浙江省温州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省温州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了不等式在数轴上表示正确的是等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1．本次评价范围是《数学》八年级上册1.1~3.2
2．试卷满分120分，评价时间100分钟．答题时请勿使用计算器，解答题请在答题卷答题区域作答，不得超出答题区域边框线．
3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现．
一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列运动图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，6，8B．3，4，7C．5，7，13D．6，9，16
3．如图，在中，，，则的外角度数为（ ）
A．B．C．D．
4．不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．，B．，C．，D．，
6．如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，，，三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形．若正方形和正方形的面积之和为260，阴影部分的面积为148，则的长为（ ）
A．22B．20C．18D．16
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
9．根据数量关系“的2倍小于5”，可列不等式 ．
10．命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是 ．
11．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于 ．
12．如图，已知，若依据“”证明，则需增加的一个条件是 ．
13．如图，在中，是角平分线，于，于，，，则的面积为 ．

14．如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于长为半径弧，两圆弧交于点，，连结分别交，于点，，则与的周长差为 ．
15．如图，在中，、、分别是、、的中点，且，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图1是由四片大小一样的门扇连接成的折叠门，该门的轨道装在天花板上，图2是其示意图．已知轨道，在推拉合页或时，滚轮，在轨道上移动，已知每小片门扇宽度均相等()．门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．刚开始门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，，，此时门被关上部分的长是 ；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，，，相比第一次，门又拉伸了 ．

三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程．
证明：
，，
__________．
是的中点，
__________，
又，
__________．
．
18．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点（顶点均在格点上），请按要求画格点三角形．
(1)在图1中画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称．
(2)在图2中画一个等腰，使其．
19．若，比较与的大小，并说明理由．
20．如图1，已知是直角三角形，，于，平分，．
(1)求的度数．
(2)若是图1中的中点，连接，如图2，试通过计算比较与的大小．
21．小林将一道做错了的书本作业题梳理到自己的错题集中，请你帮他完成错题梳理过错因分析和正确的证明过程．
22．在中，为边上的中线，为边上一点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若平分，，，求的长．
23．如图1，在和中，，，，点，，在同一条直线上，连结．

(1)【问题解决】求证：．
(2)若，求的度数．
(3)【类比探究】如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为的中点，连结，，，，求的长．
24．如图，已知是线段的中点，，点在上方，是上一动点，连接，，是射线上一动点，．
(1)若，；
①求的度数；
②若为直角三角形时，求出所有符合条件的长．
(2)把沿着直线翻折，使得点的对称点刚好与，在同一直线上，且．记的面积为，的面积为，求的值．
答案与解析
1．B
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】A．不是轴对称图形，不符合题意，
B．是轴对称图形，符合题意，
C．不是轴对称图形，不符合题意，
D．不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题关键．
【详解】解：A、，能组成三角形，符合题意，选项正确；
B、，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；
C、，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；
D、，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了三角形的外角性质，一个三角形的外角等于与不相邻的两个内角和即为三角形的外角性质，据此即可作答．
【详解】解：因为在中，，，
所以，
所以的外角度数为，
故选：B
4．A
【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，根据，则用数轴表示不等式的解集，即可作答．
【详解】解：因为
所以不等式在数轴上表示为：
故选：A
5．D
【分析】本题考查了真假命题，有理数的乘方，解题关键是掌握满足条件，但不能得到结论的例子即是反例．据此判断，即可得到答案．
【详解】解：当，时，，但，
可以用来说明命题“若，则”是假命题，
反例为，
故选：D．
6．A
【分析】由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴是角平分线，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，，，由勾股定理，得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
四边形是长方形，
，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，设，，根据正方形的性质及得，进而可得，将正方形和正方形裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形得，再利用面积的数量关系即可求解，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：如图：
设，，
，
四边形、四边形和都是正方形，
，，，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
将正方形和正方形裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，
，
，
，
，
即，
，
故选A．
9．##
【分析】本题考查的是列一元一次不等式，根据题意正确列式即可．
【详解】解：“的2倍小于5”可列不等式，
故答案为：．
10．三个内角相等的三角形是等边三角形
【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换,找到原命题的题设为等边三角形, 结论为三个内角相等,互换即可．
【详解】解:命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”.
【点睛】本题考查逆命题的概念,解决本题的关键是熟练掌握逆命题的概念,知道题设和结论互换．
11．15
【分析】根据腰为3或6，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
【详解】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．
12．##
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定．根据等边对等角的性质，得到，再根据全等三角形的判定定理，即可得到答案．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
【详解】解：，
，
，
若依据“”证明，则需增加的一个条件是，
故答案为：．
13．4
【分析】本题考查了角平分线的性质，由角平分线上的点到角的两边距离相等，得，再根据面积公式进行列式，即可作答．
【详解】解：因为是角平分线，于，于，
所以，
则的面积．
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质；根据含30度角的直角三角形的性质得出，利用作法得到垂直平分，则,得出，勾股定理求得，进而根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
根据作图可得垂直平分，则，,
∴，
∴，
∴,
∴
∴，
∴与的周长差为
故答案为：．
15．3
【分析】本题考查了根据三角形中线求面积．连接，根据三角形的性质，依次得到、、，即可求出阴影部分的面积．解题关键是掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，分得的两个三角形面积相等．
【详解】解：如图，连接，
，是的中点，
，
是的中点，
，
是的中点，
，
即图中阴影部分的面积为，
故答案为：3．
16．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先判定与是两个全等的等边三角形，从而求出与，从而得到，过点分别作的垂线，垂足为，则垂足出与的中点，先证明，从而得到，再根据得出，运用勾股定理列方程求出与，继而得解，掌握一线三直角的全等模型和等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道，
∴，
∵，，
∴，
∴与是两个全等的等边三角形，
∴，
∴，
过点分别作的垂线，垂足为，即

