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2023-2024学年浙江省杭州市萧山区八年级上学期期中数学试题及答案
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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市萧山区八年级上学期期中数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图所示图形中，为轴对称的图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
3．（3分）在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1＝∠2＝90°”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝80°，∠2＝110°B．∠1＝10°，∠2＝169°
C．∠1＝60°，∠2＝120°D．∠1＝60°，∠2＝140°
5．（3分）在△ABC中，线段AP，AQ，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQB．AQ≤ARC．AP＞ARD．AP＞AQ
6．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4D．∠A＝∠B，AB＝6
7．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，则BC的长度是（ ）
A．B．8C．D．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，则CD的长为（ ）
A．B．C．2D．
9．（3分）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上（0°＜α＜180°），则∠ACB的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．45°D．α﹣45°
10．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点，PC，PQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；
②AE+DE＝BC；
③PC+PQ的最小值是；
④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 ，该逆命题是 （填“真”或“假”）命题．
12．（4分）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，若∠ACD＝110°，则∠A＝ ．
13．（4分）若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 ．
14．（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD＝4cm，则点D到AB的距离为 cm．
15．（4分）如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，AC＝4，△ABC的面积是9 ．
16．（4分）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是BC边上一点，则AP＝ ，若点Q是AC边上一点，BQ＝AP，则AQ＝ ．
三、解答题（共8小题，66分，解答应写出文字说明或推理步骤）
17．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
18．（6分）如图，△ABC中，∠B＝30°
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连结AD，求∠DAC的度数．
19．（6分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝80°，求∠EBC的度数．
20．（8分）如图，CD＝BE，DG⊥BC，垂足分别为G，F，且DG＝EF．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠B＝30°，判断△ADO的形状，并说明理由．
21．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，连接BF．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
22．（10分）已知，DA，DB，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，DC＝10，求CE和AC的长．
23．（10分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：△AEG是等腰三角形．
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，点D为AC边上的动点，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，分别求CD和AD的长；
（2）当t为何值时，△CBD是直角三角形？
（3）若△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示图形中，为轴对称的图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合．
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值．
【解答】解：5﹣4＜x＜8+4，即1＜x＜6，
故选：D．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．（3分）在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线段垂足为E，
纵观各图形，A、B、D选项都不符合高线的定义，
C选项符合高线的定义．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．
4．（3分）对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1＝∠2＝90°”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝80°，∠2＝110°B．∠1＝10°，∠2＝169°
C．∠1＝60°，∠2＝120°D．∠1＝60°，∠2＝140°
【分析】写出满足∠1+∠2＝180°，而∠1≠∠2的两个角即可．
【解答】解：对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠5＝∠2＝90°”，∠2＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．（3分）在△ABC中，线段AP，AQ，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQB．AQ≤ARC．AP＞ARD．AP＞AQ
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：∵AP是BC边上的高线，
∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4D．∠A＝∠B，AB＝6
【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
【解答】解：A、3+4＜5，不能画出三角形；
B、AB＝4，∠A＝30°，不能画出唯一的三角形；
C、∠A＝60°，AC＝4，能画出唯一的三角形；
D、∠A＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
7．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，则BC的长度是（ ）
A．B．8C．D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出AB长，根据勾股定理求出BE即可．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∵DE＝5，D为AB中点，
∴AB＝2DE＝10，
在Rt△ABE中，
∵AE＝7，
∴由勾股定理得：BE＝＝＝6，
在Rt△CBE中，
∵EC＝，BE＝6，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，掌握相关图形的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，则CD的长为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】根据勾股定理得到BC＝5，根据折叠的性质得到AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'D＝90°，AD＝A'D，由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，
