重庆市江津区五校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份重庆市江津区五校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（全卷共26个大题，满分150分，考试时间100分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分）
1．如图，中，于点D，于点E，则边上的高是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列长度的三条线段首尾顺次相接能组成三角形是( )
A．1，2，3B．2，4，7C．3，4，8D．2，3，4
4．若一个n边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则n是（ ）
A．5B．8C．9D．10
5．尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则的值为（ ）
A．13B．3C．D．
7．下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是( )
A．B．C．D．
9．如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE，EF．下列结论：①AB=2BD；②图中有4对全等三角形；③BD=BF； ④若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共8个小题，每题4分，共32分）
11．计算： ．
12．若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的边数是 ．
13．因式分解：= ．
14．如图，已知是的中线，点是边上一动点，若的面积为10，，则的最小值为
15．若是完全平方式，则 ．
16．已知实数、满足，，则值为 ．
17．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为 ．
18．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“共和数”，例如：四位数1235，，是“共和数”又如：四位数，，不是“共和数”，若一个“共和数”为，则的值为 ；若一个“共和数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被7整除，则满足条件的的最大值与取小值的差是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，第20—26题各10分，共78分）
19．计算
(1)
(2)
20．尺规作图并完成证明．如图，点、点在外，连接、、，且，，．
(1)用尺规完成以下基本作图：
作的平分线交于点，连接
（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程．
证明：平分，
______，
，
______
，
，
在和中，
，
．
（______）
21．先化简，再求值：，其中a、b满足
22．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高，求∠DAE的度数．
23．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
24．如图，点在边上，，，．
(1)求证：；
(2)∠，，求的度数．
25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图①),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②).
(1)上述操作能验证的等式是__________________;
(2)应用你从(1)得出的等式，完成下列各题：
①已知x2−4y2=12，x+2y=4，求x−2y的值.
②计算：(1−)(1−)(1−)…(1−)(1−)．
26．和都是以点B为顶点的等腰直角三角形，．
(1)
如图1，当边恰好在的边上时，连接，，易证，从而证明；（无需证明）
(2)如图2，当和如图摆放，连接、、，其中与相交于点F．那么与的位置关系是否发生变化，请说明理由；
(3)如图3，当和如图摆放，F为的中点，连接、、，并在的延长线上取一点G，连结，使，求证：．
答案与解析
1．B
【分析】三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可求解．
【详解】解：AB边上的高是CE，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的高，由定义可知，三角形的高是线段，线段的两个端点一个是三角形的顶点，另一个是垂足．
2．D
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】根据三角形三边关系依次判断四个选项即可．
【详解】解：A，1+2=3，不能组成三角形，故A不符合题意；
B，2+4<7，不能组成三角形，故B不符合题意；
C，3+4<8，不能组成三角形，故C不符合题意；
D，2+3>4，能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形三边关系，熟练掌握该知识点是解题关键．
4．B
【分析】根据从n边形的一个顶点作对角线的条数为(n-3)条，即可得出答案．
【详解】根据题意可知，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查多边形的对角线．掌握从n边形的一个顶点可作(n-3)条对角线是解题关键．
5．A
【分析】根据已知作图得到，，，，由此根据证明．
【详解】解：由题意得，，，
在和中
∴
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理：三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，正确理解题中的作图是解题的关键．
6．B
【分析】将，整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体思想的应用．
7．C
【分析】因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即可．
【详解】、等号右边不是整式与整式的积，它不是因式分解，
则不符合题意；
、它是整式乘法运算，不是因式分解，
则不符合题意；
、它符合因式分解的定义，
则符合题意；
、等号右边不是积的形式，它不是因式分解，
则不符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．D
【分析】延长至，使，然后利用边角边证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．
【详解】解：如图，延长至，使，
∵是的中线，
∴，
在和△中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系定理，遇中线，加倍延构造出全等三角形是解题的关键．
9．D
【分析】在上截取，连接，证明，得，，证出．由等腰三角形的性质得出，即可得出，代入已知角即可得解．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选D．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和，等边对等角等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．C
【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解．
【详解】解：，，，
，，
把折叠，使落在上，点与上的点重合，
，
，，，
∵，
，
，
，
，故①错误，
在和中，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
∴BF=EF，
在和中，
，
，
图中共有4对全等三角形，故②正确；
，，
，
，故③正确；
，
，
，
=45°，
将沿折叠，则点一定落在上，故④错误；
连接，
，
，
，
，
，
，
，故⑤正确，
故选：C
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
11．
【分析】本题主要考查0指数幂和有理数的乘方的计算，掌握0指数幂的意义是关键．
【详解】解：
.
