浙江省杭州市主城区八校2023-2024学年八年级上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州市主城区八校2023-2024学年八年级上学期期中联考数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，为轴对称的图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
3．在中，画出边上的高，画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．在中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．B．C．D．
6．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A． B．
C．D．
7．如图，中，D为中点，E在上，且．若，，，则的长度是（ ）
A．B．8C．D．
8．如图，中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
9．如图，，点B关于的对称点E恰好落在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．命题“如果，那么”的逆命题是 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）
12．如图，是的一个外角，若，则 ．
13．等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC=7cm，BD=4cm，则点D到AB的距离为 cm．
15．如图，CD是的角平分线，于E，，的面积是9，则的面积是 .

16．如图，已知等边的边长为4，点P是边BC上一点，，则 ，若点Q是边AC上一点，，则 ．
三、解答题（共8小题，66分，解答应写出文字说明或推理步骤）
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
(1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
18．如图，中，，．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连结，求的度数．
19．如图，与中，与交于点E，且．
(1)求证：；
(2)当，求的度数．
20．如图，CD＝BE，DG⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为G，F，且DG＝EF．
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠B＝30°，判断△ADO的形状，并说明理由．
21．如图所示，在△ABC中，，点D是BC上一点，于点E，，交AC于点F，连接BF．
(1)若，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
22．已知，，，是从点出发的三条线段，且．

(1)如图①，若点在线段上，连接，，试判断的形状，并说明理由．
(2)如图②，连接，，，且与相交于点，若，，，求的长．
23．如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，G为中点，求的长．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当t＝2时，分别求CD和AD的长；
（2）当t为何值时，△CBD是直角三角形？
（3）若△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值．
答案与解析
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．
2．D
【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值．
【详解】5-4＜x＜5+4，即1＜x＜9，则x的不可能的值是9，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，解一元一次不等式组，解题的关键是已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．C
【分析】根据三角形高线的定义即可得出答案．
【详解】解：根据三角形高线的定义，过点B向边作垂线，垂足为E，为边上的高．
观察四个选项可知，只有C选项符合要求．
故选C．
【点睛】本题考查三角形高线的识别，掌握三角形高线的定义是解题的关键．从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．
4．C
【分析】本题考查了命题与定理，余角与补角，先写出原命题的逆命题，再找到满足且的反例即可．
【详解】解：对于命题“如果，那么与互补”的逆命题为“如果与互补，那么”，能说明这个命题为假命题的反例可以为：，，
故选：C．
5．A
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：∵线段AP是BC边上在的高线，
∴根据垂线段最短得：PA≤AQ，PA≤AR，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的高、中线和角平分线、垂线段最短等知识，熟练掌握垂线段最短是解答的关键．
6．C
【分析】根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可．
【详解】解：A．，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B．，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C．，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D．，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
7．C
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，掌握相关图形的性质是解题的关键，根据直角三角形斜边上的中线求出长，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：，
，
，D为中点，
，
在中，
，
，
在中，
，，
，
故选：C．
8．B
【分析】将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则，，在直角中，根据勾股定理，即可得到一个关于CD的方程，即可求得．
【详解】解：设，则，
在中，
，
，
在中，

即：
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理和折叠的问题，解题的关键是根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题．
9．C
【分析】连接BE，过A作AF⊥CD于F，依据∠BAC＝∠EAC，∠DAF＝∠EAF，即可得出∠CAF＝∠BAD，再根据直角三角形的性质，即可得到∠ACB＝∠ACE＝90°−∠BAD．
【详解】解：如图，连接BE，过A作AF⊥CD于F，
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AE，
又∵AF⊥CD，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠CAF＝∠BAD＝a，
又∵∠AFE＝90°，
∴Rt△ACF中，∠ACE＝90°−a，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°−a，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10．B
【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
【详解】解：①∵，是的角平分线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③根据解析①可知，，
∴当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即的最小值是，故③错误；
④过点P作于点N，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．
11． 如果a2=b2，那么a=b 假
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．
【详解】解：根据题意得：命题“如果a=b，那么a2=b2”的条件是如果a=b，结论是a2=b2”，
故逆命题是如果a2=b2，那么a=b，该命题是假命题．
故答案为：如果a2=b2，那么a=b；假．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．##65度
【分析】根据三角形外角等于不相邻两个内角的和解答即可．
【详解】解：∵，
是的外角，
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查三角形的外角性质；关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
13．或
【分析】分的内角是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：当的内角是等腰三角形的底角时，
它的顶角的度数为：；
当的内角是等腰三角形的顶角时，
它的底角的度数为：，符合要求；
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
14．3
【分析】作DH⊥AB于H，根据题意求出CD的长，再由角平分线的性质即可解答．
【详解】作DH⊥AB于H，
∵BC=7cm，BD=4cm，
∴CD=7﹣4=3，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，DH⊥AB，
∴DH=CD=3，
∴点D到AB的距离为3cm，
故答案为3．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相是解题的关键．
15．3
【分析】延长AE与BC相交点H ，先用ASA证明AEC≌HEC，则SHEC = SAEC，求出BH，CH的长度，利用ABC的面积为9，求出ACH的面积为6，即可得到的面积.
【详解】解：延长AE与BC相交点H ，如图所示

∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∵AE⊥CD
∴∠AEC=∠HEC
在AEC和HEC中
∴AEC≌HEC(ASA)
∴AC=CH
∴SHEC = SAEC
∵BC=6 ，AC=4
∴BH=2 ，CH=4
过A作AK⊥BC，则
∵，BC=6，
∴AK=3，
∴SHCA=，
∴SHEC = SAEC=3；
故答案为：3.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的角平分线定义，以及三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确求出AK的长度是解题的关键.
16． 3或1
【分析】连接AP，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD=CD=BC=×4=2，∠BAD=30°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：连接，过作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
过作于，
当在线段之间时，连接，
，
，
，
，
当在线段之间时，
同理可求，
，
综上：或1，
故答案为：，3或1．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、、的线段，画三角形即可．
（3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得．
【详解】（1）解：如图1所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
【点睛】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点；
（2）连接，根据垂直平分线的性质得，即，根据三角形内角和得可得，即可得．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，等边对等角，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键．
（1）根据即可推出和全等；
（2）根据三角形全等得出，根据三角形的外角性质得出，代入求出即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题意由“HL”可证Rt△EFB≌Rt△DGC，可得∠B＝∠C，可证OB＝OC；
（2）根据题意由余角的性质可得∠D＝∠DAO＝60°，可证△ADO是等边三角形．
【详解】解：（1）证明：∵DG⊥BC，EF⊥BC，
∴∠DGC＝∠EFB＝90°，
在Rt△EFB和Rt△DGC中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△DGC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴OB＝OC；
（2）△ADO是等边三角形，理由如下：
∵∠B＝30°＝∠C，DG⊥BC，
∴∠D＝60°＝∠BAG，
∴∠D＝∠DAO＝60°，
∴△ADO是等边三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键．
21．(1)50°
(2)，详见解析
【分析】（1）先求得∠CFD的度数，进而求得∠C＝65°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠A＝65°，理由三角形内角和定理求得∠ABC＝50°，根据同角法余角相等即可求得∠EDF＝∠ABC＝50°；
（2）根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，证得∠CFD＝∠CBF后即可证得．
【详解】（1）解：∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°−25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠ABC＝180°−2×65°＝50°，
∵∠ABC＋∠BDE＝∠EDF＋∠BDE＝90°，
∴∠EDF＝∠ABC＝50°；
（2）∠CFD＝∠ABC，理由如下：
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD＋∠BFD＝90°，
∠CBF＋∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
22．(1)是直角三角形，见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，正确识别图形是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的内角和得到，于是得出是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：是直角三角形，
理由：，
，，
，
，
，
是直角三角形；
（2），
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，，
，，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)的长为8．
【分析】（1）利用等边对等角证得，再根据等量代换得到，据此即可证明是等腰三角形；
（2）过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，推出，最后在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：过点E作，垂足为F，
∴，
∵，，
∴，
∵G为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（1）；；（2）t＝或5秒；（3）t＝或3或秒
【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC−CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD＝AD；②CD＝BC时，CD＝3；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．
【详解】解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝，
AD＝AC−CD＝5−2＝3；
（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，
即×5•BD＝×4×3，
解得BD＝，
所以CD＝，
t＝(秒)；
②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，
t＝5÷1＝5（秒），
综上所述，t＝或5秒；
（3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，
则CE＝BE，
，
,
是的中位线，
CD＝AD＝AC＝×5＝，
t＝(秒)；
②CD＝BC时，CD＝3，t＝3÷1＝3(秒)；
③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
，即,
解得：,
在中，,
CD＝2CF＝，
t＝(秒)，
综上所述，t＝或3或秒时，△CBD是等腰三角形．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．