由题意可知：，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，即，，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴相比第一次，门拉伸的长度为：，
故答案为：；．
17．，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即可．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：，，
是的中点，
又，
．
18．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查轴对称、等腰三角形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键，
（1）找出点关于直线对称点，顺次连接、、即可得到；
（2）作线段的垂直平分线，在垂直平分线上取点，使点的顶点的高等于以点为顶点的高的2倍即可满足，则即为所求．
【详解】（1）解： 如图所示：

（2）解：如图所示：
19．，理由详见解析．
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：，
理由：∵，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义，得到，再根据三角形外角的性质，得出，然后利用三角形内角和定理，即可求出的度数；
（2）根据直角三角形两锐角互余，推出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而得到，再求得，即可得到与的大小关系．
【详解】（1）解：，平分，
，
是的外角，，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
由（1）可知，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的特征等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
21．见详解；见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先由得，结合和，即可通过证明，即可作答．
【详解】解：依题意，
原题解答：由，，，证明，
错因分析：因为不是，的夹角，不是，的夹角，
所以不能通过来证明；
正确的证明：
，
∴
，
．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中线和平行线的性质，可证，即可证明结论；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义，推出是等腰三角形，进而得到，，再利用勾股定理，求出，即可得到的长．
【详解】（1）证明：为边上的中线，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
为边上的中线，
，，
，
，，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等腰三角形三线合一的性质是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由得出，再根据，即可求证；
（2）由，得出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和平角的性质得出，根据得出，最后利用角的和差即可求解；
（3）由、为等腰直角三角形求得，进而求出，由依据题意得≌，由此得出，，根据角的和差得出，在直角三角形中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，，
≌；
（2），，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
（3）和均为等腰直角三角形，，
，，，，
在和中，，
≌，
， ，
，
是直角三角形，
∵，，
，
为的中点，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意证明三角形全等，利用三角形全等的性质得出结论．
24．(1)①；②或或；
(2)
【分析】（1）①根据三角形的外角的性质可得，根据等腰三角形的性质以及内角和定理，即可求解；
②分情况讨论，分别画出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解；
（2）根据轴对称的性质，可得，根据含30度角的直角三角形的性质得出的长，进而求得，根据三角形的面积公式分别求得的面积，的面积，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴；
②如图所示，
当时，
∵是线段的中点，
∴，
当在上时，
∵
∴是等边三角形，
∴，则
∴，，
当在的延长线上时，
同理可得，则，
当时，
∵，
∴
∴
在中，，
在中，；
综上所述，的长为或或；
（2）解：如图所示，
依题意，三点共线，则，且
∵，则，
∴，
∴，
∵．
在中，设，则，
∴，
解得：
∴，
则
∴；
过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
题目：在中，，，
求证：．
图形
错误摘录：，，
，，
即，
，．

错因分析：
正确的证明：