浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省温州市洞头区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．6，11，5B．2，8，5C．3，4，6D．2，3，7
3．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，则（ ）

A．B．C．D．
5．如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．对假命题“若，则”举反例，正确的反例是（ ）
A．，B．，C．，D．，
8．如图，和分别平分和过点，且与垂直．若，则点到的距离是（ ）
A．B．3C．4D．5
9．如图，在中，，将图形沿着折叠，点C落在上的点F处，再将图形沿折叠，点A正好落在的点G处，此时，则的度数为（ ）
A．25B．35C．45D．55
10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把最小的一个正方形按图2的方式放入较大的正方形内，然后把最大的正方形沿BC翻折，记△EHP和正方形ADNM的面积分别为，.若点N，M，G三点共线，且满足，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
非选择题部分
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
12．如图，四边形中，，请补充一个条件 ，使．

13．若等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个三角形的周长是 ．
14．如图，在中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，连结，交于点E，交于点的周长是，则的长为 ．

15．小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木块墙，木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角饭，点在上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为 ．
16．如图，已知交于点，且，若，，则的长为 ．
17．如图，等边三角形的边长为5，是所在直线上的一个动点，是的中点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动过程中，线段长度的最小值是 ．
18．如图2，是某款台灯（图1）的示意图，处于水平位置的横杆可以绕着点转动．当分别转到，的位置时，测得，，的高度差，，的水平距离，，若该台灯底座离度，则点到桌面的距离为 ．

三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．如图，已知点，，，在同一直线上，，，，则．完成下面的说理过程（填空）．
证明（已知）

（已知），
∴
即
在和中，
∵
∴（ ）
∴（ ）
20．在的网格中有线段，在网格线的交点上找一点，作出三角形满足如下条件，（仅用无刻度的直尺作图）
(1)在图1中画一个等腰三角形但不是直角三角形：
(2)在图2中画一个直角三角形，使两直角边的长均为无理数．
21．如图，中，，是上的一点，作于点．
(1)求证：平分．
(2)若．求的长度．
22．探索并完成相应的任务．
23．如图，在中，分别是边上的高线，M是的中点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
24．如图1，在等腰三角形中，是边上的高线，．点是射线上的一点，作于点，连结．

(1)求 ， ．
(2)①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度．
②如图2，设交直线于点，连结，若，则长为 （直接写出结果）．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成三角形，故此选项符合题意；
D、，不能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】根据三角形高的画法进行判断即可．
【详解】解：选项A，C，D中都不是的边上的高，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查垂线的定义，直角三角形两锐角互余，先由垂线定义求得，再在中求出，最后根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
5．B
【分析】在中由三角形内角和180°可求出，由全等三角形对应角相等可得即可求解．
【详解】解∶在中，，
∴
又∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和与全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理．利用勾股理定理的逆定理判定A、B选项，利用三角形内角和定理求出最大角的度数判定C、D选项即可求解.
【详解】解：A、∵，∴，，∴，不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，设，，，，，∴，不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，，最大角，不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，，，，是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D.
7．D
【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘法法则计算，根据假命题的概念判断即可．
【详解】解：当，时，，，，
则，
∴若，则“”是假命题，
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8．C
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，点到直线的距离定义，熟记过点作直线的垂线，点到垂足的线段长度叫点到直线的距离是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长．
【详解】解：过点作于，如图，
∵，，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
．
故选：C．
9．C
【分析】设∠A=x°，利用等腰三角形性质以及折叠得到∠AGF=∠A=x°，∠GFB=∠GBF=90-，然后利用三角形外角性质列方程求解.
【详解】解：设∠A=x°，
由折叠知∠AGF=∠A=x°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC= ，
又折叠知∠BFC=∠C=90- ，
∴∠CBF=180°-∠C-∠BFC=x°，
∴∠GBF=∠ABC-∠FBC=90--x=90-,
又∵GB=GF，
∴∠GFB=∠GBF=90-,
又∵∠AGF=∠GFB+∠GBF，
∴x=2（90-），
解得x=45，
故选择C.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及折叠性质，确定折叠前后的对应角相等是解决问题的关键.
10．A
【分析】如图，连接，由正方形的性质及已知，；设中，，，由题意得，由正方形的性质可证明，则，
，同理可证，，则H是的中点，从而可证得，可得点P是的中点，可得，则由可求得的值，再由阴影部分面积等于梯形面积减去即可求得最后结果．
【详解】如图，连接，
点N，M，G三点共线，由正方形ADNM的性质得，；
设中，，，由题意得，
，
，
，，
，则，；
同理可证，
，则H是的中点，
，
，，
，
即点P是的中点；
，，
，
，
即，
，
阴影部分面积等于梯形面积减去，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了与勾股定理有关的几何问题，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．
11．如果a，b互为相反数，那么a+b=0
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.
【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
12．(答案不唯一)
【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【详解】解：添加的条件为，
理由是：在和中，
，
∴(AAS)，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有HL．
13．14或16
【分析】本题考查等腰三角形和构成三角形的条件等知识，比较简单，关键是注意分类讨论哪个边为腰，不要漏解．分类讨论两边长哪个为腰，哪个为底边，然后判断是否满足构成三角形的条件，最后求出周长即可．
【详解】解：①若4为腰，则三边为4，4，6，
∵，∴能构成三角形，
∴周长为；
②若6为腰，则三边为6，6，4，
∵，∴能构成三角形，
∴周长为．
故答案为：14或16．
14．##5厘米
【分析】本题主要考查了作线段垂直平分线和线段垂直平分线的性质，解题的关键是根据作图判断出是线段的垂直平分线．
根据作图判断出是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到答案．
【详解】解：由作图知，直线是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
∵，
，
故答案为：．
15．
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：由题意得，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
故答案为：．
16．8
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
故答案为：8．
17．
【分析】连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质可得：，，，然后利用即可证明，进而可得，然后根据垂线段最短可得时，最短，再根据求解即可．
【详解】解：如图，连接，
旋转角为，
．
是等边三角形，
，
．
∵是的中点，
∴
是等边的高所在的直线，
，
．
又旋转到，
，
，
，
根据垂线段最短可知：当时，最短，即最短，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短和角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构建全等三角形、把求最短问题转化为求最短是解题的关键．
18．27
【分析】过点M作于P，过点N作于Q，由题意得四边形是矩形，四边形是矩形，，根据矩形的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过点M作于P，过点N作于Q，
由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形，，

∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设
则
故，
在中，，
∴，
整理得
则
解得或（舍去），
∴
∴点O到桌面的距离为
故答案为：27．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，解一元二次方程，难度较大，综合性较强，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．，，，，，，，，，，，全等三角形的对应边相等
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，由两直线平行得内错角相等，即，再得，即通过“”证明，即可作答．
【详解】解：（已知）
（已知），
∴
即
在和中，
∵
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，无理数，等腰三角形的判定；
（1）由勾股定理得出，作连接，画出图形即可；
（2）由勾股定理得出，，，由勾股定理的逆定理得出直角三角形，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图1所示（答案不唯一）：
，，
，即是等腰三角形．
（2）解：如图2所示（答案不唯一）．
∵，，
∴
∴是直角三角形，直角边、是无理数．
21．(1)见解析
(2)7.5
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线．
（1）证明，即可得出结论．
（2）先由勾股定理求出，再由（1），得，，从而求得，再在中，根据勾股定理求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：在中，由勾股定理，得
，
∴
∵
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理，得
解得：，
∴．
22．任务一：
任务二：见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定定理的应用，三角形内角和定理．构造等三角形是解题的关键．
任务一：利用三角形内角和定理与平行线性质证明，即可由等腰三角形的判定定理得出；
任务二：找到堤岸上与的交点C，以为腰构造等腰直角三角形，即可得出设计方案；证明为等腰三角形，得出即可．
【详解】解：任务一：
∵堤岸，与堤岸垂直，
∴
∵
∴
∴
∴
∴要知道的距离，只需要测量的长度．
任务二：设计方案为：找到堤岸上与的交点C（测），从点C出发，沿堤岸向西走到点D，此时恰好测得，要知道的距离，只需要测量出与的长度即可．如图，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，，即可证明结论；
（2）根据三角内角和定理可得，根据，可得，进一步可得，求出的度数，再根据等腰三角形的性质可得的度数．
【详解】（1）证明：∵分别是边上的高线，
∴，
∵M是的中点，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
24．(1)5；
(2)①1或②或
【分析】（1）由勾股定理即可计算出的长，从而计算出的长；
（2）①分两种情况：当时；当时，分别进行求解即可；②分两种情况：当在线段上；当在线段延长线上，分别进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
又∵，
，
；
（2）解：①分两种情况：
Ⅰ．当时，则，
∵，
∴，
，
，
，
Ⅱ．当时，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②分两种情况：
Ⅰ．当在线段上，连接，
，
，
∵，
∴，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
；
Ⅱ．当在射线上，连接，
同理可得，
，
，
综上，的长为或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三我的面积，余角的性质，对顶角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的解题思想，是解题的关键．
课题
测凉亭与游艇之间的距离
项目情景与背景
如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想测量凉亭与这艘游艇之间的距离，可使用工具如下：测量角度的仪器，标杆，皮尺．
素材
小明测量方案
小明从凉亭A点向西（平行于堤岸）走到点，此时恰好测得．
任务一
理解测量方案
小明认为要知道的距离，只需要测量 的长度．
任务二
设计测量方案
结合已学知识，设计一种与小明不同的测量距离的方案（仅限以上工具），请写出测量方案，画出示意图并说明理由．