12．10
【分析】本题考查多边形外角与边数的关系，正多边形的边数等于除以每一个外角的度数．
【详解】解：∵一个正多边形的每一个外角都是，
∴边数．
故答案为：10．
13．2（x+3）（x﹣3）
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点睛】考点：因式分解．
14．2.5####
【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案．
【详解】解：∵AM是△ABC的中线，
∴==5，
∴点M到AC的距离为：÷4=2.5，
根据垂线段最短，
则MP的最小值2.5．
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了三角形的面积，结合面积公式和中线特点是解题的关键．
15．
【分析】根据完全平方式的特点解答．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方式，正确掌握完全平方式的特点：或 是解题的关键．
16．5
【分析】本题考查非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程，再根据完全平方公式整理即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：5．
17．
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，由此即可得．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
和的平分线、相交于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
周长为20，
，即，
，
，
又，
，
故答案为：．
18．
【分析】根据递减数的概念列方程求的值，根据递减数的概念先求得, 然后根据题意列出的数能被整除的数的特征分析满足条件的最大值与最小值，求差即可.
【详解】由题意可得,
解得,
由题意可得，
,
整理, 可得,
一个“共和数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的差，再减去为：
,
又∵能被7整除，
是整数, 且, ,,
时，原四位数可得最小值，此时只能取，这是四位数为，
当时, , 此时四位数为,
当时, , 此时四位数为,
当时, , 此时四位数为,
当时, , 此时四位数为(舍去),
当时, , 此时四位数为,
取或或时，均不符合题意，
∴满足条件的的最大值与取小值的差是：，
故答案为:；.
【点睛】本题考查新定义运算，理解新定义概念，正确推理计算是解题关键.
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查整式的混合运算，按照整式运算法则计算即可．
（1）先算括号里面的，然后再用单项式法则计算．
（2）先单项式乘以多项式和应用完全平方公式去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
20．(1)见解析
(2)，，，全等三角形对应边相等
【分析】本题考查了基本作图，全等三角的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角解决问题．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据证明即可．
【详解】（1）
（2）证明：平分，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（全等三角形对应边相等），
故答案为：，，，全等三角形对应边相等．
21．，62
【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘多项式、多项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题关键．先计算平方差公式与完全平方公式、单项式乘多项式，再计算整式的加减法，然后计算多项式除以单项式，最后根据完全平方公式和偶次方的非负性求出的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
．
，
，即，
，
解得，
则原式．
22．∠DAE＝15°
【分析】利用三角形内角和为180°，角平分线的定义，计算角的差即可解答；
【详解】解：∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－40°－70°＝70°．
又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠DAC＝35°．
∵，∴∠EAC＝90°－∠C＝20°．
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝35°－20°＝15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，熟记三角形内角和定理是解题关键．
23．(1)61
(2)1980
【分析】（1）利用完全平方公式变形，再代入求值；
（2）先利用因式分解和完全平方公式变形，再代入求值．
【详解】（1）解：∵，∴，
即；
又∵，∴，
∴；
（2）解：∵，
又∵，
由（1），得．
∴．
∴．
【点睛】本题考查因式分解和完全平方公式的灵活变形，熟练提公因式和完全平方公式变形是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而利用三角形外角性质得出，利用证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：证明：，
，
，，
，
，
在与中，
，

（2）解： ，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
25．（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）x-2y=3；（3）
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；
（2）①把x2-4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求解；
②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
【详解】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的面积是（a+b）（a-b），
则a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案是a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）①∵x2-4y2=（x+2y）（x-2y），
∴12=4（x-2y）
得：x-2y=3；
②原式=（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+）（1-）（1+）===.
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
26．(1)见详解
(2)，理由见详解
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题意可证，得，结合三角形内角和定理和对等角相等即可证明结论；
（2）设与交于点O，根据题意可证，得到，利用三角形内角和定理即可证明；
（3）延长到H，使得，根据题意可证，得，，进一步证明，可得，有，可证得．
【详解】（1）证明∶延长交于点F，如图，
∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
在和中
∴，
∴，
∵，且，
∴，
则．
（2）设与交于点O，如图，
∵，
∴，
在和中
∴
∴，
∵，
∴
则．
（3）延长到H，使得，如图，
∵F为的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∵
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
那么．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和适当添加辅助线构造全等三角形，解题的关键是作辅助线构造全等三角形并利用其性质解题．