∴AB＝A'B＝5，∠A＝∠BA'D＝90°，
∴A'C＝5﹣3＝5，
∵CD2＝A'D2+A'C7，
∴CD2＝（4﹣CD）5+4，
∴CD＝，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上（0°＜α＜180°），则∠ACB的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．45°D．α﹣45°
【分析】连接BE，过A作AF⊥CD于F，依据∠BAC＝∠EAC，∠DAF＝∠EAF，即可得出∠CAF＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACE＝90°﹣∠BAD．
【解答】解：如图，连接BE，
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AE，
又∵AF⊥CD，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠CAF＝∠BAD＝α，
又∵∠AFE＝90°，
∴Rt△ACF中，∠ACE＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°﹣α，
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOEF，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点，PC，PQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；
②AE+DE＝BC；
③PC+PQ的最小值是；
④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】①根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出AP＝PC，根据三角形三边关系即可得出结论；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明∠EDB＝∠EBD，∠ADE＝∠BAD，得出EB＝ED，EA＝ED，即可得出结论；
③过点A作AM⊥BC于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，根据等积法求出AM即可；
④过点P作PN⊥AB于点N，得出PN＝PD，求出，即可求出结果．
【解答】解：①∵BA＝BC＝10，BD是△ABC的角平分线，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AP＝PC，
∴PC+PQ＝AP+PQ，
∵AP+PQ＞AQ，
∴PC+PQ≥AQ，故①正确；
②∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠ADE＝∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴EA＝ED，
∴，
∴AE+DE＝BC，故②正确；
③根据解析①可知，PC+PQ＝AP+PQ，
∴当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，，
∴，
∵，
∴，
即PC+PQ的最小值是，故③错误；
④过点P作PN⊥AB于点N，如图所示：
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，
∴PN＝PD，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 如果a2＝b2，那么a＝b ，该逆命题是 假 （填“真”或“假”）命题．
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据实数的乘方法则判断即可．
【解答】解：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，逆命题是假命题，
故答案为：如果a2＝b3，那么a＝b；假．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．（4分）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，若∠ACD＝110°，则∠A＝ 65° ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACD＝110°，∠B＝45°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣45°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（4分）若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 50°或80° ．
【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
14．（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD＝4cm，则点D到AB的距离为 3 cm．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出CD＝DE，求出CD即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵BC＝7cm，BD＝4cm，
∴CD＝BC﹣BD＝2cm，
∴DE＝3cm，
即D到AB的距离为3cm，
故答案为：7．
【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出CD＝DE是解此题的关键．
15．（4分）如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，AC＝4，△ABC的面积是9 3 ．
【分析】延长AE交BC于F，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝4，得到BF＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：延长AE交BC于F，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE，
∵AE⊥CD于E，
∴∠AEC＝∠CEF＝90°，
∵CE＝CE，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴CF＝AC＝4，
∵BC＝6，
∴BF＝2，
∵△ABC的面积是9，
∴S△ACF＝9×＝6，
∴△AEC的面积＝S△ACF＝3，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（4分）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是BC边上一点，则AP＝ ，若点Q是AC边上一点，BQ＝AP，则AQ＝ 1或3 ．
【分析】连接AP，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝×4＝2，∠BAD＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：连接AP，过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD＝BC＝，∠BAD＝30°，
∴AD＝AB＝2，
∵PB＝2，
∴PD＝1，
∴PA＝＝＝；
过B作BH⊥AC于H，
当Q在线段CH之间时，
连接BQ，
∴AH＝AC＝2，
∴BH＝AD＝8，
∴HQ＝＝＝1，
∴AQ＝AH+HQ＝3，
当Q′在线段CH之间时，
同理可求HQ′＝4
∴AQ′＝AH﹣HQ′＝1，
综上：AQ＝3或5，
故答案为：，3或1．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共8小题，66分，解答应写出文字说明或推理步骤）
17．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、2、的线段，画三角形即可．
（3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得．
【解答】解：（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求；
（2）如图所示，Rt△DEF即为所求；
（3）如图所示，OPQ即为所求．
