>OP1，
即 P 在 P2 点时，OP 最大，即 PA2+PB2 最大，如图，
又 OC=−32+62=3，
∴OP2=OC+CP2=3+1=4，
∴PA2+PB2 的最大值 =2OP22+2=2×42+2=34．
16. 2,2 或 2,−1
【解析】∵ 抛物线 y=x2−4x 对称轴为直线 x=−−42=2，
∴ 设点 A 坐标为 2,m，
如图所示，作 AP⊥y 轴于点 P，作 OʹQ⊥直线x=2，
∴∠APO=∠AQOʹ=90∘，
∴∠QAOʹ+∠AOʹQ=90∘，
∵∠QAOʹ+∠OAQ=90∘，
∴∠AOʹQ=∠OAQ，
又 ∠OAQ=∠AOP，
∴∠AOʹQ=∠AOP，
在 △AOP 和 △AOʹQ 中，
∠APO=∠AQOʹ,∠AOP=∠AOʹQ,AO=AOʹ,
∴△AOP≌△AOʹQAAS，
∴AP=AQ=2，PO=QOʹ=m，
则点 Oʹ 坐标为 2+m,m−2，
代入 y=x2−4x 得：m−2=2+m2−42+m，
解得：m=−1 或 m=2，
∴ 点 A 坐标为 2,−1 或 2,2．
第三部分
17. （1） 根据题意，得 1−b+c=−1,9+3b+c=−9,
解得 b=−4,c=−6,
∴ 所求的二次函数的解析式为 y=x2−4x−6．
（2） 又 ∵y=x2−4x−6=x−22−10，
∴ 函数图象的对称轴为 x=2；
顶点坐标是 2,−10．
18. （1） 因为每一时刻经过的可能性都相同，南北方向红绿灯的设置时间为：红灯 40 s 、绿灯 60 s 、黄灯 3 s，绿灯时间比红灯时间长，所以他遇到绿灯的概率大．
（2） ∵ 在 103 s 内，绿灯的时间是 60 s，
∴P他遇到绿灯=6040+60+3=60103．
19. （1） ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴CB=CA，∠BCA=90∘，
∴△BEC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 可得到 △DFC，
∴ 最小旋转度数为 90∘．
（2） △BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE 与 ∠CDF，∠BCE 与 ∠DCF，∠BEC 与 ∠DFC．
（3） ∵∠EBC=30∘，∠BCE=80∘，
∴∠BEC=180∘−30∘−80∘=70∘，
∴∠F=∠BEC=70∘．
20. （1） ∵ 圆弧 AB 对的圆周角是 ∠ACB，对的圆心角是 ∠AOB，
∴∠AOB=2∠ACB，
∵OB=OA，
∴∠ABO=∠BAO，
∵AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，∠BAO+∠AOC=180∘，
∴∠BAO+∠AOB+∠BOC=180∘，
即 2∠ACB+2∠BOC=180∘，
∴∠ACB+∠BOC=90∘．
（2） 延长 AO 交 ⊙O 于 D，连接 CD，
则 ∠ACD=90∘，
由勾股定理得：CD=AD2−AC2=5+52−82=6，
∵OC∥AB，
∴∠BOC=∠ABO，∠COD=∠BAO，
∵∠BAO=∠ABO，
∴∠BOC=∠COD，
在 △BOC 和 △DOC 中，
OB=OD,∠BOC=∠DOC,OC=OC,
∴△BOC≌△DOCSAS，
∴BC=CD，
∵CD=6，
∴BC=6．
21. （1） 所有可能出现的结果如列表：
（2） 从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有 12 种，且每种结果出现的可能性相同，其中积是奇数的结果有 4 种，即 5，7，15，21，积是偶数的结果有 8 种，即 4，6，8，10，12，14，12，18．
∴ 甲、乙两人获胜的概率分别为：P甲获胜=412=13，P乙获胜=812=23．
22. （1） 该商品的售价 x 元，进价为 y 元，
由题意得：
x−y=6,5y=4x.
解得
x=30,y=24.
故商品的售价 30 元，进价为 24 元．
（2） 由题意得：w=30+x−24200−5x=−5x−172+2645，
当每件商品涨价 17 元，即售价 30+17=47 元时，商品的销售利润最大，最大为 2645 元．
（3） 方案一：每件商品涨价不超过 8 元，a=−5<0，
故当 x=8 时，利润最大，最大利润为 w=−58−172+2645=2240 元；
方案二：每件商品的利润至少为 24 元，即每件的售价应涨价：30+x−24≥24，解得 x≥18，a=−5<0，
故当 x=18 时，利润最大，最大利润为 w=−518−172+2645=2640 元．
∵2640>2240，
∴ 方案二的销售利润最高．
23. （1） y=4x0≤x≤45
【解析】如图，
由题意知 ∠ACE=2x∘，∠AOE=y∘，
又 ∠ACB=90∘，
∴ 点 C 在以 O 为圆心，AB 为直径的圆上，
又 MN=AB，
∴ 点 C 也在以 MN 为直径的圆上，
∴∠AOE=2∠ACE=4x∘．
故答案为：y=4x0≤x≤45．
（2） 7.5 或 30
【解析】①如图，当 BE=EC 时，连接 OC，
则 OB=OC，
又 EB=EC，
∴EO 垂直平分 BC，
∵AC⊥BC，
∴EO∥AC，
∴∠AOE=∠BAC=30∘，
∴∠ACE=12∠AOE=15∘，
t=15÷2=7.5（秒）．
②如图，当 BC=BE 时，连接 OC，
则 OE=OC，
又 BC=BE，
∴OB 垂直平分 EC，
∴∠OBE=∠OBC=60∘，
又 OE=OB，
∴△BOE 是等边三角形，
∴∠AOE=120∘，
∴∠ACE=12∠AOE=60∘，
∴t=60÷2=30（秒）．
综上可知，当 CP 旋转 7.5 秒或 30 秒时，△BCE 是等腰三角形．
24. （1） 由题意 C0,−3，B6,0，
把 C0,−3，B6,0 代入 y=14x2+bx+c 得到 c=−3,9+6b+c=0,
解得 b=−1,c=−3,
∴ 抛物线的解析式为 y=14x2−x−3．
（2） 如图①中，作 AD∥BC 交抛物线于 D，则 S△ABC=S△BCD．
∵ 直线 BC 的解析式为 y=12x−3，A−2,0，
∴ 直线 AD 的解析式为 y=12x+1，
由 y=12x+1,y=14x2−x−3 解得 x=−2,y=0 或 x=8,y=5,
∴D8,5．
∵ 直线 AD 交 y 轴于 E0,1，点 E 关于点 C 的对称点 E0,−7，
∴ 过点 E 平行 BC 的直线的解析式为 y=12x−7，
由 y=12x−7,y=14x2−x−3, 方程组无解，
∴ 在直线 BC 的下方不存在满足条件的点 D．
∴ 满足条件的点 D8,5．
（3） 设 Mm,12m−3，则 Nm+2,12m−2，
∴Pm,14m2−m−3，Qm+2,14m+22−m+2−3，
∴PM=12m−3−14m2−m−3，NQ=12m−2−14m+22−m+2−3，
当 PM=QN 时，点 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，
∴12m−3−14m2−m−3=12m−2−14m+22−m+2−3
解得：m=2或2±22，
∴ 满足条件的点 M 的坐标为 2,−2 或 2+22,2−2 或 2−22,−2−2．