【点评】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决．
18．（6分）如图，△ABC中，∠B＝30°
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连结AD，求∠DAC的度数．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）求出∠BAD，∠BAC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；
（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠DAC＝110°﹣30°＝80°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
19．（6分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝80°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）利用“角角边”证明△ABE和△DCE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝CE，再根据邻补角的定义求出∠BEC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝80°，
∴∠EBC＝40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，是基础题，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键．
20．（8分）如图，CD＝BE，DG⊥BC，垂足分别为G，F，且DG＝EF．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠B＝30°，判断△ADO的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△EFB≌Rt△DGC，可得∠B＝∠C，可证OB＝OC；
（2）由余角的性质可得∠D＝∠DAO＝60°，可证△ADO是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵DG⊥BC，EF⊥BC，
∴∠DGC＝∠EFB＝90°，
在Rt△EFB和Rt△DGC中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△DGC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴OB＝OC；
（2）△ADO是等边三角形，理由如下：
∵∠B＝30°＝∠C，DG⊥BC，
∴∠D＝60°＝∠BAG，
∴∠D＝∠DAO＝60°，
∴△ADO是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
21．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，连接BF．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先求得∠CFD的度数，进而求得∠C＝65°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠A＝65°，理由三角形内角和定理求得∠ABC＝50°，根据同角法余角相等即可求得∠EDF＝∠ABC＝50°；
（2）根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，证得∠CFD＝∠CBF后即可证得∠CFD＝∠ABC．
【解答】解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣2×65°＝50°，
∵∠ABC+∠BDE＝∠EDF+∠BDE＝90°，
∴∠EDF＝∠ABC＝50°；
（2）∠CFD＝∠ABC
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（10分）已知，DA，DB，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，DC＝10，求CE和AC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，根据三角形的内角和得到∠ACB＝90°，于是得到△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到CD垂直平分AB，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵DA＝DB＝DC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵DA＝DB，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∵AC＝BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
∵AB＝16，DC＝10，
∴AE＝8，AD＝CD＝10，
∴DE＝＝6，
∴CE＝CD﹣DE＝4，
∴AC＝＝＝4．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
23．（10分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：△AEG是等腰三角形．
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCG，然后利用等角的余角相等可得∠BAD＝∠DGC，再根据对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠BAD＝∠AGE，最后利用等角对等边即可解答；
（2）过点E作EF⊥AG，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得AG＝2FG，再根据线段中点的定义可得EG＝GC＝EC＝5，然后利用AAS证明△EFG≌△CDG，从而利用全等三角形的性质可得FG＝DG，最后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出DG的长，从而求出FG的长，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，
∵EB＝EC，
∴∠B＝∠DCG，
∴∠BAD＝∠DGC，
∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠BAD＝∠AGE，
∴EA＝EG，
∴△AEG是等腰三角形；
（2）解：过点E作EF⊥AG，垂足为F，
∴∠EFG＝90°，
∵EA＝EG，EF⊥AG，
∴AG＝2FG，
∵G为CE中点，
∴EG＝GC＝EC，
∵EB＝EC＝10，
∴GC＝EC＝3，
∵∠EFG＝∠CDG＝90°，∠EGF＝∠CGD，
∴△EFG≌△CDG（AAS），
∴FG＝DG，
在Rt△CDG中，CD＝3，
∴DG＝＝＝4，
∴FG＝DG＝4，
∴AG＝2FG＝8，
∴AG的长为2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，点D为AC边上的动点，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，分别求CD和AD的长；
（2）当t为何值时，△CBD是直角三角形？
（3）若△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值．
【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD＝AD；②CD＝BC时，CD＝3；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．
【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×8＝2，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AC＝＝5，
AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝3；
（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝，
即×6•BD＝，
解得BD＝，
所以CD＝＝，
t＝÷1＝；
②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，
t＝5÷1＝5（秒），
综上所述，t＝；
（3）①CD＝BD时，如图3，
则CE＝BE，
CD＝AD＝AC＝，
t＝÷2＝2.5；
②CD＝BC时，CD＝3；
③BD＝BC时，如图2，
则CF＝，
CD＝2CF＝×2＝，
t＝÷1＝，
综上所述，t＝秒时．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
1．（3分）如图所示图形中，为轴对称的图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
3．（3分）在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1＝∠2＝90°”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝80°，∠2＝110°B．∠1＝10°，∠2＝169°
C．∠1＝60°，∠2＝120°D．∠1＝60°，∠2＝140°
5．（3分）在△ABC中，线段AP，AQ，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQB．AQ≤ARC．AP＞ARD．AP＞AQ
6．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4D．∠A＝∠B，AB＝6
7．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，则BC的长度是（ ）
A．B．8C．D．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，则CD的长为（ ）
A．B．C．2D．
9．（3分）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上（0°＜α＜180°），则∠ACB的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．45°D．α﹣45°
10．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点，PC，PQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；
②AE+DE＝BC；
③PC+PQ的最小值是；
④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 ，该逆命题是 （填“真”或“假”）命题．
12．（4分）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，若∠ACD＝110°，则∠A＝ ．
13．（4分）若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 ．
14．（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD＝4cm，则点D到AB的距离为 cm．
15．（4分）如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，AC＝4，△ABC的面积是9 ．
16．（4分）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是BC边上一点，则AP＝ ，若点Q是AC边上一点，BQ＝AP，则AQ＝ ．
三、解答题（共8小题，66分，解答应写出文字说明或推理步骤）
17．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
18．（6分）如图，△ABC中，∠B＝30°
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连结AD，求∠DAC的度数．
19．（6分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝80°，求∠EBC的度数．
20．（8分）如图，CD＝BE，DG⊥BC，垂足分别为G，F，且DG＝EF．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠B＝30°，判断△ADO的形状，并说明理由．
21．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，连接BF．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
22．（10分）已知，DA，DB，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，DC＝10，求CE和AC的长．
23．（10分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：△AEG是等腰三角形．
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，点D为AC边上的动点，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，分别求CD和AD的长；
（2）当t为何值时，△CBD是直角三角形？
（3）若△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示图形中，为轴对称的图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合．
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值．
【解答】解：5﹣4＜x＜8+4，即1＜x＜6，
故选：D．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．（3分）在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线段垂足为E，
纵观各图形，A、B、D选项都不符合高线的定义，
C选项符合高线的定义．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．
4．（3分）对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1＝∠2＝90°”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝80°，∠2＝110°B．∠1＝10°，∠2＝169°
C．∠1＝60°，∠2＝120°D．∠1＝60°，∠2＝140°
【分析】写出满足∠1+∠2＝180°，而∠1≠∠2的两个角即可．
【解答】解：对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠5＝∠2＝90°”，∠2＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．（3分）在△ABC中，线段AP，AQ，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQB．AQ≤ARC．AP＞ARD．AP＞AQ
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：∵AP是BC边上的高线，
∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4D．∠A＝∠B，AB＝6
【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
【解答】解：A、3+4＜5，不能画出三角形；
B、AB＝4，∠A＝30°，不能画出唯一的三角形；
C、∠A＝60°，AC＝4，能画出唯一的三角形；
D、∠A＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
7．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，则BC的长度是（ ）
A．B．8C．D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出AB长，根据勾股定理求出BE即可．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∵DE＝5，D为AB中点，
∴AB＝2DE＝10，
在Rt△ABE中，
∵AE＝7，
∴由勾股定理得：BE＝＝＝6，
在Rt△CBE中，
∵EC＝，BE＝6，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，掌握相关图形的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，则CD的长为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】根据勾股定理得到BC＝5，根据折叠的性质得到AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'D＝90°，AD＝A'D，由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，
∴AB＝A'B＝5，∠A＝∠BA'D＝90°，
∴A'C＝5﹣3＝5，
∵CD2＝A'D2+A'C7，
∴CD2＝（4﹣CD）5+4，
∴CD＝，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上（0°＜α＜180°），则∠ACB的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．45°D．α﹣45°
【分析】连接BE，过A作AF⊥CD于F，依据∠BAC＝∠EAC，∠DAF＝∠EAF，即可得出∠CAF＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACE＝90°﹣∠BAD．
【解答】解：如图，连接BE，
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AE，
又∵AF⊥CD，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠CAF＝∠BAD＝α，
又∵∠AFE＝90°，
∴Rt△ACF中，∠ACE＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°﹣α，
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOEF，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点，PC，PQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；
②AE+DE＝BC；
③PC+PQ的最小值是；
④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】①根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出AP＝PC，根据三角形三边关系即可得出结论；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明∠EDB＝∠EBD，∠ADE＝∠BAD，得出EB＝ED，EA＝ED，即可得出结论；
③过点A作AM⊥BC于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，根据等积法求出AM即可；
④过点P作PN⊥AB于点N，得出PN＝PD，求出，即可求出结果．
【解答】解：①∵BA＝BC＝10，BD是△ABC的角平分线，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AP＝PC，
∴PC+PQ＝AP+PQ，
∵AP+PQ＞AQ，
∴PC+PQ≥AQ，故①正确；
②∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠ADE＝∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴EA＝ED，
∴，
∴AE+DE＝BC，故②正确；
③根据解析①可知，PC+PQ＝AP+PQ，
∴当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，，
∴，
∵，
∴，
即PC+PQ的最小值是，故③错误；
④过点P作PN⊥AB于点N，如图所示：
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，
∴PN＝PD，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是 如果a2＝b2，那么a＝b ，该逆命题是 假 （填“真”或“假”）命题．
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据实数的乘方法则判断即可．
【解答】解：命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，逆命题是假命题，
故答案为：如果a2＝b3，那么a＝b；假．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．（4分）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，若∠ACD＝110°，则∠A＝ 65° ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACD＝110°，∠B＝45°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝110°﹣45°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（4分）若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 50°或80° ．
【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【解答】解：如图所示，△ABC中．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
14．（4分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，BD＝4cm，则点D到AB的距离为 3 cm．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出CD＝DE，求出CD即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵BC＝7cm，BD＝4cm，
∴CD＝BC﹣BD＝2cm，
∴DE＝3cm，
即D到AB的距离为3cm，
故答案为：7．
【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出CD＝DE是解此题的关键．
15．（4分）如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，AC＝4，△ABC的面积是9 3 ．
【分析】延长AE交BC于F，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝4，得到BF＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：延长AE交BC于F，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE，
∵AE⊥CD于E，
∴∠AEC＝∠CEF＝90°，
∵CE＝CE，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴CF＝AC＝4，
∵BC＝6，
∴BF＝2，
∵△ABC的面积是9，
∴S△ACF＝9×＝6，
∴△AEC的面积＝S△ACF＝3，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（4分）如图，已知等边△ABC的边长为4，点P是BC边上一点，则AP＝ ，若点Q是AC边上一点，BQ＝AP，则AQ＝ 1或3 ．
【分析】连接AP，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝×4＝2，∠BAD＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：连接AP，过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD＝BC＝，∠BAD＝30°，
∴AD＝AB＝2，
∵PB＝2，
∴PD＝1，
∴PA＝＝＝；
过B作BH⊥AC于H，
当Q在线段CH之间时，
连接BQ，
∴AH＝AC＝2，
∴BH＝AD＝8，
∴HQ＝＝＝1，
∴AQ＝AH+HQ＝3，
当Q′在线段CH之间时，
同理可求HQ′＝4
∴AQ′＝AH﹣HQ′＝1，
综上：AQ＝3或5，
故答案为：，3或1．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共8小题，66分，解答应写出文字说明或推理步骤）
17．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点
（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、2、的线段，画三角形即可．
（3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得．
【解答】解：（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求；
（2）如图所示，Rt△DEF即为所求；
（3）如图所示，OPQ即为所求．
【点评】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决．
18．（6分）如图，△ABC中，∠B＝30°
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连结AD，求∠DAC的度数．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）求出∠BAD，∠BAC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；
（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠DAC＝110°﹣30°＝80°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
19．（6分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝80°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）利用“角角边”证明△ABE和△DCE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝CE，再根据邻补角的定义求出∠BEC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝80°，
∴∠EBC＝40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，是基础题，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键．
20．（8分）如图，CD＝BE，DG⊥BC，垂足分别为G，F，且DG＝EF．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠B＝30°，判断△ADO的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△EFB≌Rt△DGC，可得∠B＝∠C，可证OB＝OC；
（2）由余角的性质可得∠D＝∠DAO＝60°，可证△ADO是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵DG⊥BC，EF⊥BC，
∴∠DGC＝∠EFB＝90°，
在Rt△EFB和Rt△DGC中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△DGC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴OB＝OC；
（2）△ADO是等边三角形，理由如下：
∵∠B＝30°＝∠C，DG⊥BC，
∴∠D＝60°＝∠BAG，
∴∠D＝∠DAO＝60°，
∴△ADO是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
21．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，连接BF．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先求得∠CFD的度数，进而求得∠C＝65°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠A＝65°，理由三角形内角和定理求得∠ABC＝50°，根据同角法余角相等即可求得∠EDF＝∠ABC＝50°；
（2）根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，证得∠CFD＝∠CBF后即可证得∠CFD＝∠ABC．
【解答】解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣2×65°＝50°，
∵∠ABC+∠BDE＝∠EDF+∠BDE＝90°，
∴∠EDF＝∠ABC＝50°；
（2）∠CFD＝∠ABC
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（10分）已知，DA，DB，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，DC＝10，求CE和AC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，根据三角形的内角和得到∠ACB＝90°，于是得到△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到CD垂直平分AB，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵DA＝DB＝DC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵DA＝DB，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∵AC＝BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
∵AB＝16，DC＝10，
∴AE＝8，AD＝CD＝10，
∴DE＝＝6，
∴CE＝CD﹣DE＝4，
∴AC＝＝＝4．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
23．（10分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：△AEG是等腰三角形．
（2）若BE＝10，CD＝3，G为CE中点
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCG，然后利用等角的余角相等可得∠BAD＝∠DGC，再根据对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠BAD＝∠AGE，最后利用等角对等边即可解答；
（2）过点E作EF⊥AG，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得AG＝2FG，再根据线段中点的定义可得EG＝GC＝EC＝5，然后利用AAS证明△EFG≌△CDG，从而利用全等三角形的性质可得FG＝DG，最后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出DG的长，从而求出FG的长，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，
∵EB＝EC，
∴∠B＝∠DCG，
∴∠BAD＝∠DGC，
∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠BAD＝∠AGE，
∴EA＝EG，
∴△AEG是等腰三角形；
（2）解：过点E作EF⊥AG，垂足为F，
∴∠EFG＝90°，
∵EA＝EG，EF⊥AG，
∴AG＝2FG，
∵G为CE中点，
∴EG＝GC＝EC，
∵EB＝EC＝10，
∴GC＝EC＝3，
∵∠EFG＝∠CDG＝90°，∠EGF＝∠CGD，
∴△EFG≌△CDG（AAS），
∴FG＝DG，
在Rt△CDG中，CD＝3，
∴DG＝＝＝4，
∴FG＝DG＝4，
∴AG＝2FG＝8，
∴AG的长为2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，点D为AC边上的动点，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，分别求CD和AD的长；
（2）当t为何值时，△CBD是直角三角形？
（3）若△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值．
【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD＝AD；②CD＝BC时，CD＝3；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．
【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×8＝2，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AC＝＝5，
AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝3；
（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝，
即×6•BD＝，
解得BD＝，
所以CD＝＝，
t＝÷1＝；
②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，
t＝5÷1＝5（秒），
综上所述，t＝；
（3）①CD＝BD时，如图3，
则CE＝BE，
CD＝AD＝AC＝，
t＝÷2＝2.5；
②CD＝BC时，CD＝3；
③BD＝BC时，如图2，
则CF＝，
CD＝2CF＝×2＝，
t＝÷1＝，
综上所述，t＝秒时．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
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